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【摘要】横向数学化和纵向数学化都是数学学习的重要方式，在小学数学教学中，尤其是“图形与几何”概念的教学，往往从生活世界引向数学世界，比较重視几何直观，忽视纵向数学化。其实，虽然小学阶段学生形象思维占主导，实际上学生知识的掌握却是在横向数学化的学习中逐步向纵向数学化展开。因此，我们需要反思几何抽象在“图形与几何”学习中的地位，小学阶段“图形与几何”领域的学习是否需要纵向数学化，以及需要怎样的数学化学习过程。
【关键词】图形与几何 数学教学 纵向数学化 横向数学化
小学数学中“图形与几何”的内容属于经验几何的范畴，基本上是一些直观感性的内容，加之小学生的思维特点是形象思维占主导，学生在理解抽象的几何概念时，受心理因素的影响，容易遇到辨认困难、缺乏空间想象力等一系列学习障碍。此时，设计合理的生活情境，给学生提供具体形象的学习材料，从生活引入数学学习，是行之有效的教学方法。然而，我们知道，几何是指基于空间和图形这种存在而抽象出概念（如点、线、面、体），得到概念之间的关系（如两点确定一条直线），建立基于概念的命题（如等边三角形的各个角都是60°）。“图形与几何”领域中的数学概念在现实生活中并不存在，作为用数学语言和符号揭示图形与几何本质属性的思维形式，概念的学习相对比较抽象，因而纵向数学化是非常重要的。
一、问题发现，“图形与几何”教学一定要从生活原型出发吗
横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。小学数学中的“图形与几何”领域是一些直观感性的内容，小学“图形与几何”教学一定要从生活原型出发吗？奥地利数学家和心理学家恩斯特·马赫指出：人们的空间感觉系统与欧氏空间是不同的。几何空间在一切地方和在一切方向都是同一性质的，是无边界的、无限的。视觉空间是有边界的和有限的，而且它的广延在不同方向是不同的，“天穹顶”就是一个极好的例子。这就说明，“图形与几何”教学中概念的学习不能仅仅停留在感官的基础上，纵向数学化是深入学习必不可少的一种学习方式。
例如，苏教版数学四年级上册“三角形的高”的两次对比教学：第一次，采用生活中的人字梁导入，让学生测量人字梁中的几条垂直线段，再通过人字梁的高度是上面顶点到它对边的距离，类比抽象出三角形高的内涵，揭示数学概念：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，然后让学生练习（图1），整个新授过程用了20分钟。虽然从生活原型出发的教学符合小学生的思维特征，却会因为过分依赖于生活直观，而受生活经验中高自上而下非本质属性影响，在练习中不少学生出现从顶点自上而下画出一条线段的高的错误。第二次教学，教师先让学生找出三角形的一组顶点和对应边，学生基于上学期“垂直与相交”单元所学知识，尝试“作点到直线的距离”，在此基础上直接推衍出概念：这个顶点到对边的垂直线段就是该三角形的高。只用了10分钟左右，学生自己探索出画法，完成了练习。对比发现：纵向数学化的教学效率和学习效果明显优于横向数学化。两次教学的数据对比见下表。
从两次教学的数据对比可以看出常规练习的结果差别不大，变式练习差异明显。我们知道四年级学生的思维已经具有一定的抽象水平，并且在上学期“垂直与相交”单元学习了点到已知直线的距离，学生以此为上位概念。新旧知识链接贯通的纵向数学化的学习，更容易让学生排除非本质因素的影响，关注数学本身，直击概念本质。
由此，笔者认为在“几何与图形”的教学中，过多依赖于生活直观，注重横向数学化，对纵向数学化重视程度不够，甚至对纵向数学化下意识地回避，其直接后果就是学生对所学内容缺乏深刻理解，无法建构起整体的联系，浪费了大量的宝贵教学时间。事实上，课程改革理念重视在具体的感性材料里提取数学对象的本质特征，形成理性认识。这并不代表忽略纵向数学化，从发展思维的角度看，纵向数学化的学习对学生的数学学习和思维发展有着重要的价值。
二、理性思考，“图形与几何”教学中纵向数学化的时机
几何概念是抽象的，学生几何思维水平是由直观向抽象发展的。荷兰范·希尔夫妇针对平面图形的认识提出如下的几何思维水平：水平1为直观化；水平2为描述/分析；水平3为抽象/关联；水平4为演绎/形式化推理；水平5为严密/元数学。中小学阶段对于几何图形的学习，显然主要是上面的第一、二水平，而第三、四水平呢，应该是高中，甚至大学学习应达到的。可以看出，学生思维水平是一个从直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平，不断进步的过程，从直观辨认到探索特征是符合儿童认知规律的。什么情况下可以进行纵向数学化呢？弗赖登塔尔指出：“数学教育本身是个过程，不仅是传授知识，更要在过程中让学生亲身实践而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。”学习都是有阶段性的，在某一阶段，学生经过学习会经历一些过程，同时得到一些结论，这样的结论在更高阶段的学习中又作为继续学习的常识和基础。因此，概念的形成不可能只停留在直观感知的水平上，随着学生学力的增长，数学化是可以从横向进一步往纵向深入的。我们认为：当学生头脑中已经具备顺应新知的上位概念时，必须引导学生进行抽象思维，进行有意义的学习。
例如：苏教版数学四年级上册《轴对称图形》一课，“对称轴”概念是新知，对于教材中的问题：“你能从几何图形中找出轴对称图形，并指出对称轴的位置吗？”教学中，教师虽然要求学生用提供的图形动手折一折、找一找，但实际学生却极少主动通过动手去折的方法找到图形的所有对称轴的。他们看着图形想了一下就找到了，只是在直观想象有困难、有疑惑时，他们才考虑操作。如在判断平行四边形是否是轴对称图形时，动手操作验证自己的想象对不对。这是因为学生在三年级时，知识体系中就具备了一个图形只要“对折后两边能完全重合”就是轴对称图形的概念。在三年级学习时通过折叠来判断一个图形是不是轴对称图形，到了四年级，他们已经不需要折叠操作了，完全可以在头脑中想象完成操作。此时，学生的思维已经具备了“为直观化”水平。说明学生的几何思维水平跳一跳，完全可以达到“水平2”；学生不需要实际动手去折，他们通过头脑想象出折叠的样子，就能找到对称轴，并画下来。学生的感受依然很深刻，思维却更趋向理性。可见，现实背景和实践操作能为学生理解概念提供有效的感知基础，但不是唯一的途径。虽然分析、抽象对于小学生来说有难度，但也正是这种难度让学生的思维深度发展，学习变得更有价值。 三、实践建构：探寻纵向数学化的可行之策
1.变“孤立学习”为“比较中学习”
學生的知识掌握是螺旋上升的，在某一阶段，学生习得的一些知识经验又作为后继学习的基础，先前习得的知识经验会“再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷”。数学知识的学习不能孤立。纵向数学化注重知识间的内在联系，可在有限的时间内把新知与旧知、显性与隐性的知识点勾连起来，螺旋上升，在联系中比较，以“动一发牵全身”的基本思想来组织教学，以达到最佳的学习效果。
例如：教学苏教版数学四年级上册“直线、射线和角”一课时，教师首先复习线段的特点，出示欧几里得“公设2”：一条线段可以继续延长。让学生将线段有限延长，得出还是线段，仍然有两个端点，有限长。接着让学生将线段的一端“无限延长”，尝试画出图形，得出描述性定义：这样的图形就是射线。那射线为什么是直的，怎样表示无限延长？因为线段是直的，射线是线段无限延长得到的，所以射线也是直的，线段的一端无限延长是射线，射线只有一个端点。这时，学生还发现把线段的两个端点去掉，两端无限延长，得到的图形是直线。师生共同画出直线，揭示概念。最后通过填写表格（如下表），比较异同，呈现知识间的联系，完善认知。
这样教学从已经学过的线段出发，有限延长，无限延长，在对比中打通了三种线之间的关系，揭示了三种线的概念与特征。横向数学化使学生掌握的知识逐步完整，使学生对数学知识的学习逐步达到举一反三、融会贯通的境界。
2.变“碎片式学习”为“结构式学习”
数学知识之间具有很强的逻辑联系，但教材往往以分散式的点状在各学段安排知识点，提高了学生学习的难度，降低了教学效率。几何概念本来就是相互关联的，对于图形的认识，不仅包含对图形自身特征的认识，还包括对图形与图形之间的关系、图形各元素之间的关系的认识。各类图形与几何知识在教材中的编排又是分散学习的，教学中教师应重视在图形及其性质之间建立联系，以适当的形式把分散的内容串起来，变“碎片式学习”为“结构式学习”，有助于学生形成良好的认知结构。
例如：教学“梯形的面积”时，可让学生回忆以前学过的求图形面积的方法。尤其是三角形的面积计算公式的推导方法，共同理出一条研究的路线转化成学过的求图形面积的方法——面积与底和高相关，使学生从整体上初步感知这些知识，为后续发现问题、研究问题提供“脚手架式”的结构支撑；接着通过类比迁移、实践操作逐步展开探究：梯形可以转化成平行四边形，在转化中学会梯形的面积计算公式。然后对单元知识进行整理（见图2），即实现第二个整体，同中比异，异中求同，纵横沟通，形成知识体系。这样，学生对每个图形的面积都有了更为深刻的认识。
3.变“单一教学”为“纵横交错学习”
任何知识的学习都不是孤立的，在学习中教师要及时引导学生将数学知识系统化，建立起学科的知识体系和框架。同时，任何学习方法也不是单一的，纵向数学化和横向数学化的使用也不是互不相容的，合理选择运用，二者互相补充，可以取得事半功倍之效。
例如：苏教版数学三年级下册“认识面积”一课的教学，教材上的安排是从生活出发的横向数学化，按照“物体上有面—面有大小—面积”，一步一步环环相扣，几乎花去一大半的教学时间才揭示面积的概念：“物体面的大小是物体的面积。”其实，面积的概念是在学习周长之后学习的，生活中也很常见，如大家常说家里的住房面积，田地的面积，学校的占地面积。我们不妨先采用纵向数学化的教学设计，教师出示红黄两根同样长的长绳，设计三次比赛活动。第一次，比线的长短。第二次，围成两个图形（见图3），比较周长。第三次，跟第二次围的图形相同，比较围成的图形大小。比较围成的图形大小时，提出问题：
图形大小还是指边线的长短吗？让学生指出图形大小指的是什么，并用彩笔涂色表示围成的图形大小，得出围成的图形的大小就是图形的面积。然后，回归到生活中，进行横向数学化学习，摸一摸、找一找生活中常见物体的面积，比较面积大小。再提供学具操作，学习比较平面图形的面积大小。面积与周长的概念唇齿相依，将面积概念建立在与周长的联系与区别中进行认识，由周长入手，从对比中引入面积，学生在建构面积时眼中也有周长，周长和面积的区别也不言而喻。这样设计将纵向数学化和横向数学化交错使用，体验更有针对性，学生的思维由此打通，“破茧飞翔”。
小学阶段“图形与几何”属于直观几何，教学中需要“横向数学化”通过直觉观察、操作感知来学习，也需要“纵向数学化”的“系统性”，为学习数学打开了一扇理性精神之门。
【参考文献】
[1][荷兰]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1999.
[2]林峰.正确处理横向数学化与纵向数学化的关系[J].教学月刊小学版（数学），2012（5）.
[3]刘志强.纵向数学化：数学学习的必由之路[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2014（10）.
【关键词】图形与几何 数学教学 纵向数学化 横向数学化
小学数学中“图形与几何”的内容属于经验几何的范畴，基本上是一些直观感性的内容，加之小学生的思维特点是形象思维占主导，学生在理解抽象的几何概念时，受心理因素的影响，容易遇到辨认困难、缺乏空间想象力等一系列学习障碍。此时，设计合理的生活情境，给学生提供具体形象的学习材料，从生活引入数学学习，是行之有效的教学方法。然而，我们知道，几何是指基于空间和图形这种存在而抽象出概念（如点、线、面、体），得到概念之间的关系（如两点确定一条直线），建立基于概念的命题（如等边三角形的各个角都是60°）。“图形与几何”领域中的数学概念在现实生活中并不存在，作为用数学语言和符号揭示图形与几何本质属性的思维形式，概念的学习相对比较抽象，因而纵向数学化是非常重要的。
一、问题发现，“图形与几何”教学一定要从生活原型出发吗
横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。小学数学中的“图形与几何”领域是一些直观感性的内容，小学“图形与几何”教学一定要从生活原型出发吗？奥地利数学家和心理学家恩斯特·马赫指出：人们的空间感觉系统与欧氏空间是不同的。几何空间在一切地方和在一切方向都是同一性质的，是无边界的、无限的。视觉空间是有边界的和有限的，而且它的广延在不同方向是不同的，“天穹顶”就是一个极好的例子。这就说明，“图形与几何”教学中概念的学习不能仅仅停留在感官的基础上，纵向数学化是深入学习必不可少的一种学习方式。
例如，苏教版数学四年级上册“三角形的高”的两次对比教学：第一次，采用生活中的人字梁导入，让学生测量人字梁中的几条垂直线段，再通过人字梁的高度是上面顶点到它对边的距离，类比抽象出三角形高的内涵，揭示数学概念：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，然后让学生练习（图1），整个新授过程用了20分钟。虽然从生活原型出发的教学符合小学生的思维特征，却会因为过分依赖于生活直观，而受生活经验中高自上而下非本质属性影响，在练习中不少学生出现从顶点自上而下画出一条线段的高的错误。第二次教学，教师先让学生找出三角形的一组顶点和对应边，学生基于上学期“垂直与相交”单元所学知识，尝试“作点到直线的距离”，在此基础上直接推衍出概念：这个顶点到对边的垂直线段就是该三角形的高。只用了10分钟左右，学生自己探索出画法，完成了练习。对比发现：纵向数学化的教学效率和学习效果明显优于横向数学化。两次教学的数据对比见下表。
从两次教学的数据对比可以看出常规练习的结果差别不大，变式练习差异明显。我们知道四年级学生的思维已经具有一定的抽象水平，并且在上学期“垂直与相交”单元学习了点到已知直线的距离，学生以此为上位概念。新旧知识链接贯通的纵向数学化的学习，更容易让学生排除非本质因素的影响，关注数学本身，直击概念本质。
由此，笔者认为在“几何与图形”的教学中，过多依赖于生活直观，注重横向数学化，对纵向数学化重视程度不够，甚至对纵向数学化下意识地回避，其直接后果就是学生对所学内容缺乏深刻理解，无法建构起整体的联系，浪费了大量的宝贵教学时间。事实上，课程改革理念重视在具体的感性材料里提取数学对象的本质特征，形成理性认识。这并不代表忽略纵向数学化，从发展思维的角度看，纵向数学化的学习对学生的数学学习和思维发展有着重要的价值。
二、理性思考，“图形与几何”教学中纵向数学化的时机
几何概念是抽象的，学生几何思维水平是由直观向抽象发展的。荷兰范·希尔夫妇针对平面图形的认识提出如下的几何思维水平：水平1为直观化；水平2为描述/分析；水平3为抽象/关联；水平4为演绎/形式化推理；水平5为严密/元数学。中小学阶段对于几何图形的学习，显然主要是上面的第一、二水平，而第三、四水平呢，应该是高中，甚至大学学习应达到的。可以看出，学生思维水平是一个从直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平，不断进步的过程，从直观辨认到探索特征是符合儿童认知规律的。什么情况下可以进行纵向数学化呢？弗赖登塔尔指出：“数学教育本身是个过程，不仅是传授知识，更要在过程中让学生亲身实践而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。”学习都是有阶段性的，在某一阶段，学生经过学习会经历一些过程，同时得到一些结论，这样的结论在更高阶段的学习中又作为继续学习的常识和基础。因此，概念的形成不可能只停留在直观感知的水平上，随着学生学力的增长，数学化是可以从横向进一步往纵向深入的。我们认为：当学生头脑中已经具备顺应新知的上位概念时，必须引导学生进行抽象思维，进行有意义的学习。
例如：苏教版数学四年级上册《轴对称图形》一课，“对称轴”概念是新知，对于教材中的问题：“你能从几何图形中找出轴对称图形，并指出对称轴的位置吗？”教学中，教师虽然要求学生用提供的图形动手折一折、找一找，但实际学生却极少主动通过动手去折的方法找到图形的所有对称轴的。他们看着图形想了一下就找到了，只是在直观想象有困难、有疑惑时，他们才考虑操作。如在判断平行四边形是否是轴对称图形时，动手操作验证自己的想象对不对。这是因为学生在三年级时，知识体系中就具备了一个图形只要“对折后两边能完全重合”就是轴对称图形的概念。在三年级学习时通过折叠来判断一个图形是不是轴对称图形，到了四年级，他们已经不需要折叠操作了，完全可以在头脑中想象完成操作。此时，学生的思维已经具备了“为直观化”水平。说明学生的几何思维水平跳一跳，完全可以达到“水平2”；学生不需要实际动手去折，他们通过头脑想象出折叠的样子，就能找到对称轴，并画下来。学生的感受依然很深刻，思维却更趋向理性。可见，现实背景和实践操作能为学生理解概念提供有效的感知基础，但不是唯一的途径。虽然分析、抽象对于小学生来说有难度，但也正是这种难度让学生的思维深度发展，学习变得更有价值。 三、实践建构：探寻纵向数学化的可行之策
1.变“孤立学习”为“比较中学习”
學生的知识掌握是螺旋上升的，在某一阶段，学生习得的一些知识经验又作为后继学习的基础，先前习得的知识经验会“再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷”。数学知识的学习不能孤立。纵向数学化注重知识间的内在联系，可在有限的时间内把新知与旧知、显性与隐性的知识点勾连起来，螺旋上升，在联系中比较，以“动一发牵全身”的基本思想来组织教学，以达到最佳的学习效果。
例如：教学苏教版数学四年级上册“直线、射线和角”一课时，教师首先复习线段的特点，出示欧几里得“公设2”：一条线段可以继续延长。让学生将线段有限延长，得出还是线段，仍然有两个端点，有限长。接着让学生将线段的一端“无限延长”，尝试画出图形，得出描述性定义：这样的图形就是射线。那射线为什么是直的，怎样表示无限延长？因为线段是直的，射线是线段无限延长得到的，所以射线也是直的，线段的一端无限延长是射线，射线只有一个端点。这时，学生还发现把线段的两个端点去掉，两端无限延长，得到的图形是直线。师生共同画出直线，揭示概念。最后通过填写表格（如下表），比较异同，呈现知识间的联系，完善认知。
这样教学从已经学过的线段出发，有限延长，无限延长，在对比中打通了三种线之间的关系，揭示了三种线的概念与特征。横向数学化使学生掌握的知识逐步完整，使学生对数学知识的学习逐步达到举一反三、融会贯通的境界。
2.变“碎片式学习”为“结构式学习”
数学知识之间具有很强的逻辑联系，但教材往往以分散式的点状在各学段安排知识点，提高了学生学习的难度，降低了教学效率。几何概念本来就是相互关联的，对于图形的认识，不仅包含对图形自身特征的认识，还包括对图形与图形之间的关系、图形各元素之间的关系的认识。各类图形与几何知识在教材中的编排又是分散学习的，教学中教师应重视在图形及其性质之间建立联系，以适当的形式把分散的内容串起来，变“碎片式学习”为“结构式学习”，有助于学生形成良好的认知结构。
例如：教学“梯形的面积”时，可让学生回忆以前学过的求图形面积的方法。尤其是三角形的面积计算公式的推导方法，共同理出一条研究的路线转化成学过的求图形面积的方法——面积与底和高相关，使学生从整体上初步感知这些知识，为后续发现问题、研究问题提供“脚手架式”的结构支撑；接着通过类比迁移、实践操作逐步展开探究：梯形可以转化成平行四边形，在转化中学会梯形的面积计算公式。然后对单元知识进行整理（见图2），即实现第二个整体，同中比异，异中求同，纵横沟通，形成知识体系。这样，学生对每个图形的面积都有了更为深刻的认识。
3.变“单一教学”为“纵横交错学习”
任何知识的学习都不是孤立的，在学习中教师要及时引导学生将数学知识系统化，建立起学科的知识体系和框架。同时，任何学习方法也不是单一的，纵向数学化和横向数学化的使用也不是互不相容的，合理选择运用，二者互相补充，可以取得事半功倍之效。
例如：苏教版数学三年级下册“认识面积”一课的教学，教材上的安排是从生活出发的横向数学化，按照“物体上有面—面有大小—面积”，一步一步环环相扣，几乎花去一大半的教学时间才揭示面积的概念：“物体面的大小是物体的面积。”其实，面积的概念是在学习周长之后学习的，生活中也很常见，如大家常说家里的住房面积，田地的面积，学校的占地面积。我们不妨先采用纵向数学化的教学设计，教师出示红黄两根同样长的长绳，设计三次比赛活动。第一次，比线的长短。第二次，围成两个图形（见图3），比较周长。第三次，跟第二次围的图形相同，比较围成的图形大小。比较围成的图形大小时，提出问题：
图形大小还是指边线的长短吗？让学生指出图形大小指的是什么，并用彩笔涂色表示围成的图形大小，得出围成的图形的大小就是图形的面积。然后，回归到生活中，进行横向数学化学习，摸一摸、找一找生活中常见物体的面积，比较面积大小。再提供学具操作，学习比较平面图形的面积大小。面积与周长的概念唇齿相依，将面积概念建立在与周长的联系与区别中进行认识，由周长入手，从对比中引入面积，学生在建构面积时眼中也有周长，周长和面积的区别也不言而喻。这样设计将纵向数学化和横向数学化交错使用，体验更有针对性，学生的思维由此打通，“破茧飞翔”。
小学阶段“图形与几何”属于直观几何，教学中需要“横向数学化”通过直觉观察、操作感知来学习，也需要“纵向数学化”的“系统性”，为学习数学打开了一扇理性精神之门。
【参考文献】
[1][荷兰]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1999.
[2]林峰.正确处理横向数学化与纵向数学化的关系[J].教学月刊小学版（数学），2012（5）.
[3]刘志强.纵向数学化：数学学习的必由之路[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2014（10）.