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【摘 要】计数器是小学数学课堂必备的教具学具之一，常常用于数的认识、数的运算等数概念教学，其在帮助学生建构十进制、位值制、计算法则等核心概念的学习中有着独特的文化含义和价值。对比教材，可以发现“计数器模型”在低段新人教版教材中，尤其是计算单元，有所缺失。而事实上，“计数器模型”有助于教学目标的达成，促进数概念的发展。尤其是数概念教学的几个关键节点处，计数器模型不能“缺席”。
【关键词】计数器 数与计算 缺失 价值
一、研究缘起：一个“伪问题”引发的连串“真思考”
（一）缘起短信：“最多9颗”还是“最多10颗”？
一年级第二学期期末复习阶段，笔者收到了一条家长的咨询短信（如图1），本想立即回复，但越思考，越发觉得这个问题不好回答。“计数器上每个数位最多能拨几颗珠子？”9颗、10颗还是……
“9颗，因为10颗的话必须满十进一了。”这是一位百度网友的回答。站在成人的角度，不难理解家长的想法，最大的一位数是9，最大的两位数是99，每个数位上的数字最大是9，多年传统小学数学灌输式的教育已在成人思维中留下根深蒂固的印象。但“数字”和“珠子”是一回事吗？
这不禁让笔者联想起课堂中的一个情景：在教学一年级下“100以内数的認识”这一课时，为突破拐弯数这一难点，笔者让学生拨计数器数数，“29再拨一颗是几，怎么拨？”学生千篇一律地直接将9颗珠子退掉，再在十位上添1颗珠子（如图2）。学生真的理解“满十进一”吗？“满十进一”是指当较小的计数单位累计到10个就用一个较大的计数单位来表示，前概念是“10个一是1个十”。在小棒捆扎数数中（如图4），学生看似明白“10个一是十”“一捆就是一个十”，但在计数器拨数过程中，学生不是依据“满十进一”完成的，而仅仅是唱数或背数的结果，正如学生知道29后面是30，39后面是40……
这让笔者发现，用小棒表征数概念有不足之处，这里的“捆”是具体的、量化的“10根”，而计数器十位上的1颗珠子，已不是10的累积，这里的“1”颗不是具体的“10”，是抽象的“10”，是位值决定的“10”。正确的拨数过程应如图3，中间这一过程必不可少，这也让笔者体会到计数器在表征数概念时（如图5）有着不可替代的作用。
（二）再次思考：9颗不对，但10颗一定对吗？
“满十”才能“进一”，9颗必然不对，但10颗一定对吗？从运算的角度来说，也不正确，尤其体现在进位加和退位减上，“计数器”在表征进位加和退位减时（如图6、图7），均有“满十”“多于10”这一过程。
以“25-8”这一退位减法为例，个位“5-8”不够减，向十位借1作10，此时个位上的珠子已有15颗珠子（如图7）。“计数器上每个数位最多能拨几颗珠子”其实是个伪问题，计数器在表征数概念时，应关注的是“个位上的1颗珠子表示1个一，十位上的1颗珠子表示1个十”，位置不同，数值因此不同，纠结于“最多能拨几颗”此类问题毫无意义。
但此“伪问题”却进一步引发了笔者对各种数的教学模型的价值思考。小棒、计数器、立方体……常常用于数的认识、数的运算等数概念教学中，“数的教学模型”是必要的，它是由具体实物抽象出数的概念和数符号的桥梁。但它们在表征数概念时，有着各自的优点和不足（如表1）。
数学是抽象的科学，多样化的直观模型有利于帮助学生从具体实物中抽象出数的符号，发展数的概念。从上表看出，小棒虽直观，但对数的表征始终是建立在具体“数量”的基础上，而无法体现“位值”的价值。相较于小棒，计数器属于半抽象模型，抽象度更高，可弥补小棒在位值表征方面的不足。
二、反观教材：计数器在人教版低段计算单元中的缺失现状
越是思考，笔者越觉得计数器在帮助学生建构十进制、位值制、计算法则等核心概念的学习中有着独特的文化含义及价值。而反观教材，是否意识到计数器在数概念教学中的重要作用呢？仔细翻阅新人教版和新北师大版教材之后，笔者发现对选用何种直观模型表征数与运算，两版教材有着不同的“青睐”（具体见表2）。
从上表中我们可以明显看出新北师大版教材在表征数与运算概念时更加丰富，以小棒、计数器为主，并辅之小方块、数轴模型等。而在新人教版教材中，小棒颇受“青睐”，在低段数概念和运算教学中贯穿始终。反观计数器，则似乎较受“冷落”，所有教学内容中，仅出现于其中的6项，2项属于数的认识教学内容，即“11～20以内数的认识”及“100以内数的认识”。但即使是在数的认识教学单元，新人教版教材也仅仅把计数器作为读数、写数的工具，计数器仅仅用于计数吗？
特别值得注意的是，在所有计算教学内容中，凡涉及进退位的教学，计数器在新人教版教材中均未出现，不知是教材编排的无心之失还是刻意为之。小棒虽是学生最熟悉的直观模型，通过把10根小棒捆成1捆，感受“以十为单位”的简洁，渗透“满十进1”的道理，但计数器模型能更好地体现“位值”，凸显“满十进1”“退一作10”，体会为什么要相同数位相加减，帮助学生理解算理。因此，笔者认为，人教版教材这样的编排显然是有缺失和不合理的。
笔者认为，计数器模型的利用有助于教学环节的开展，教学目标的达成，促进学生数概念的发展。尤其是在数概念教学的几个关键节点处（如表3），计数器模型不能“缺席”。
小棒模型为横式计算方法提供直观的表象，计数器模型则是为竖式计算方法提供直观的表象。计数器实际就是一个半抽象的竖式原型，因此计数器在直观算理、算法抽象中起到了极其重要的作用。用小棒模型和计数器模型为学生探索横式计算方法或竖式计算方法搭建坚实的阶梯（见图8）。
数是非常抽象的概念，由实物直观到符号抽象，小棒模型有时会显得过于具体形象，不利于概念的抽象理解，甚至限制学生数概念发展。而计数器是半抽象模型，更能凸显数的本质。因此，笔者认为计数器模型不可缺失！
（浙江省杭州市钱塘外语学校 310012）
【关键词】计数器 数与计算 缺失 价值
一、研究缘起：一个“伪问题”引发的连串“真思考”
（一）缘起短信：“最多9颗”还是“最多10颗”？
一年级第二学期期末复习阶段，笔者收到了一条家长的咨询短信（如图1），本想立即回复，但越思考，越发觉得这个问题不好回答。“计数器上每个数位最多能拨几颗珠子？”9颗、10颗还是……
“9颗，因为10颗的话必须满十进一了。”这是一位百度网友的回答。站在成人的角度，不难理解家长的想法，最大的一位数是9，最大的两位数是99，每个数位上的数字最大是9，多年传统小学数学灌输式的教育已在成人思维中留下根深蒂固的印象。但“数字”和“珠子”是一回事吗？
这不禁让笔者联想起课堂中的一个情景：在教学一年级下“100以内数的認识”这一课时，为突破拐弯数这一难点，笔者让学生拨计数器数数，“29再拨一颗是几，怎么拨？”学生千篇一律地直接将9颗珠子退掉，再在十位上添1颗珠子（如图2）。学生真的理解“满十进一”吗？“满十进一”是指当较小的计数单位累计到10个就用一个较大的计数单位来表示，前概念是“10个一是1个十”。在小棒捆扎数数中（如图4），学生看似明白“10个一是十”“一捆就是一个十”，但在计数器拨数过程中，学生不是依据“满十进一”完成的，而仅仅是唱数或背数的结果，正如学生知道29后面是30，39后面是40……
这让笔者发现，用小棒表征数概念有不足之处，这里的“捆”是具体的、量化的“10根”，而计数器十位上的1颗珠子，已不是10的累积，这里的“1”颗不是具体的“10”，是抽象的“10”，是位值决定的“10”。正确的拨数过程应如图3，中间这一过程必不可少，这也让笔者体会到计数器在表征数概念时（如图5）有着不可替代的作用。
（二）再次思考：9颗不对，但10颗一定对吗？
“满十”才能“进一”，9颗必然不对，但10颗一定对吗？从运算的角度来说，也不正确，尤其体现在进位加和退位减上，“计数器”在表征进位加和退位减时（如图6、图7），均有“满十”“多于10”这一过程。
以“25-8”这一退位减法为例，个位“5-8”不够减，向十位借1作10，此时个位上的珠子已有15颗珠子（如图7）。“计数器上每个数位最多能拨几颗珠子”其实是个伪问题，计数器在表征数概念时，应关注的是“个位上的1颗珠子表示1个一，十位上的1颗珠子表示1个十”，位置不同，数值因此不同，纠结于“最多能拨几颗”此类问题毫无意义。
但此“伪问题”却进一步引发了笔者对各种数的教学模型的价值思考。小棒、计数器、立方体……常常用于数的认识、数的运算等数概念教学中，“数的教学模型”是必要的，它是由具体实物抽象出数的概念和数符号的桥梁。但它们在表征数概念时，有着各自的优点和不足（如表1）。
数学是抽象的科学，多样化的直观模型有利于帮助学生从具体实物中抽象出数的符号，发展数的概念。从上表看出，小棒虽直观，但对数的表征始终是建立在具体“数量”的基础上，而无法体现“位值”的价值。相较于小棒，计数器属于半抽象模型，抽象度更高，可弥补小棒在位值表征方面的不足。
二、反观教材：计数器在人教版低段计算单元中的缺失现状
越是思考，笔者越觉得计数器在帮助学生建构十进制、位值制、计算法则等核心概念的学习中有着独特的文化含义及价值。而反观教材，是否意识到计数器在数概念教学中的重要作用呢？仔细翻阅新人教版和新北师大版教材之后，笔者发现对选用何种直观模型表征数与运算，两版教材有着不同的“青睐”（具体见表2）。
从上表中我们可以明显看出新北师大版教材在表征数与运算概念时更加丰富，以小棒、计数器为主，并辅之小方块、数轴模型等。而在新人教版教材中，小棒颇受“青睐”，在低段数概念和运算教学中贯穿始终。反观计数器，则似乎较受“冷落”，所有教学内容中，仅出现于其中的6项，2项属于数的认识教学内容，即“11～20以内数的认识”及“100以内数的认识”。但即使是在数的认识教学单元，新人教版教材也仅仅把计数器作为读数、写数的工具，计数器仅仅用于计数吗？
特别值得注意的是，在所有计算教学内容中，凡涉及进退位的教学，计数器在新人教版教材中均未出现，不知是教材编排的无心之失还是刻意为之。小棒虽是学生最熟悉的直观模型，通过把10根小棒捆成1捆，感受“以十为单位”的简洁，渗透“满十进1”的道理，但计数器模型能更好地体现“位值”，凸显“满十进1”“退一作10”，体会为什么要相同数位相加减，帮助学生理解算理。因此，笔者认为，人教版教材这样的编排显然是有缺失和不合理的。
笔者认为，计数器模型的利用有助于教学环节的开展，教学目标的达成，促进学生数概念的发展。尤其是在数概念教学的几个关键节点处（如表3），计数器模型不能“缺席”。
小棒模型为横式计算方法提供直观的表象，计数器模型则是为竖式计算方法提供直观的表象。计数器实际就是一个半抽象的竖式原型，因此计数器在直观算理、算法抽象中起到了极其重要的作用。用小棒模型和计数器模型为学生探索横式计算方法或竖式计算方法搭建坚实的阶梯（见图8）。
数是非常抽象的概念，由实物直观到符号抽象，小棒模型有时会显得过于具体形象，不利于概念的抽象理解，甚至限制学生数概念发展。而计数器是半抽象模型，更能凸显数的本质。因此，笔者认为计数器模型不可缺失！
（浙江省杭州市钱塘外语学校 310012）