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【摘 要】如何让教其行，学者乐其生，提高幸福感，是每个教育者追求的，少教多学是对新课程改革的有一种理解。当前的教育具有“压缩式”的特征，高三尤其如此。（1）从教学层面关注：在中学数学教学中，在何种教学内容环境下，有效地培养学生自主学习能力。同时，在现有课堂教学过程中，少教多学的教育模式有何障碍。（2）从学生受教育层面关注：学生对所学内容的理解和判断会产生何种冲击和影响。目的在于了解高三学生受教育现状，通过设置“问答本”和设置数学“说题训练”，进行案例分析，探讨少教多学的策略，且进行对比实验，学生的反馈说明所进行的尝试是有效可行的。本研究和实验表明：在高三注重课前预设，教学设计中规划固定时间学生“说”，活跃了课堂，增强了教师在数学思想方面的展现能力和技巧，促进了学生数学创新的发展和提高创新能力。
【关键字】高中数学；素质教育；
一、高中生主动学习的原因分析
1.传统观念因素
中国教育传承千年，儒家思想根深蒂固，教育方式相對封闭，墨守成规。特征有，严格的家庭管教，知识是强调师道尊严，不可逾越经典，不鼓励创新，反映在同人上，无鲜明个性，重文化轻创造。[1]在精神念力上相对保守，不思创新；在知识上师道尊严，老师的权威，加上学业学习频率的过快，加大了压力。
我国高中数学教学注重“讲清基本概念，抓住高考要点，培养解题技巧”，强调教师的主导作用，而忽视学生的主体地位，学生墨守成规，一切行动听教师指挥。尽管教材分必修和选修两种，但高考范围圈定进来了的有九本之多，二年零一个月必须讲完，才能全面复习。传统的“填鸭式”教学成为完成教学任务的首选，快速完成教学任务的同时，是以牺牲学生自主思考、提问、演绎时间的，往往年级越高，学生提问越少，不是设问题，而是没机会问，自主学习意识越来越少。[2]
2.学生因素
从知识能力体系上，学生原有知识结构的来源，学前和小学初期，游戏教学较多，思维活跃，有闪光点。随着年级增长，数学教学内容侧重抽象回归。
学生的思想日渐成熟，在高中阶段认识角度“叛逆”，学习知识的意志品质薄弱，“遇硬就回”。
独生子女相互间协作程度也是一个因素，老师们感叹“孩子间团结友爱一代不如一代，不善思考，不善交流。
3.教学方法障碍
新课程教材上的更新，也必然带来教法上的改变。比如算法与多媒体展台、白板的结合等。如何将新的教学手段纳入到原有的方式中，并且创造和谐、兴奋的课堂，应是老师追求的，但有的老师不愿意或不会设计。主导者往往用大容量的说教占据时间，就知识不是说的越多越好。
影响因素还有很多，比如教育评价因素，许多学校追求短期效应，一味看平均分，教师受其制约，对后进生过去看重，用各种方式强迫后进生。而人的精力有限，管后进生没有错误，但管理他们更多是事务性的事，对其他优等生反倒疏于课堂提高、调动，课堂分层训练被弱化。
二、培养少教多学的策略
在某种意义上，保证其可行性的完整说法应是“先学后教，少教多学”。只有学有学的主动性，才有精讲的使用，主动学习的效果。
加强双基训练，为学生的少教多学的培养提供必要的知识与能力基础；创造良好的教学气氛，鼓励学生质疑问题，为学生“学”的培养提供适宜的环境。
1.提升素养，注重效率。
在教育中，“桶水论”往往用在阐述对教师素质的要求上。而事实上，适当的课前预设能极大提高教学实效。怎么体现呢？用精准的导学案，展现数学专业知识。教师过程中为主导，会强制锻炼出娴熟的教学技巧，迅速的思变能力，教学效率能达到更好。[3]
此外，数学教学语言应该鲜明、准确，阐述顺序逻辑正确，这些都要求教师注重学中研、研中学，参与到继续教育的学习中，而固步自封是要不得的。
2.以错纠错，培养自学。
数学设计中用问题本，是指在导学案之后的学习中，适当记录错题，学习过程就自身做错的题反复改正，激发他们积极寻找解决问题的方法和途径，排除困难，进而获得成功的情境，创设情境。
3.营造氛围，鼓励质疑。
教学中老师为主导，学生为主体。在教学设计上设置说题训练课，采用和学生一起思考的方式加以引导，帮助学生清理问题的思路，对其提问与回答持正确态度，强化他们问题意识。对课程安排上，多给学生一些探索、猜的空间，从不同的方面，比如其他学科联系角度，引导学生去发现问题、提出问题。
三、培养少教多学的具体实践
学生的不同手段体现的学习主动性和理解力是不一样的，不同年段体现也不尽相同。高三学生，面临升学压力，少教多学既是管理需要，也是老师所追求的“教是为不教”的境界。我以三届学生为了引导笔者采用“问答本”与设置“说题训练”课，应用中注重知识“骨架”学习，演算草纸格式化。[4]
1.设置数学“问答本”。
教学中有种境界“教是为了不教”，而少教多学并不是真的不教，“问答本”是个统称，包括⑴当堂内容分析（导学案，教师预设）⑵学习错例摘要，是教学内容的浓缩，是学生的第二教材，称之为笔记也很恰当。
在使用上，学生一周保证七道题，老师定期评价，这是师生沟通有无的一个渠道。针对错题，学生临睡前和起床后拿出固定的15分钟时间翻阅、记录、演算，坚持不懈，效果显著。这符合无后摄记忆、无前摄记忆的记忆规律。人睡觉后自然不会通过视觉看到任何事务，那么临睡前的影像就会在大脑中驻留，睡梦中下意识整理。反之，清晨人起床后，大脑刚刚复苏过来，所见事物也必然会印象深刻。
2.设置数学“说题训练”课。（启动电子白板的录音功能，记录和对比训练前后学生的变化）
问题解决是数学教学中重要目标，是提出问题的重要源泉。在每周的一定课时设置“说题训练”课，利用数学语言口述解题的思路，解题“骨架”，在局部有一定知识的概括，对学生知识网络的形成有很大帮助。同时，快速的知识轮动会有助于课堂气氛的活跃，激发学生的潜力。 （1）说定义。只有自主查阅教材，才能体会出定义与所做题型的差别，符合少教多学，激发自主学习。
（2）说思维。阐述本题知识“骨架”，会将看似分段的知识点纵向串成知识线，进而形成知识面，覆盖全部。以点带面是少教多学追求的境界。
（3）说反思。问题解决后，看其涉及内容，学生说知识点的內伸外延，培养自主学习的同时也渗透学法教育，锻炼了学习的意志品质。教师总评反思，可在一题多解、变式上做文章，筛选知识结构，渗透数学思想。潜移默化带动学生学会自主探索，进而尽可能做到教为了“不教”。[5]
四、实践
1.高中数学课堂少教多学的策略、提高
（1）课堂少教多学存在的问题
①重提问轻反馈。
当学生初次尝试时，回答问题很迟疑，课程进行慢，老师为了完成进度，往往随声提示，一讲到底。学生不能参与到对问题的思考和回答中去，反而容易造成学生对问题的麻木，对教师自问自答形式的依赖。
②重形式轻实效。
过多地提一些诸如“对不起”、“行不行”问题，表面上教与学“双边“活动热闹非常，实际上实效不大。
[范例]以求曲线方程五步法为例
求曲线的方程的教学设计
一、内容和内容解析
求曲线的方程为人民教育出版社选修2-1的内容，是高二年级上学期课程。它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系，介绍了求解曲线方程的一般方法。
初中，学生就接触直线与圆的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系可以承上启下，学生可以根据原有知识通过教师的引导进行一般的归纳总结，加深对定义内伸和外延的理解，进而能更深层次理解解析几何的本质，同时也为后续圆锥曲线的学习做铺垫。
二、目标和目标解析
教学目标：了解曲线的方程、方程的曲线的概念；掌握根据给出的条件求曲线的方程的方法；通过对曲线方程定义的归纳总结，体会数学思维的严谨性，借助多媒体技术强化数形结合的思想方法.
具体体现在：
（1）辨析给出的方程是否是某曲线的方程；
（2）掌握求曲线方程的基本步骤；
（3）能够对照求曲线方程的步骤反思自己的求解过程。
教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握。
三、教学问题诊断
在新课标教材中这部分内容是选修部分，但是高考必考部分，前面学生学习了曲线与方程的具体事例---直线及圆，了解直线和圆的问题可以通过方程来研究，例如判断两条直线的位置关系、求直线的交点、直线和圆的位置关系等，但学生多数记下的是具体的解题的方法和知识，并不能自觉地通过已有的知识记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些实例去激活学生的思维。
另外，前面所学习的“直线和圆”，学生遇到的习题往往仅限于求一条完整的直线或一个完整的圆，不深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题，而现在，学生必然会在这方面出现這样或那样的问题，所以我们的教学中，要强调新知识和原有知识结构的区别和联系，让学生感到新学的内容既不陌生，与以往的内容又有区别，这有利于联系的看问题，完善学生的认知结构，帮助学生掌握好本节内容。
四、教学支持条件分析
以往这部分教学是教师在黑板用粉笔勾勒图形，进而讲解，并不能很好的展现平面几何所蕴含的动态含义，所以，借助动态几何的软件来展现几何直观性十分必要，同时这也可以帮助学生验证其演算结果是否正确，更深入体会曲线与方程的定义。[6]
五、教学过程设计（课件设计阐述）
（一）概念的导入
[问题1] 复习提问“曲线的方程”、“方程的曲线”？
意图：明确解析几何研究的基本内容：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。
师生活动：学生阅读教科书并提炼回答内容，请学生回答，教师点评.教师指出，本节课的主要任务是求曲线的方程。
[问题2] 为什么说方程表示一、三象限的平分线？
意图：学生已经知道平面直角坐标系中的点与坐标是一一对应的，也知道方程确实可以表示一、三象限的平分线，但并不知道这是为什么，而这正是本节课要学习的内容。因此，本问题是为引出曲线与方程的概念作准备。
师生活动：（1）教师提出问题后让学生说说“为什么表示一、三象限的平分线？”
（2）指出：一、三象限的平分线上的点组成集合，方程的全部解组成集合，那么P、Q之间有什么关系呢？
（3）通过说明P、Q之间存在一一对应关系，让学生体会方程与一、三象限的平分线可以互相表示的原因。
（二）新授课
[例题1] 如果给出A，B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），动点P到A，B的距离相等。你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：学生通过已学知识知道，本问题中的点的轨迹是直线（而且是线段AB的垂直平分线），他们可能会用中点公式求出线段AB的中点，并通过求出AB的斜率而得出直线的斜率，最后用直线的点斜式写出直线方程。但如果问学生：为什么问题中的点的轨迹是直线？如果所求轨迹不是直线，你怎么能用求直线方程的方法去求呢？很有可能学生回答不出原因来，这就为用求曲线方程的一般方法求出轨迹方程，说明“点P的轨迹是直线”提供了可能。这个问题的另一个意图是让学生体会求曲线方程的步骤。[7]
师生活动：（1）教师给出问题后问学生：你知道点P的轨迹是什么吗？你会怎样求出点P的轨迹？
（2）如果学生是用求线段AB的中垂线的方式求出点P的轨迹方程，那么问点P的轨迹为什么是线段AB的中垂线？ （3）教师按教科书P35例2 的方式求出点P的轨迹方程，并按定义证明自己的结论。
[问题3] 已知A，B 是平面上两个定点，动点P到A，B的距离相等。 你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：可以让学生体会到求曲线方程的基本步骤，但由于问题中已经建立了坐标系，所以步骤不完整。本问题的一个重要作用就是让学生体会如何建立平面直角坐标系，并以此完善求曲线方程的步骤。
六、目标检测设计
1.求中心在原点，半径为2的圆位于直线上方部分所对应的方程。
设计意图：让学生体会曲线与方程之间的对应关系。
2.教科书P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题。
设计意图：巩固曲线与方程的概念，体会如何求曲线的方程（或求轨迹方程）。
3.已知平面上的线段的长为，动点向线段所张的角恒为，你能求出动点运动的轨迹的长度吗？
设计意图：让学生学会用方程来判定轨迹是什么，并进一步研究曲线的几何性质。
七、反思后的二次教学
（一）对教学设计的再思考
在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生原有的知识结构，有利于学生主动构建定义。我认为这样的设计对学生理解定义、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间，让学生环节实践归纳、思考、总结。从实际的教学情况来看，在概念的引入上是比较成功的，学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致，这是设计中值得肯定的一面。
先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程。要完整地体现教材的编写意图，在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理。
例1两法，独立解决有困难，需要教师的铺垫与归纳。
同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务。
鉴于上述分析，应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点，需要增加一个课时巩固。
（二）对教学设计的回顾
求曲线的方程
1.对什么是求曲线的方程作简单讲解（结合前面的问题来讲解，明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题）。
2.通过投影显示例2的内容，请学生阅读例2，学习解题的方法（这里将直线看作点的轨迹）， 并对照例2的解题步骤，写出求曲线方程的一般步骤。
（三）巩固练习
1.完成教科书第37页上的练习1.2，请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识？
2.阅读37页上的练习3，教师用几何软件作轨迹图形（线段的垂直平分线）然后帮助学生形成解题的方法。
（设计说明：前面已分析了學生解这个问题的困难所在，先用软件作图的目的在于启发学生的思维，帮助学生形成解题策略，有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化，同时也可以对解题中为什么要引入参数，如何引入参数作一些必要的说明，让学生掌握解题的方法。）
目标检测还是延用原来的内容。
家庭作业 习题2.1 的A组习题，再补充一个习题：
已知在长为线段上有一个动点，以、为边在的同一侧作等边三角形、，建立适当的坐标系，求线段的中点的轨迹方程。
（这个习题的目的是要求学生体会解析法的思想，体会运用参数求轨迹方程的方法。）
（三）对教学设计中“问题串”的思考
本课题在前期研究中确定，教学设计以问题串的形式进行，这种做法的实际意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴，同时能促进设计者更好地思考、把握好教学的细节，在课后也便于总结回顾和修改。
在本节课教学设计中，我要求学生回顾过去学过的相关内容，目的是为本课的学习提供一个比较开放的背景，使学生的思考活动有一个合适的出发点，知道要研究的问题是什么，可以通过怎样的方法去研究，从而使学生明确思考的方向。在这个大背景下，再结合具体问题，进一步深入概念的本质。因此，我设计的“问题串”相对比较开放。在教学实施中，我还根据学生的实际情形，对“问题”作了一些调整和补充，从实施过程看，这种调整是必要的，教学效果是好的。
新课程强调数学学习是一个动态生成的过程，不是将学生的思路禁锢在预设的框架内，不追求表面的默契，要把学生知识及数学规律的讲授转变为学生的自主探究.为此，电子白板的操作记录功能适当运用，记录师生学习的过程，要引导学生先独立思考，再通过交流发现法则，使学生的学习过程成为在发现、再创造的过程。
参考文献：
[1] 佐藤学，钟启泉.“勉强”时代的结束：东亚型教育的终结——逃避“学习”的日本儿童们（之四）[J]上海教育，2001，（15）.
[2] 王冬艳. 儒家道德观对新加坡道德教育的影响[J]北方论丛 ，2002，（03）.
[3] 王艳玲.加拿大社区学院的办学特色及启示[J]中国远程教育， 2004，（11）.
[4] 龚昊.新加坡学校德育模式研究[D]华东师范大学，2004.
[5] 何玲，黎加厚. 促进学生深度学习[J]计算机教与学，2005，（05）.
[6] 靳莉.新加坡公民道德建设研究[D]大连理工大学，2006.
[7] 朴思铭等.“曲线与方程”教学设计与反思[J].中学数学教育（高中版），2009.
【关键字】高中数学；素质教育；
一、高中生主动学习的原因分析
1.传统观念因素
中国教育传承千年，儒家思想根深蒂固，教育方式相對封闭，墨守成规。特征有，严格的家庭管教，知识是强调师道尊严，不可逾越经典，不鼓励创新，反映在同人上，无鲜明个性，重文化轻创造。[1]在精神念力上相对保守，不思创新；在知识上师道尊严，老师的权威，加上学业学习频率的过快，加大了压力。
我国高中数学教学注重“讲清基本概念，抓住高考要点，培养解题技巧”，强调教师的主导作用，而忽视学生的主体地位，学生墨守成规，一切行动听教师指挥。尽管教材分必修和选修两种，但高考范围圈定进来了的有九本之多，二年零一个月必须讲完，才能全面复习。传统的“填鸭式”教学成为完成教学任务的首选，快速完成教学任务的同时，是以牺牲学生自主思考、提问、演绎时间的，往往年级越高，学生提问越少，不是设问题，而是没机会问，自主学习意识越来越少。[2]
2.学生因素
从知识能力体系上，学生原有知识结构的来源，学前和小学初期，游戏教学较多，思维活跃，有闪光点。随着年级增长，数学教学内容侧重抽象回归。
学生的思想日渐成熟，在高中阶段认识角度“叛逆”，学习知识的意志品质薄弱，“遇硬就回”。
独生子女相互间协作程度也是一个因素，老师们感叹“孩子间团结友爱一代不如一代，不善思考，不善交流。
3.教学方法障碍
新课程教材上的更新，也必然带来教法上的改变。比如算法与多媒体展台、白板的结合等。如何将新的教学手段纳入到原有的方式中，并且创造和谐、兴奋的课堂，应是老师追求的，但有的老师不愿意或不会设计。主导者往往用大容量的说教占据时间，就知识不是说的越多越好。
影响因素还有很多，比如教育评价因素，许多学校追求短期效应，一味看平均分，教师受其制约，对后进生过去看重，用各种方式强迫后进生。而人的精力有限，管后进生没有错误，但管理他们更多是事务性的事，对其他优等生反倒疏于课堂提高、调动，课堂分层训练被弱化。
二、培养少教多学的策略
在某种意义上，保证其可行性的完整说法应是“先学后教，少教多学”。只有学有学的主动性，才有精讲的使用，主动学习的效果。
加强双基训练，为学生的少教多学的培养提供必要的知识与能力基础；创造良好的教学气氛，鼓励学生质疑问题，为学生“学”的培养提供适宜的环境。
1.提升素养，注重效率。
在教育中，“桶水论”往往用在阐述对教师素质的要求上。而事实上，适当的课前预设能极大提高教学实效。怎么体现呢？用精准的导学案，展现数学专业知识。教师过程中为主导，会强制锻炼出娴熟的教学技巧，迅速的思变能力，教学效率能达到更好。[3]
此外，数学教学语言应该鲜明、准确，阐述顺序逻辑正确，这些都要求教师注重学中研、研中学，参与到继续教育的学习中，而固步自封是要不得的。
2.以错纠错，培养自学。
数学设计中用问题本，是指在导学案之后的学习中，适当记录错题，学习过程就自身做错的题反复改正，激发他们积极寻找解决问题的方法和途径，排除困难，进而获得成功的情境，创设情境。
3.营造氛围，鼓励质疑。
教学中老师为主导，学生为主体。在教学设计上设置说题训练课，采用和学生一起思考的方式加以引导，帮助学生清理问题的思路，对其提问与回答持正确态度，强化他们问题意识。对课程安排上，多给学生一些探索、猜的空间，从不同的方面，比如其他学科联系角度，引导学生去发现问题、提出问题。
三、培养少教多学的具体实践
学生的不同手段体现的学习主动性和理解力是不一样的，不同年段体现也不尽相同。高三学生，面临升学压力，少教多学既是管理需要，也是老师所追求的“教是为不教”的境界。我以三届学生为了引导笔者采用“问答本”与设置“说题训练”课，应用中注重知识“骨架”学习，演算草纸格式化。[4]
1.设置数学“问答本”。
教学中有种境界“教是为了不教”，而少教多学并不是真的不教，“问答本”是个统称，包括⑴当堂内容分析（导学案，教师预设）⑵学习错例摘要，是教学内容的浓缩，是学生的第二教材，称之为笔记也很恰当。
在使用上，学生一周保证七道题，老师定期评价，这是师生沟通有无的一个渠道。针对错题，学生临睡前和起床后拿出固定的15分钟时间翻阅、记录、演算，坚持不懈，效果显著。这符合无后摄记忆、无前摄记忆的记忆规律。人睡觉后自然不会通过视觉看到任何事务，那么临睡前的影像就会在大脑中驻留，睡梦中下意识整理。反之，清晨人起床后，大脑刚刚复苏过来，所见事物也必然会印象深刻。
2.设置数学“说题训练”课。（启动电子白板的录音功能，记录和对比训练前后学生的变化）
问题解决是数学教学中重要目标，是提出问题的重要源泉。在每周的一定课时设置“说题训练”课，利用数学语言口述解题的思路，解题“骨架”，在局部有一定知识的概括，对学生知识网络的形成有很大帮助。同时，快速的知识轮动会有助于课堂气氛的活跃，激发学生的潜力。 （1）说定义。只有自主查阅教材，才能体会出定义与所做题型的差别，符合少教多学，激发自主学习。
（2）说思维。阐述本题知识“骨架”，会将看似分段的知识点纵向串成知识线，进而形成知识面，覆盖全部。以点带面是少教多学追求的境界。
（3）说反思。问题解决后，看其涉及内容，学生说知识点的內伸外延，培养自主学习的同时也渗透学法教育，锻炼了学习的意志品质。教师总评反思，可在一题多解、变式上做文章，筛选知识结构，渗透数学思想。潜移默化带动学生学会自主探索，进而尽可能做到教为了“不教”。[5]
四、实践
1.高中数学课堂少教多学的策略、提高
（1）课堂少教多学存在的问题
①重提问轻反馈。
当学生初次尝试时，回答问题很迟疑，课程进行慢，老师为了完成进度，往往随声提示，一讲到底。学生不能参与到对问题的思考和回答中去，反而容易造成学生对问题的麻木，对教师自问自答形式的依赖。
②重形式轻实效。
过多地提一些诸如“对不起”、“行不行”问题，表面上教与学“双边“活动热闹非常，实际上实效不大。
[范例]以求曲线方程五步法为例
求曲线的方程的教学设计
一、内容和内容解析
求曲线的方程为人民教育出版社选修2-1的内容，是高二年级上学期课程。它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系，介绍了求解曲线方程的一般方法。
初中，学生就接触直线与圆的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系可以承上启下，学生可以根据原有知识通过教师的引导进行一般的归纳总结，加深对定义内伸和外延的理解，进而能更深层次理解解析几何的本质，同时也为后续圆锥曲线的学习做铺垫。
二、目标和目标解析
教学目标：了解曲线的方程、方程的曲线的概念；掌握根据给出的条件求曲线的方程的方法；通过对曲线方程定义的归纳总结，体会数学思维的严谨性，借助多媒体技术强化数形结合的思想方法.
具体体现在：
（1）辨析给出的方程是否是某曲线的方程；
（2）掌握求曲线方程的基本步骤；
（3）能够对照求曲线方程的步骤反思自己的求解过程。
教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握。
三、教学问题诊断
在新课标教材中这部分内容是选修部分，但是高考必考部分，前面学生学习了曲线与方程的具体事例---直线及圆，了解直线和圆的问题可以通过方程来研究，例如判断两条直线的位置关系、求直线的交点、直线和圆的位置关系等，但学生多数记下的是具体的解题的方法和知识，并不能自觉地通过已有的知识记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些实例去激活学生的思维。
另外，前面所学习的“直线和圆”，学生遇到的习题往往仅限于求一条完整的直线或一个完整的圆，不深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题，而现在，学生必然会在这方面出现這样或那样的问题，所以我们的教学中，要强调新知识和原有知识结构的区别和联系，让学生感到新学的内容既不陌生，与以往的内容又有区别，这有利于联系的看问题，完善学生的认知结构，帮助学生掌握好本节内容。
四、教学支持条件分析
以往这部分教学是教师在黑板用粉笔勾勒图形，进而讲解，并不能很好的展现平面几何所蕴含的动态含义，所以，借助动态几何的软件来展现几何直观性十分必要，同时这也可以帮助学生验证其演算结果是否正确，更深入体会曲线与方程的定义。[6]
五、教学过程设计（课件设计阐述）
（一）概念的导入
[问题1] 复习提问“曲线的方程”、“方程的曲线”？
意图：明确解析几何研究的基本内容：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。
师生活动：学生阅读教科书并提炼回答内容，请学生回答，教师点评.教师指出，本节课的主要任务是求曲线的方程。
[问题2] 为什么说方程表示一、三象限的平分线？
意图：学生已经知道平面直角坐标系中的点与坐标是一一对应的，也知道方程确实可以表示一、三象限的平分线，但并不知道这是为什么，而这正是本节课要学习的内容。因此，本问题是为引出曲线与方程的概念作准备。
师生活动：（1）教师提出问题后让学生说说“为什么表示一、三象限的平分线？”
（2）指出：一、三象限的平分线上的点组成集合，方程的全部解组成集合，那么P、Q之间有什么关系呢？
（3）通过说明P、Q之间存在一一对应关系，让学生体会方程与一、三象限的平分线可以互相表示的原因。
（二）新授课
[例题1] 如果给出A，B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），动点P到A，B的距离相等。你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：学生通过已学知识知道，本问题中的点的轨迹是直线（而且是线段AB的垂直平分线），他们可能会用中点公式求出线段AB的中点，并通过求出AB的斜率而得出直线的斜率，最后用直线的点斜式写出直线方程。但如果问学生：为什么问题中的点的轨迹是直线？如果所求轨迹不是直线，你怎么能用求直线方程的方法去求呢？很有可能学生回答不出原因来，这就为用求曲线方程的一般方法求出轨迹方程，说明“点P的轨迹是直线”提供了可能。这个问题的另一个意图是让学生体会求曲线方程的步骤。[7]
师生活动：（1）教师给出问题后问学生：你知道点P的轨迹是什么吗？你会怎样求出点P的轨迹？
（2）如果学生是用求线段AB的中垂线的方式求出点P的轨迹方程，那么问点P的轨迹为什么是线段AB的中垂线？ （3）教师按教科书P35例2 的方式求出点P的轨迹方程，并按定义证明自己的结论。
[问题3] 已知A，B 是平面上两个定点，动点P到A，B的距离相等。 你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：可以让学生体会到求曲线方程的基本步骤，但由于问题中已经建立了坐标系，所以步骤不完整。本问题的一个重要作用就是让学生体会如何建立平面直角坐标系，并以此完善求曲线方程的步骤。
六、目标检测设计
1.求中心在原点，半径为2的圆位于直线上方部分所对应的方程。
设计意图：让学生体会曲线与方程之间的对应关系。
2.教科书P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题。
设计意图：巩固曲线与方程的概念，体会如何求曲线的方程（或求轨迹方程）。
3.已知平面上的线段的长为，动点向线段所张的角恒为，你能求出动点运动的轨迹的长度吗？
设计意图：让学生学会用方程来判定轨迹是什么，并进一步研究曲线的几何性质。
七、反思后的二次教学
（一）对教学设计的再思考
在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生原有的知识结构，有利于学生主动构建定义。我认为这样的设计对学生理解定义、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间，让学生环节实践归纳、思考、总结。从实际的教学情况来看，在概念的引入上是比较成功的，学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致，这是设计中值得肯定的一面。
先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程。要完整地体现教材的编写意图，在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理。
例1两法，独立解决有困难，需要教师的铺垫与归纳。
同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务。
鉴于上述分析，应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点，需要增加一个课时巩固。
（二）对教学设计的回顾
求曲线的方程
1.对什么是求曲线的方程作简单讲解（结合前面的问题来讲解，明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题）。
2.通过投影显示例2的内容，请学生阅读例2，学习解题的方法（这里将直线看作点的轨迹）， 并对照例2的解题步骤，写出求曲线方程的一般步骤。
（三）巩固练习
1.完成教科书第37页上的练习1.2，请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识？
2.阅读37页上的练习3，教师用几何软件作轨迹图形（线段的垂直平分线）然后帮助学生形成解题的方法。
（设计说明：前面已分析了學生解这个问题的困难所在，先用软件作图的目的在于启发学生的思维，帮助学生形成解题策略，有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化，同时也可以对解题中为什么要引入参数，如何引入参数作一些必要的说明，让学生掌握解题的方法。）
目标检测还是延用原来的内容。
家庭作业 习题2.1 的A组习题，再补充一个习题：
已知在长为线段上有一个动点，以、为边在的同一侧作等边三角形、，建立适当的坐标系，求线段的中点的轨迹方程。
（这个习题的目的是要求学生体会解析法的思想，体会运用参数求轨迹方程的方法。）
（三）对教学设计中“问题串”的思考
本课题在前期研究中确定，教学设计以问题串的形式进行，这种做法的实际意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴，同时能促进设计者更好地思考、把握好教学的细节，在课后也便于总结回顾和修改。
在本节课教学设计中，我要求学生回顾过去学过的相关内容，目的是为本课的学习提供一个比较开放的背景，使学生的思考活动有一个合适的出发点，知道要研究的问题是什么，可以通过怎样的方法去研究，从而使学生明确思考的方向。在这个大背景下，再结合具体问题，进一步深入概念的本质。因此，我设计的“问题串”相对比较开放。在教学实施中，我还根据学生的实际情形，对“问题”作了一些调整和补充，从实施过程看，这种调整是必要的，教学效果是好的。
新课程强调数学学习是一个动态生成的过程，不是将学生的思路禁锢在预设的框架内，不追求表面的默契，要把学生知识及数学规律的讲授转变为学生的自主探究.为此，电子白板的操作记录功能适当运用，记录师生学习的过程，要引导学生先独立思考，再通过交流发现法则，使学生的学习过程成为在发现、再创造的过程。
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