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摘要:问题链是指基于特定的教学目标而设定的一系列问题。问题链教学以问题串联课堂,贯穿课堂始终,提高学生的专注力与逻辑思考能力,培养学习积极主动性,提升学生的核心素养。
在数学课堂中,我们常用问题链的方式来构建数学教学过程。利用问题链教学方法,突出数学课堂教学的重点,为教学难点搭建起桥梁,分散难点,各个击破。问题链教学的实施关键在于每一个问题的设置,不仅要求成链式问题,更追求问题的质量与效果。下面,笔者通过《反比例函数的图像及性质》这一课,结合案例分析问题链在数学教学中的作用及注意点。
1.教学案例分析
在初中数学中我们就学习到:反比例函数()的图像是双曲线。在高中阶段我们学习了《双曲线的标准方程》,《双曲线的简单几何性质》这两节课之后,学生会产生这样的疑问,双曲线的标准方程(且)与上述方程形式上截然不同,但从图像上看反比例函数图像是双曲线,这样的关系如何进行探究与证明?
2.案例展示
2.1穿越旧知,引入新课:
问题1:函数图像直观又形象的揭示了函数的性质,那么我们所熟悉的反比例函数()的图像有哪些性质呢?请同学们画出反比例函数图像,并说明其性质。
追问:在初中数学中我们就学习到:反比例函数()的图像是双曲线。而在前一阶段学习过程中,我们也学习了双曲线的简单几何性质,请同学们作出双曲线的函数图像说明其性质。
设计意图:教育学家苏霍姆林斯基说过:“借助已有的知识去获取新知,这是最高的技巧”。通过学生作图,让学生感知两者图像上的异同之处,感受知识的传承与连接。
2.2探究分析,概念建构
问题2:标准方程下的双曲线图像与反比例函数图像有什么区别与联系?
预设:学生回答,反比例函数图像也有两支,中心对称,有渐近线,将其进行旋转之后可以得到标准方程下的双曲线图像等等。
追问:反比例函数图像的渐近线夹角几度?联想到什么特殊的双曲线?
预设:两渐近线的夹角为,联想到等轴双曲线,进而引出等轴双曲线的概念。
特别地,我们有等轴双曲线的概念:实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线,其标准方程可写为,满足,两渐近线夹角为。
问题3:如何证明反比例函数图像是双曲线?有哪些角度可以思考呢?
追问①:的图像是双曲线吗?你是如何得到的呢?从等轴双曲线的角度出发可以进行验证吗?
方法一:验证法
如图,设双曲线上任意一点,则有,即
化简为,由双曲线的定义可知的图像为双曲线。
同理,可验证的图像也为双曲线。
追问②:该双曲线的标准方程下渐近线是?反比例函数下的渐近线是?它们的夹角是?如果进行旋转的话可以得到双曲线图像吗?
方法二:旋转法
证明:如图,设原平面直角坐标系下反比例函数()上任意一点,则,旋转角,旋转后的坐标系下的点满足,化为,将上述式子代入到反比例函数方程()中,不难得到,其中,化简得。故的图像为双曲线。
设计意图:通过问题设计,让学生进行分析探究,尝试多角度多方法解决同一个问题,回归到双曲线定义的本质,由数到形,再由形到数,由特殊函数到一般函数,体会数学思想在其中的碰撞融合。
2.3巧用性质,融会贯通
(四)、总结思考,提升能力
最后教师引导学生一起交流学习中的体会、感受与收获,并围绕本节课的重点进行总结。从双曲线的定义出发,利用坐标轴的旋转确定反比例函数图像是双曲线这一概念,进行例题求解,提升能力。
3.总结
教师在问题链教学的把握上容易进入为了问题而设置问题的误区,在课堂上设计一系列过于简单或者跳跃性较大的问题,將问题链教学流于形式。因而在教学过程中,首要把握的是要以学情为基础,从学生的学情出发设置第一个引入式问题,激发学生学习兴趣,对既学知识的质疑能力。其次,在课堂教学中,注意将教学问题分解,从一种形式向另一种形式转化。例如反比例函数与双曲线标准方程看似毫无关联,但是数与形相辅相成,方程的形式虽然不同,其图像之间却有着千丝万缕的联系。在本节课的教学过程中,抓住这一学生遗留下来的冲突点,分解成图形与代数两方面的问题进行探究,体会数学问题的双重性。
参考文献
[1]马伟明. 精心设计“问题链” 打造高效课堂[J]. 中学化学教学参考, 2015(12):32-33.
[2]黄光荣. 问题链方法与数学思维[J]. 数学教育学报, 2003, 12(2):35-37.
在数学课堂中,我们常用问题链的方式来构建数学教学过程。利用问题链教学方法,突出数学课堂教学的重点,为教学难点搭建起桥梁,分散难点,各个击破。问题链教学的实施关键在于每一个问题的设置,不仅要求成链式问题,更追求问题的质量与效果。下面,笔者通过《反比例函数的图像及性质》这一课,结合案例分析问题链在数学教学中的作用及注意点。
1.教学案例分析
在初中数学中我们就学习到:反比例函数()的图像是双曲线。在高中阶段我们学习了《双曲线的标准方程》,《双曲线的简单几何性质》这两节课之后,学生会产生这样的疑问,双曲线的标准方程(且)与上述方程形式上截然不同,但从图像上看反比例函数图像是双曲线,这样的关系如何进行探究与证明?
2.案例展示
2.1穿越旧知,引入新课:
问题1:函数图像直观又形象的揭示了函数的性质,那么我们所熟悉的反比例函数()的图像有哪些性质呢?请同学们画出反比例函数图像,并说明其性质。
追问:在初中数学中我们就学习到:反比例函数()的图像是双曲线。而在前一阶段学习过程中,我们也学习了双曲线的简单几何性质,请同学们作出双曲线的函数图像说明其性质。
设计意图:教育学家苏霍姆林斯基说过:“借助已有的知识去获取新知,这是最高的技巧”。通过学生作图,让学生感知两者图像上的异同之处,感受知识的传承与连接。
2.2探究分析,概念建构
问题2:标准方程下的双曲线图像与反比例函数图像有什么区别与联系?
预设:学生回答,反比例函数图像也有两支,中心对称,有渐近线,将其进行旋转之后可以得到标准方程下的双曲线图像等等。
追问:反比例函数图像的渐近线夹角几度?联想到什么特殊的双曲线?
预设:两渐近线的夹角为,联想到等轴双曲线,进而引出等轴双曲线的概念。
特别地,我们有等轴双曲线的概念:实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线,其标准方程可写为,满足,两渐近线夹角为。
问题3:如何证明反比例函数图像是双曲线?有哪些角度可以思考呢?
追问①:的图像是双曲线吗?你是如何得到的呢?从等轴双曲线的角度出发可以进行验证吗?
方法一:验证法
如图,设双曲线上任意一点,则有,即
化简为,由双曲线的定义可知的图像为双曲线。
同理,可验证的图像也为双曲线。
追问②:该双曲线的标准方程下渐近线是?反比例函数下的渐近线是?它们的夹角是?如果进行旋转的话可以得到双曲线图像吗?
方法二:旋转法
证明:如图,设原平面直角坐标系下反比例函数()上任意一点,则,旋转角,旋转后的坐标系下的点满足,化为,将上述式子代入到反比例函数方程()中,不难得到,其中,化简得。故的图像为双曲线。
设计意图:通过问题设计,让学生进行分析探究,尝试多角度多方法解决同一个问题,回归到双曲线定义的本质,由数到形,再由形到数,由特殊函数到一般函数,体会数学思想在其中的碰撞融合。
2.3巧用性质,融会贯通
(四)、总结思考,提升能力
最后教师引导学生一起交流学习中的体会、感受与收获,并围绕本节课的重点进行总结。从双曲线的定义出发,利用坐标轴的旋转确定反比例函数图像是双曲线这一概念,进行例题求解,提升能力。
3.总结
教师在问题链教学的把握上容易进入为了问题而设置问题的误区,在课堂上设计一系列过于简单或者跳跃性较大的问题,將问题链教学流于形式。因而在教学过程中,首要把握的是要以学情为基础,从学生的学情出发设置第一个引入式问题,激发学生学习兴趣,对既学知识的质疑能力。其次,在课堂教学中,注意将教学问题分解,从一种形式向另一种形式转化。例如反比例函数与双曲线标准方程看似毫无关联,但是数与形相辅相成,方程的形式虽然不同,其图像之间却有着千丝万缕的联系。在本节课的教学过程中,抓住这一学生遗留下来的冲突点,分解成图形与代数两方面的问题进行探究,体会数学问题的双重性。
参考文献
[1]马伟明. 精心设计“问题链” 打造高效课堂[J]. 中学化学教学参考, 2015(12):32-33.
[2]黄光荣. 问题链方法与数学思维[J]. 数学教育学报, 2003, 12(2):35-37.