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[摘要]实践证明，“变”能引起学生的思维欲望和最佳思维定向（抓住不变的本质），调动学生复习的主动性和积极性。变式训练是创造性思维教学的关键。设计“变式题”正是基于这一认识，一方面通过习题引导学生多角度，多方向的进行思维，尝试多种解法，另一方面，通过习题的变式迁移而达到“做一道而通一类”的目的。
[关键词]复习；多解；变式；基本图形
由于复习是知识的再现过程，学生容易产生厌学的情绪。因此，如何改进教学方法，把复习课教“好”教“活”，提高课堂的复习效率，使复习课受学生欢迎，是个值得研究的问题。北师大院曹一鸣教授这样评价一堂有价值的数学课：“一堂有价值的数学课，给予学生的影响是多元而立体的，有知识的丰富、技能的纯熟、更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。”《数学课程标准》中就有“鼓励学生解决问题策略多样化”的提法。笔者就一道习题的多种解法与变式，在课堂实践中得来些思索，通过变式教学，使学生的思维真正能“动”起来，在所学知识中，能顺畅“飞翔”。
题目：如图（1），折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕，并且AD＝10，AB＝6，求EF等于多少？
一、一题多解
教材习题研究的往往只是问题的基本形式，即使把其中的有关问题“做遍了”，也只能把握问题的某个方向，因此教师要挖掘习题中蕴含的深层次的知识点，鼓励学生从多角度多方向的思考问题，尝试多种解法，这样才能使学生的思维呈辐射状展开，从而开阔视野，拓展思维，下面呈现学生的做法：
生1：利用勾股定理来求，由折叠性质可知， AEF≌ AED，AF＝AD＝10，DE＝EF，利用勾股定理求得BF＝8，从而CF＝2，不妨设EF＝x, CE＝6－x，在Rt△CEF中，再利用勾股定理建立x2=(6-x)2+22。
生2：利用等面积来求：（1）S矩形= 2S△ADE+S△ABF+S△ECF ；(2) S直角梯形= S△CEF+ S△AEF +S△ABF。
生3：做法与生1差不多，先求得CF＝2，再利用 ABF∽ FCE，从而 ，求出EF。
在课堂复习中，不要单纯的追求速度和数量，要做到复习一个问题，能解决一类问题。还要舍得花时间让学生自己动手解决问题，充分暴露他们的思维过程，同时要注意引导学生进行解题后的反思，以问题串的形式慢慢的启发学生思考：（1）这个问题与以往做过的哪些问题有联系？（2）共同的本质是什么？（本质就是利用方程的思想建立等量关系，从而求得线段长。）（3）怎样建立方程呢？（寻求等量关系）（4）在几何图中如何找等量关系？（5）从这道题的解法中能否得到启示？
与学生一起总结出求线段长的“四个法宝”：（1）勾股定理；（2）相似三角形对应边成比例；（3）等面积法；（4）解直角三角形的边角关系。
纵观历年中考的综合题，离不开求线段长，若能把这“四个法宝”掌握得炉火纯青，则运用起来就得心应手，有的放矢，能起到“事半功倍”的奇效。
总之，鼓励学生找到多种方法求线段长，深入领会方程的思想，感受数学活动充满探索性和创造性，使学生获得积极的情感体验，对知识形成正向迁移，使课堂变成了学生探索互助的乐园，师生展现个性的舞台。
二、一题多变
复习课中如果能对教材中的例题、习题加以变式，即保持问题的本质不变，以便从不同的角度、不同的方向说明问题的本质，营造宽松开放的学习氛围，从而有效的
提高教学效率。笔者还是以上一例的变式来说明。
变式1：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC上的一点，并且AF⊥FP，P为FP与CD的交点。求证： ABF∽ FCP。
变式2：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC上的一点， ABF∽ FCP。求证：AF⊥FP。
变式3：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC的中点，且CP＝1/2CF。求证： (1) ABF∽ FCP；(2)∠AFP等于多少？
变式4：如图（2），在正方形ABCD中， F、P分别在BC、CD上，如果AP＝5，PF＝3，AF＝4，则正方形ABCD的面积等于多少？
生1的错误解法：学生已有前面的经验，以为把△ADP折叠到△AFP，从而得到AD＝4，面积等于16。
生2：不对，如果AD＝AF＝4，又因为AB＝AD，则AF＝AB＝4，这是不可能的，斜边不可能等于直角边。因此生1这种解法是错误的。
教师引导学生反思：（1）从上面的四种变式中会不会得到一些启发？（2）∠AFP＝90°与∠ABF、∠PCF之间有什么联系？（3）最本质的问题是什么？（∠BFC是平角，三角形内角和等于180°）
提炼基本图形，∠B=∠AFP＝∠C= 。
注意：（1）B、F、C三点共线；（2）当AF＝PF时，△ABF≌△FCP；（3）当AF≠PF时，△ABF∽△FCP。
对课本例题、习题进行分析讲解和联想探究的过程中，蕴藏着巨大的命题效益，许多中考试题都是由课本的一些习题拓展而得到的，如上面的基本图形I，在中考命题中常被采用。同时，这些题目又高于课本，这种与命题人零距离接触的活动，不仅可以提高我们从点到面，举一反三，触类旁通的能力，而且让学生在思考上产生质的变化。这就要求学生在复杂图形中能熟练地分解出基本图形。若未能发现基本图形，要懂得构造。
变式5：（2008·常州）已知：如图3，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD。
多了一条AE线段干扰，若未说明这个基本图形I，学生会感到茫然，但一旦借助模型进行思考时，由于免除其它附加条件的干扰，从“点到点”的思维模式提升到“块到块”的思维模式，若学生能马上识别出∠B=∠EFD=∠C=90°, 且FE=ED,则△FBE≌△ECD,得到CD＝BE＝BA，问题就迎刃而解了。若能这样想，不但思维过程简洁流畅，而且解题突破快。
变式6：（09宁德中考试题）如图（3），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。
（1）连接GD，求证：⊿ADG≌⊿ABE；(4分)
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（4），将图（3）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上。判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明。(5分)
变式6是以“正方形”、“矩形”为背景，在“动”中开阔学生的视野，拓展学生的思维空间，但要在“静”中寻找突破口，懂得在复杂图形背景中，识别基本图形，如果没有基本图形，要懂得构造。（如在变式6第（2）问中，如下图（4），过F作FH⊥MN,若能识别出 ∠ABE=∠AEF=∠EHF=90°，且AE=EF,则△ABE≌△EHF。就找到问题的突破口了。在第（3）问中，还是同样的添辅助线，由∠EBA＝∠AEF＝∠EHF＝90o， 则△EFH∽△AEB， 再由△EFH≌△AGD，问题就迎刃而解了。） 从而就找到解决问题的途径，学生能快速解答出中考试题，获得成就感与自豪感，便会沉浸在探索数学的乐趣中。
在基本图形（Ⅰ）中，进一步引发学生思考，把基本图形类比，推广到更一般的情形。
如基本图形(Ⅱ)，∠1=∠2=∠3≠90°，（1）当AP＝PE时，△ABP≌△PCE吗？（2）当AP≠PE时，△ABP∽△PCE吗？
在类比的过程中，使学生学会思考，培养探究能力，克服思维定势，搞高应变能力。
例题：北师大数学教材七年下册168页习题：△EFG的三边相等，三个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？△HIJ的三边相等吗？
变式1：如图（6），△EFG，△HIJ都是正三角形，且H、I、J分别在EF、FG、GE上，△EHJ、△FIH与△GJI全等吗？
变式2：（2008年福州中考卷）如图（7），已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
分析：在第（3）问中，要使得△APR∽△PRQ，则需要有∠A=∠QPR=60o当∠QPR=60o时，有∠A=∠B=∠QPR=60o,可得基本图形（Ⅱ），从而△BQP∽△APR,剩下的问题就自然解决了。
通过这一系列如川剧中的“变脸”式的变式训练，适当的提炼一些基本图形，有意识、有目的的引导学生从“变”的现象中寻找“不变的本质”，并用基本图形解决问题，将中考综合题分解、转化，有利于增强学生的整体意识，使他们能在较短的时间内抓住问题的本质，使原本复杂的问题简单化，大大缩短了思考时间，达到举一反三，触类旁通的目的。这一切都需要教师在教学过程中的基本题、基本图形不断的挖掘，总结提炼，有意识的对学生进行训练，从而提高学生的数学素养和创造性的解决问题的能力。
综上所述，教材中的许多例题和习题都反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着重要数学思想和思维方法。具有典型的范例作用，极具 “开采”价值。这就要求教师应确立教材的“二次开发”的意识，不断挖掘教材中例题、习题的内在“潜能”。并以此来调整教学行为，从一个单纯的教材“执行者”转变为课程资源的“开发者”，这样，课堂必将成为孕育发展性人才的沃土，这样的复习课，才能让学生真正的喜欢。有了这些提炼的基本图形，犹如给学生插上了“思维的翅膀”，让他们在所学的知识中游刃有余，顺畅“飞翔”。
[参考文献]
[1]李印.一类源于课本习题的拓展题导析【J】.中国数学教育，2008，（9）：37－38.
[2]邵潇野.例谈几何习题教学的变式策略【J】.中国数学教育，2009，（6）：30－33.
[3]何超英.浅谈教材例、习题资源的使用策略【J】.中国数学教育，2009，（9）17－18.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
[关键词]复习；多解；变式；基本图形
由于复习是知识的再现过程，学生容易产生厌学的情绪。因此，如何改进教学方法，把复习课教“好”教“活”，提高课堂的复习效率，使复习课受学生欢迎，是个值得研究的问题。北师大院曹一鸣教授这样评价一堂有价值的数学课：“一堂有价值的数学课，给予学生的影响是多元而立体的，有知识的丰富、技能的纯熟、更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。”《数学课程标准》中就有“鼓励学生解决问题策略多样化”的提法。笔者就一道习题的多种解法与变式，在课堂实践中得来些思索，通过变式教学，使学生的思维真正能“动”起来，在所学知识中，能顺畅“飞翔”。
题目：如图（1），折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕，并且AD＝10，AB＝6，求EF等于多少？
一、一题多解
教材习题研究的往往只是问题的基本形式，即使把其中的有关问题“做遍了”，也只能把握问题的某个方向，因此教师要挖掘习题中蕴含的深层次的知识点，鼓励学生从多角度多方向的思考问题，尝试多种解法，这样才能使学生的思维呈辐射状展开，从而开阔视野，拓展思维，下面呈现学生的做法：
生1：利用勾股定理来求，由折叠性质可知， AEF≌ AED，AF＝AD＝10，DE＝EF，利用勾股定理求得BF＝8，从而CF＝2，不妨设EF＝x, CE＝6－x，在Rt△CEF中，再利用勾股定理建立x2=(6-x)2+22。
生2：利用等面积来求：（1）S矩形= 2S△ADE+S△ABF+S△ECF ；(2) S直角梯形= S△CEF+ S△AEF +S△ABF。
生3：做法与生1差不多，先求得CF＝2，再利用 ABF∽ FCE，从而 ，求出EF。
在课堂复习中，不要单纯的追求速度和数量，要做到复习一个问题，能解决一类问题。还要舍得花时间让学生自己动手解决问题，充分暴露他们的思维过程，同时要注意引导学生进行解题后的反思，以问题串的形式慢慢的启发学生思考：（1）这个问题与以往做过的哪些问题有联系？（2）共同的本质是什么？（本质就是利用方程的思想建立等量关系，从而求得线段长。）（3）怎样建立方程呢？（寻求等量关系）（4）在几何图中如何找等量关系？（5）从这道题的解法中能否得到启示？
与学生一起总结出求线段长的“四个法宝”：（1）勾股定理；（2）相似三角形对应边成比例；（3）等面积法；（4）解直角三角形的边角关系。
纵观历年中考的综合题，离不开求线段长，若能把这“四个法宝”掌握得炉火纯青，则运用起来就得心应手，有的放矢，能起到“事半功倍”的奇效。
总之，鼓励学生找到多种方法求线段长，深入领会方程的思想，感受数学活动充满探索性和创造性，使学生获得积极的情感体验，对知识形成正向迁移，使课堂变成了学生探索互助的乐园，师生展现个性的舞台。
二、一题多变
复习课中如果能对教材中的例题、习题加以变式，即保持问题的本质不变，以便从不同的角度、不同的方向说明问题的本质，营造宽松开放的学习氛围，从而有效的
提高教学效率。笔者还是以上一例的变式来说明。
变式1：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC上的一点，并且AF⊥FP，P为FP与CD的交点。求证： ABF∽ FCP。
变式2：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC上的一点， ABF∽ FCP。求证：AF⊥FP。
变式3：如图（2），在正方形ABCD中，点F是BC的中点，且CP＝1/2CF。求证： (1) ABF∽ FCP；(2)∠AFP等于多少？
变式4：如图（2），在正方形ABCD中， F、P分别在BC、CD上，如果AP＝5，PF＝3，AF＝4，则正方形ABCD的面积等于多少？
生1的错误解法：学生已有前面的经验，以为把△ADP折叠到△AFP，从而得到AD＝4，面积等于16。
生2：不对，如果AD＝AF＝4，又因为AB＝AD，则AF＝AB＝4，这是不可能的，斜边不可能等于直角边。因此生1这种解法是错误的。
教师引导学生反思：（1）从上面的四种变式中会不会得到一些启发？（2）∠AFP＝90°与∠ABF、∠PCF之间有什么联系？（3）最本质的问题是什么？（∠BFC是平角，三角形内角和等于180°）
提炼基本图形，∠B=∠AFP＝∠C= 。
注意：（1）B、F、C三点共线；（2）当AF＝PF时，△ABF≌△FCP；（3）当AF≠PF时，△ABF∽△FCP。
对课本例题、习题进行分析讲解和联想探究的过程中，蕴藏着巨大的命题效益，许多中考试题都是由课本的一些习题拓展而得到的，如上面的基本图形I，在中考命题中常被采用。同时，这些题目又高于课本，这种与命题人零距离接触的活动，不仅可以提高我们从点到面，举一反三，触类旁通的能力，而且让学生在思考上产生质的变化。这就要求学生在复杂图形中能熟练地分解出基本图形。若未能发现基本图形，要懂得构造。
变式5：（2008·常州）已知：如图3，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD。
多了一条AE线段干扰，若未说明这个基本图形I，学生会感到茫然，但一旦借助模型进行思考时，由于免除其它附加条件的干扰，从“点到点”的思维模式提升到“块到块”的思维模式，若学生能马上识别出∠B=∠EFD=∠C=90°, 且FE=ED,则△FBE≌△ECD,得到CD＝BE＝BA，问题就迎刃而解了。若能这样想，不但思维过程简洁流畅，而且解题突破快。
变式6：（09宁德中考试题）如图（3），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。
（1）连接GD，求证：⊿ADG≌⊿ABE；(4分)
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（4），将图（3）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上。判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明。(5分)
变式6是以“正方形”、“矩形”为背景，在“动”中开阔学生的视野，拓展学生的思维空间，但要在“静”中寻找突破口，懂得在复杂图形背景中，识别基本图形，如果没有基本图形，要懂得构造。（如在变式6第（2）问中，如下图（4），过F作FH⊥MN,若能识别出 ∠ABE=∠AEF=∠EHF=90°，且AE=EF,则△ABE≌△EHF。就找到问题的突破口了。在第（3）问中，还是同样的添辅助线，由∠EBA＝∠AEF＝∠EHF＝90o， 则△EFH∽△AEB， 再由△EFH≌△AGD，问题就迎刃而解了。） 从而就找到解决问题的途径，学生能快速解答出中考试题，获得成就感与自豪感，便会沉浸在探索数学的乐趣中。
在基本图形（Ⅰ）中，进一步引发学生思考，把基本图形类比，推广到更一般的情形。
如基本图形(Ⅱ)，∠1=∠2=∠3≠90°，（1）当AP＝PE时，△ABP≌△PCE吗？（2）当AP≠PE时，△ABP∽△PCE吗？
在类比的过程中，使学生学会思考，培养探究能力，克服思维定势，搞高应变能力。
例题：北师大数学教材七年下册168页习题：△EFG的三边相等，三个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？△HIJ的三边相等吗？
变式1：如图（6），△EFG，△HIJ都是正三角形，且H、I、J分别在EF、FG、GE上，△EHJ、△FIH与△GJI全等吗？
变式2：（2008年福州中考卷）如图（7），已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
分析：在第（3）问中，要使得△APR∽△PRQ，则需要有∠A=∠QPR=60o当∠QPR=60o时，有∠A=∠B=∠QPR=60o,可得基本图形（Ⅱ），从而△BQP∽△APR,剩下的问题就自然解决了。
通过这一系列如川剧中的“变脸”式的变式训练，适当的提炼一些基本图形，有意识、有目的的引导学生从“变”的现象中寻找“不变的本质”，并用基本图形解决问题，将中考综合题分解、转化，有利于增强学生的整体意识，使他们能在较短的时间内抓住问题的本质，使原本复杂的问题简单化，大大缩短了思考时间，达到举一反三，触类旁通的目的。这一切都需要教师在教学过程中的基本题、基本图形不断的挖掘，总结提炼，有意识的对学生进行训练，从而提高学生的数学素养和创造性的解决问题的能力。
综上所述，教材中的许多例题和习题都反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着重要数学思想和思维方法。具有典型的范例作用，极具 “开采”价值。这就要求教师应确立教材的“二次开发”的意识，不断挖掘教材中例题、习题的内在“潜能”。并以此来调整教学行为，从一个单纯的教材“执行者”转变为课程资源的“开发者”，这样，课堂必将成为孕育发展性人才的沃土，这样的复习课，才能让学生真正的喜欢。有了这些提炼的基本图形，犹如给学生插上了“思维的翅膀”，让他们在所学的知识中游刃有余，顺畅“飞翔”。
[参考文献]
[1]李印.一类源于课本习题的拓展题导析【J】.中国数学教育，2008，（9）：37－38.
[2]邵潇野.例谈几何习题教学的变式策略【J】.中国数学教育，2009，（6）：30－33.
[3]何超英.浅谈教材例、习题资源的使用策略【J】.中国数学教育，2009，（9）17－18.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文