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纵观各地的高考数学题,很多试题都是依据课本中典型的例题和习题进行变式、综合、拓展而成的,它们既源于课本,又高于课本,既注重双基的考查,更突出数学能力的考查,这就启发我们在教学中不要舍本逐末,而应就地取材,注重应用新课程的理念,对课本中的习题进行挖掘找寻与高考题的联系,有效地帮助学生提高学习的效率,培养学生的高考思维意识,增强学生综合应用知识的能力。
如三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,而且三角形中的线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可用向量式表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。下面结合部分高考题或高考模拟题谈谈这个知识点的求解策略,供参考。
一、 运用平面向量等式实数互化或等式图形化,求三角形的“心”
例1、(05年高考全国卷Ⅰ文科)点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的()
A、三条内角的平分线的交点
B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点D、三条高的交点
解:
同理可得。因此点O是△ABC的垂心。
点评:在平面几何中,三角形的四“心”:重心、内心、垂心、外心,只在初中几何中介绍过,但在高中几何中再用平面向量知识去研究又是一考点,更在各地高考题中屡屡见到其“心”影。足见命题专家对“心”的情到独钟,该引起我们的足够重视。
所以总结为:三角形重心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的重心;三角形内心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的内心;三角形垂心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的垂心;三角形外心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的外心。掌握三角形“四心”的向量式充要条件能帮助我们顺利求解“心”题。
二、运用平面向量的数量积定义判断三角形的形状
原题、(普通高中课程标准实验教科书,必修4,P20,8)
已知△ABC中,当或时,试判断△ABC的形状。
略解:由向量的数量积定义可得,当时,△ABC为钝角三角形;当时,△ABC为直角三角形。
总结:2010年高考考纲要求:会进行向量数量积的运算。这就强调了向量数量积这一知识点的份量,对于向量数量积这一定义运算,也不是难点,关键是理解定义、公式的结构特点与适用范围。
,其中θ是向量与的夹角
=(x1,y1),=(x2,y2),· =x1x2+y1y2
如例2、(2008安庆模拟)已知△ABC中,有和,试判断△ABC的形状。
三、运用平面向量的知识求三角形中相关的量
原题、(普通高中课程标准实验教科书,必修4,B组 4)
如图,在圆C中,是不是只需知道圆C的半径或弦AB的长度,就可以求的值?
思路:利用向量的数量积定义,将向量关系转化为边角关系。
解:的值只与弦AB的长有关,与圆的半径无关。
证明:取AB的中点M,连接CM,则CM⊥AB,又=cos∠BAC,而cos∠BAC=,所以=
总结:三角形元素有边有角等,如要把求三角形的元素与平面向量、三角函数等知识结合起来,又是一个难点、考点,解题的策略是活用向量的加、减法则,向量数量积定义,正弦定理,余弦定理等。
例3、(2008山东卷15)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,
向量m=(),n=(cosA,sinA).若,
且,则角B=.
四、运用平面向量的知识求三角形或四边形的面积
例4、(2009浙江18)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足
(Ⅰ)求△ABC的面积;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。
解析:(I)因为∴,,又由,得∴bc=5,∴ w.w.w.k.s.5.u
(II)略
五、运用平面向量的处理三角形中的最值问题
例5、(2007 辽宁20)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心)
(I)求圆C的方程;
(II)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7cosθ)2=1,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PC切点为E,F,求的最大值和最小值.
解:(I)略。
(II)设∠ECF=2a,则
在中Rt△PCE,cosa=,由圆的几何性质得,
所以,由此可得
则的最大值为,最小值为-8.
六、运用平面向量的求三角形中相关量的取值范围
例6、(07全国Ⅱ20)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆O的方程;
(2)圆O与轴x相交于A,B两点,圆内的动点P使成等比数列,求的取值范围.
解:(1)略
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1 A(-2,0),B(2,0).
设P(x,y),由成等比数列,得
,
即x2-y2=2.
=x2-4+y2
=2(y2-1.)
由于点P在圆O内,故
由此得y2<1.
所以的取值范围为[-2,0).
事实上,课本如同一块压缩饼干,其中蕴藏着丰富的知识和技能技巧,老师应该把培养、提高学生能力的着眼点移到挖掘和吃透课本知识上来,指导学生扎扎实实地学好课本,一步一个脚印,既要深刻理解,又要牢固掌握,做到举一反三,融会贯通,才能运用自如,熟能生巧。
如三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,而且三角形中的线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可用向量式表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。下面结合部分高考题或高考模拟题谈谈这个知识点的求解策略,供参考。
一、 运用平面向量等式实数互化或等式图形化,求三角形的“心”
例1、(05年高考全国卷Ⅰ文科)点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的()
A、三条内角的平分线的交点
B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点D、三条高的交点
解:
同理可得。因此点O是△ABC的垂心。
点评:在平面几何中,三角形的四“心”:重心、内心、垂心、外心,只在初中几何中介绍过,但在高中几何中再用平面向量知识去研究又是一考点,更在各地高考题中屡屡见到其“心”影。足见命题专家对“心”的情到独钟,该引起我们的足够重视。
所以总结为:三角形重心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的重心;三角形内心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的内心;三角形垂心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的垂心;三角形外心的向量式充要条件:若点O是△ABC所在平面内的一点,则点O是△ABC的外心。掌握三角形“四心”的向量式充要条件能帮助我们顺利求解“心”题。
二、运用平面向量的数量积定义判断三角形的形状
原题、(普通高中课程标准实验教科书,必修4,P20,8)
已知△ABC中,当或时,试判断△ABC的形状。
略解:由向量的数量积定义可得,当时,△ABC为钝角三角形;当时,△ABC为直角三角形。
总结:2010年高考考纲要求:会进行向量数量积的运算。这就强调了向量数量积这一知识点的份量,对于向量数量积这一定义运算,也不是难点,关键是理解定义、公式的结构特点与适用范围。
,其中θ是向量与的夹角
=(x1,y1),=(x2,y2),· =x1x2+y1y2
如例2、(2008安庆模拟)已知△ABC中,有和,试判断△ABC的形状。
三、运用平面向量的知识求三角形中相关的量
原题、(普通高中课程标准实验教科书,必修4,B组 4)
如图,在圆C中,是不是只需知道圆C的半径或弦AB的长度,就可以求的值?
思路:利用向量的数量积定义,将向量关系转化为边角关系。
解:的值只与弦AB的长有关,与圆的半径无关。
证明:取AB的中点M,连接CM,则CM⊥AB,又=cos∠BAC,而cos∠BAC=,所以=
总结:三角形元素有边有角等,如要把求三角形的元素与平面向量、三角函数等知识结合起来,又是一个难点、考点,解题的策略是活用向量的加、减法则,向量数量积定义,正弦定理,余弦定理等。
例3、(2008山东卷15)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,
向量m=(),n=(cosA,sinA).若,
且,则角B=.
四、运用平面向量的知识求三角形或四边形的面积
例4、(2009浙江18)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足
(Ⅰ)求△ABC的面积;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。
解析:(I)因为∴,,又由,得∴bc=5,∴ w.w.w.k.s.5.u
(II)略
五、运用平面向量的处理三角形中的最值问题
例5、(2007 辽宁20)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心)
(I)求圆C的方程;
(II)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7cosθ)2=1,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PC切点为E,F,求的最大值和最小值.
解:(I)略。
(II)设∠ECF=2a,则
在中Rt△PCE,cosa=,由圆的几何性质得,
所以,由此可得
则的最大值为,最小值为-8.
六、运用平面向量的求三角形中相关量的取值范围
例6、(07全国Ⅱ20)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆O的方程;
(2)圆O与轴x相交于A,B两点,圆内的动点P使成等比数列,求的取值范围.
解:(1)略
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1
设P(x,y),由成等比数列,得
,
即x2-y2=2.
=x2-4+y2
=2(y2-1.)
由于点P在圆O内,故
由此得y2<1.
所以的取值范围为[-2,0).
事实上,课本如同一块压缩饼干,其中蕴藏着丰富的知识和技能技巧,老师应该把培养、提高学生能力的着眼点移到挖掘和吃透课本知识上来,指导学生扎扎实实地学好课本,一步一个脚印,既要深刻理解,又要牢固掌握,做到举一反三,融会贯通,才能运用自如,熟能生巧。