论文部分内容阅读
解决动态平衡问题的方略，一般有解析法及矢量图解法.而解析法中又包含如分解法、合成法、正交分解法、相似三角形法、拉密定理法、力矩平衡法等.本文讨论一类小球在光滑球面上处于动态平衡的问题，旨在探究不同情境下的解题方略.
1小球在固定球面上处于动态平衡的情形
例1如图1所示，表面光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心的正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一端系一质量为m的小球，另一端绕过定滑轮后施以外力F，使小球静止.现用力拉绳，使小球沿球面缓慢移动一小段距离.该过程中，小球受到半球形物体的支持力及绳对小球的拉力将如何变化.
解析小球受重力mg、球面的支持力N、绳子的拉力T三个力的作用.设某时刻绳长为l，小定滑轮至水平地面间的距离为h、球的半径为R.如图2所示，由相似三角形的性质，有
Tmg=lh， Nmg=Rh，
联立解得T=lhmg， N=Rhmg.
可见，小球受到的支持力N保持不变；绳对小球的拉力T随绳长l的减小而逐惭减小.
点评小球沿固定球面运动，所受外力之合力为零，通过力矢量三角形与几何边三角形的相似，求得结果.如果用正交分解法求解，也较方便，如图3所示，有关角度假设图中标出.小球受重力mg、球面弹力N及绳的拉力T作用，建立直角坐标系，将相关力进行分解，由平衡条件，有Ncosβ-Tsinα=0，Nsinβ Tcosα-mg=0.所得结果同上.一般认为该类问题宜用相似三角形求解，其实不然.正交分解法亦是一种有效的分析方法.
取绳悬挂点为转动轴，由力矩平衡条件可以得到弹力N增大（重力的力臂增大，压力的力臂减小）.因此，该题正确选项是A.
点评用解析法处理该题，是非常繁琐的，除了重力大小、方向不变外，其他力的大小、方向均发生改变，较第1类情境要复杂的多.如果我们画出矢量图来分析，应用矢量图解法，如图6所示，用水平力向右推半圆柱，使小球沿半圆柱面缓慢移动一小段距离的过程中，角度α、β均增大.由图6可知，压力N增大，拉力T减小.容易得到选项A正确.可见，矢量图解法在处理该问题中具有形象、直观、简洁之优点.
3小球在无形球面上处于动态平衡的情形
例3如图7所示，在光滑小滑轮C正下方相距h的A处固定一电荷量为Q的点电荷，重力大小为G、电荷量为q的带电小球B，用绝缘轻细线拴着，细线跨过定滑轮，在细线的另一端用适当大小的力F1拉住，使小球B处于静止状态，这时小球B与A点的距离为R，细线CB与AB垂直.已知静电力常量为k，环境可视为真空.现缓慢拉动细线（始终保持小球平衡），直到小球刚到滑轮正下方的过程中，拉力所做的功为W1，电场力所做的功为W2，则下列关系式正确的是
A.GR3=kqQhB.GR2=kqQ
C.W1=kqQR（hR-1）D.W1=kqQR（hR 1）
解析对小球B进行受力分析，如图8所示，设库仑斥力大小为F2，绳子拉力大小为FT，则库仑力与重力G之合力大小F合等于绳子拉力大小FT，但方向相反.对同一根轻绳，F1=FT.令某时刻滑轮右侧的绳长为l，小球B与A点的距离为x.
考察图7，力矢量三角形（填充）与几何边构成的△ACB相似，则有
FTG=lh， F2G=xh，
解得F1=FT=lhG， F2=xhG，
且库仑力大小F2=kQqx2，则x=3kqQhG.
同理可知在初态时，有R=3kqQhG.因此，小球在运动中距点电荷Q之间的距离始终保持不变，并等于R.小球沿图中虚线运动（假想的无形球面）至滑轮的正下方的过程中，电场力未做功，缓慢移动小球动能不变.由动能定理，知绳子拉力所做的功等于克服重力所做的功，于是，有W1=G（R-Rcosα），且cosα=Rh.将重力G用库仑力代换得到W1=kqQR（hR-1）.选项A、C正确.
点评该题分析之关键是判断小球在运动中，其与点电荷Q之间的距离保持不变.可借助于情境1来理解.关于绳子拉力所做的功，亦可以通过左侧拉力的作用点发生的位移直接求得.由于F1=lhG，可见，该力与右侧绳长成正比，通过取平均值或应用图象法或应用微积分方法均可等到答案.如用微积分处理，可以列出表达式W1=∫l2l1F1dl=Gh∫l2l1ldl，式中积分下限l1=h-R，上限l2=h2-R2，且将库仑力和重力的关系代入，即得相同的结果.认知心理学家根据解决问题的效率将解题方法（策略）分为强方法和弱方法.对解决问题来说，有些策略对某种类型的问题的解决有直接有效的帮助，效率较高，属强方法.而有些策略对某种类型的问题的解决有启发作用，且应用范围广，但效率较低，则属弱方法.动态平衡问题的分析具有较大的灵活性，静止的球面（包括无形球面）问题，三角形相似法为强方法；动态的球面问题，矢量图解法则为强方法.教学实践表明，通过题组训练，在解题过程中，让学生自主领悟并掌握问题解决中的强方法，有利于提高学生的思维品质，有利于提高习题教学的效益.
【基金项目：中国教育学会物理教学专业委员会2013年-2016年全国物理教育科研重点课题：习题教学与物理科学方法教育的研究.】
1小球在固定球面上处于动态平衡的情形
例1如图1所示，表面光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心的正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一端系一质量为m的小球，另一端绕过定滑轮后施以外力F，使小球静止.现用力拉绳，使小球沿球面缓慢移动一小段距离.该过程中，小球受到半球形物体的支持力及绳对小球的拉力将如何变化.
解析小球受重力mg、球面的支持力N、绳子的拉力T三个力的作用.设某时刻绳长为l，小定滑轮至水平地面间的距离为h、球的半径为R.如图2所示，由相似三角形的性质，有
Tmg=lh， Nmg=Rh，
联立解得T=lhmg， N=Rhmg.
可见，小球受到的支持力N保持不变；绳对小球的拉力T随绳长l的减小而逐惭减小.
点评小球沿固定球面运动，所受外力之合力为零，通过力矢量三角形与几何边三角形的相似，求得结果.如果用正交分解法求解，也较方便，如图3所示，有关角度假设图中标出.小球受重力mg、球面弹力N及绳的拉力T作用，建立直角坐标系，将相关力进行分解，由平衡条件，有Ncosβ-Tsinα=0，Nsinβ Tcosα-mg=0.所得结果同上.一般认为该类问题宜用相似三角形求解，其实不然.正交分解法亦是一种有效的分析方法.
取绳悬挂点为转动轴，由力矩平衡条件可以得到弹力N增大（重力的力臂增大，压力的力臂减小）.因此，该题正确选项是A.
点评用解析法处理该题，是非常繁琐的，除了重力大小、方向不变外，其他力的大小、方向均发生改变，较第1类情境要复杂的多.如果我们画出矢量图来分析，应用矢量图解法，如图6所示，用水平力向右推半圆柱，使小球沿半圆柱面缓慢移动一小段距离的过程中，角度α、β均增大.由图6可知，压力N增大，拉力T减小.容易得到选项A正确.可见，矢量图解法在处理该问题中具有形象、直观、简洁之优点.
3小球在无形球面上处于动态平衡的情形
例3如图7所示，在光滑小滑轮C正下方相距h的A处固定一电荷量为Q的点电荷，重力大小为G、电荷量为q的带电小球B，用绝缘轻细线拴着，细线跨过定滑轮，在细线的另一端用适当大小的力F1拉住，使小球B处于静止状态，这时小球B与A点的距离为R，细线CB与AB垂直.已知静电力常量为k，环境可视为真空.现缓慢拉动细线（始终保持小球平衡），直到小球刚到滑轮正下方的过程中，拉力所做的功为W1，电场力所做的功为W2，则下列关系式正确的是
A.GR3=kqQhB.GR2=kqQ
C.W1=kqQR（hR-1）D.W1=kqQR（hR 1）
解析对小球B进行受力分析，如图8所示，设库仑斥力大小为F2，绳子拉力大小为FT，则库仑力与重力G之合力大小F合等于绳子拉力大小FT，但方向相反.对同一根轻绳，F1=FT.令某时刻滑轮右侧的绳长为l，小球B与A点的距离为x.
考察图7，力矢量三角形（填充）与几何边构成的△ACB相似，则有
FTG=lh， F2G=xh，
解得F1=FT=lhG， F2=xhG，
且库仑力大小F2=kQqx2，则x=3kqQhG.
同理可知在初态时，有R=3kqQhG.因此，小球在运动中距点电荷Q之间的距离始终保持不变，并等于R.小球沿图中虚线运动（假想的无形球面）至滑轮的正下方的过程中，电场力未做功，缓慢移动小球动能不变.由动能定理，知绳子拉力所做的功等于克服重力所做的功，于是，有W1=G（R-Rcosα），且cosα=Rh.将重力G用库仑力代换得到W1=kqQR（hR-1）.选项A、C正确.
点评该题分析之关键是判断小球在运动中，其与点电荷Q之间的距离保持不变.可借助于情境1来理解.关于绳子拉力所做的功，亦可以通过左侧拉力的作用点发生的位移直接求得.由于F1=lhG，可见，该力与右侧绳长成正比，通过取平均值或应用图象法或应用微积分方法均可等到答案.如用微积分处理，可以列出表达式W1=∫l2l1F1dl=Gh∫l2l1ldl，式中积分下限l1=h-R，上限l2=h2-R2，且将库仑力和重力的关系代入，即得相同的结果.认知心理学家根据解决问题的效率将解题方法（策略）分为强方法和弱方法.对解决问题来说，有些策略对某种类型的问题的解决有直接有效的帮助，效率较高，属强方法.而有些策略对某种类型的问题的解决有启发作用，且应用范围广，但效率较低，则属弱方法.动态平衡问题的分析具有较大的灵活性，静止的球面（包括无形球面）问题，三角形相似法为强方法；动态的球面问题，矢量图解法则为强方法.教学实践表明，通过题组训练，在解题过程中，让学生自主领悟并掌握问题解决中的强方法，有利于提高学生的思维品质，有利于提高习题教学的效益.
【基金项目：中国教育学会物理教学专业委员会2013年-2016年全国物理教育科研重点课题：习题教学与物理科学方法教育的研究.】