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摘要：微积分在数学建模中有着非常广泛的应用，利用微积分思维动态分析高中生物中相关的知识点，解决相应生物问题，帮助学生加深对生物知识的认识与理解，培养学生逻辑思维能力和创新能力。本文通过利用微积分建立数学模型，探讨动态思维在生物教学中的具体实例。
关键词：动态思维;数学模型;生物教学;增长曲线
微积分是微分学和积分学的统称，它是一种重要的数学思想，掌握和运用这种思想来解决教学中的实际问题，在生物教学过程中有着十分重要的意义。微分就是“无限細分”，积分是“无限求和”，无限就是区域的极限，极限是微积分的基础，他是用一种动态的思维去看待问题。
数学模型是指用来描述一个系统或它性质的数学形式。要求学生利用相关数学知识和数学思维解释模型中所代表的生物学现象、含义和状况，用符号、公式、图形等数学语言直观描述生命现象，用形象模型（实物模型）和抽象模型（包括该概念模型、模拟模型和数学模型）来科学地处理实验或调查所获得的数据。
现行高中生物教学过程中，老师对知识的传播大多处于陈述性的阶段，对推导性知识点和涉及数据计算知识的学习不够深入，其结果是学生学的死、学得累，导致这种结果的主要原因是学生学习过程中没有树立生物学与数学模型之间的一一对应关系，靠自己的“教条”式死记硬别。而数学建模活动，恰好是撬开生物学和数学相结合的钥匙，模型的构建即可以培养学生对客观事物的分析研究，也提升了学生的逻辑思维能力、综合能力和创新能力。数学建模过程中运用微积分知识变得尤为重要，例如英国人口学家马尔萨斯利用微积分建立了著名的人口指数增长模型，但人口不可能随着时间的无限增长，它会随着外部和内部环境的因素发生变化;荷兰生物学家在指数增长的模型之上利用微积分建立了阻滞增长模型，从而对指数增长模型进行了修正，修正后的增长模型大体上能够描述人口及大部分物种的数量变化规律[1]。所以利用微积分的数学思想，使学生更加形象生动地剖析生物中涉及数学的知识难点。
在《普通高中生物课程标准（实验）》中明确指出“了解建构生物模型的科学方法以及学生在科学研究中应用，领悟系统分析”，通过构建相应的数学模型来揭示其中所代表的规律，并且对将来的发展趋势做出合理的预测，高中生物学科是不同于其它学科的一门自然科学。内容繁冗复杂，时常被学生称为”理科中的文科“，常见语言是看看或者背背即可，因此仅靠学生的死记硬背，便不能有效地掌握这门课程的深度内涵[2]。要学好这门综合性较强的自然学科，其中涉及到一些需要用组合学、数理统计学、概率论、函数等知识来解决生物问题。而利用微积分思维应用在数学模型的分析能够有效解决相关问题，比如酵母菌数量的K值分析。课程中的模型构建活动，主要让学生通过尝试建立模型，体验建模过程中利用微积分动态思维领悟模型中相关数值的含义，并能获得相关的生物学知识。
高中生物课程中涉及与数学相关的内容有：光合作用、种群密度、碱基数量、孟德尔豌豆杂交实验，种群数量的变化等相关的内容。故针对种群数量变化关系构建数学模型，包括以下几个步骤：
①观察研究对象，提出问题 ②提出合理假设③根据实验数据，用适当的数学形式进行直观表达④通过进一步观察与实验对模型进行检验与矫正
下面以人教版必修三《生物与环境》第四章第2节《种群数量的变化》一节中构建种群数量变化过程中外界因素对种群数目变化的数学模型为例，详细阐述利用微积分思维分析数学模型建立的过程：
1.提出问题
学生需根据教学大纲可了解需要掌握的相关知识点，结合已有知识点在种群生长过程中（以酵母菌为例）各种营养物质是如何变化？提出酵母菌种群的增长模型变化？酵母菌生长过程中增长速率的变化？外界因素对种群数量变化的影响状况？增长模型中的K值与K/2值在实践中的应用？
2.作出假设
根据学生已学知识，做出合理、符合逻辑的假设，①食物和空间条件完全充裕的情况下;②环境气候适宜;③没有天敌存在;④无迁入与迁出等条件下：
3.建立模型
根据酵母菌在不同培养营养液中（马铃薯培养液和葡萄糖培养液）的生长状况得到不同的种群数量增长曲线（数学模型）。在营养条件充裕情况下，酵母菌的生长呈“J”型曲线（a）。在营养液一定、种群数量增加时曲线呈现“S”型（b）[3]。一定时间后达到平衡点。（见下图）
利用上述两个数学模型呈现的生长规律，构建“J”型生长曲线和“S型”生长曲线之间的联系。
利用微积分计算出阴影部分代表的环境阻力或者说是被环境淘汰的个体数目，种群“J”型的数学模型可利用方程式f（t1）=N0·λt1，种群“S”型增长用公式：f（t2）=r·N·（K-N）·t2/K
当菌落的稀释倍数为103倍时，培养皿中菌落在T段时间后后达到K值点，利用微积分的思维对A和B所围成的区域进行定积分的应用。可表示为：S==M
通过建立数学模型，利用微积分思维可以更快、更深入的理解因环境阻力等因素造成M个菌种的淘汰，所以
综上，将微积分思维渗透进生物学的实际问题中，不仅能够帮助学生更加直观地掌握知识点，把抽象的问题直观化，数字化，具体化，把复杂的问题简单化。更能培养学生的动态思维能力，能更明显的提升理解能力与提升生物课程教学质量。
参考文献
[1] 户艳芬. 运用数学模型提高高中生物课堂有效性的实践研究——以“构建有丝分裂过程中各种物质数目变化的数学模型”为例[J]. 科学咨询/教育科研， 2019（11）：162-163.
[2] 沈小军，冯莉莉. 数学模型在中学生物教学中的应用分析[J]. 读与写杂志， 2019（1）：122.
[3] 人民教育出版社等. 生物3 必修稳态与环境[M]. 北京：人民教育出版社， 2011.
课题项目：2017年铜仁市市级基础教育教学实验课题（2017SJ024）总结性成果。
作者简介：罗芹（1995--），女，贵州德江人，理学学士，二级教师。
关键词：动态思维;数学模型;生物教学;增长曲线
微积分是微分学和积分学的统称，它是一种重要的数学思想，掌握和运用这种思想来解决教学中的实际问题，在生物教学过程中有着十分重要的意义。微分就是“无限細分”，积分是“无限求和”，无限就是区域的极限，极限是微积分的基础，他是用一种动态的思维去看待问题。
数学模型是指用来描述一个系统或它性质的数学形式。要求学生利用相关数学知识和数学思维解释模型中所代表的生物学现象、含义和状况，用符号、公式、图形等数学语言直观描述生命现象，用形象模型（实物模型）和抽象模型（包括该概念模型、模拟模型和数学模型）来科学地处理实验或调查所获得的数据。
现行高中生物教学过程中，老师对知识的传播大多处于陈述性的阶段，对推导性知识点和涉及数据计算知识的学习不够深入，其结果是学生学的死、学得累，导致这种结果的主要原因是学生学习过程中没有树立生物学与数学模型之间的一一对应关系，靠自己的“教条”式死记硬别。而数学建模活动，恰好是撬开生物学和数学相结合的钥匙，模型的构建即可以培养学生对客观事物的分析研究，也提升了学生的逻辑思维能力、综合能力和创新能力。数学建模过程中运用微积分知识变得尤为重要，例如英国人口学家马尔萨斯利用微积分建立了著名的人口指数增长模型，但人口不可能随着时间的无限增长，它会随着外部和内部环境的因素发生变化;荷兰生物学家在指数增长的模型之上利用微积分建立了阻滞增长模型，从而对指数增长模型进行了修正，修正后的增长模型大体上能够描述人口及大部分物种的数量变化规律[1]。所以利用微积分的数学思想，使学生更加形象生动地剖析生物中涉及数学的知识难点。
在《普通高中生物课程标准（实验）》中明确指出“了解建构生物模型的科学方法以及学生在科学研究中应用，领悟系统分析”，通过构建相应的数学模型来揭示其中所代表的规律，并且对将来的发展趋势做出合理的预测，高中生物学科是不同于其它学科的一门自然科学。内容繁冗复杂，时常被学生称为”理科中的文科“，常见语言是看看或者背背即可，因此仅靠学生的死记硬背，便不能有效地掌握这门课程的深度内涵[2]。要学好这门综合性较强的自然学科，其中涉及到一些需要用组合学、数理统计学、概率论、函数等知识来解决生物问题。而利用微积分思维应用在数学模型的分析能够有效解决相关问题，比如酵母菌数量的K值分析。课程中的模型构建活动，主要让学生通过尝试建立模型，体验建模过程中利用微积分动态思维领悟模型中相关数值的含义，并能获得相关的生物学知识。
高中生物课程中涉及与数学相关的内容有：光合作用、种群密度、碱基数量、孟德尔豌豆杂交实验，种群数量的变化等相关的内容。故针对种群数量变化关系构建数学模型，包括以下几个步骤：
①观察研究对象，提出问题 ②提出合理假设③根据实验数据，用适当的数学形式进行直观表达④通过进一步观察与实验对模型进行检验与矫正
下面以人教版必修三《生物与环境》第四章第2节《种群数量的变化》一节中构建种群数量变化过程中外界因素对种群数目变化的数学模型为例，详细阐述利用微积分思维分析数学模型建立的过程：
1.提出问题
学生需根据教学大纲可了解需要掌握的相关知识点，结合已有知识点在种群生长过程中（以酵母菌为例）各种营养物质是如何变化？提出酵母菌种群的增长模型变化？酵母菌生长过程中增长速率的变化？外界因素对种群数量变化的影响状况？增长模型中的K值与K/2值在实践中的应用？
2.作出假设
根据学生已学知识，做出合理、符合逻辑的假设，①食物和空间条件完全充裕的情况下;②环境气候适宜;③没有天敌存在;④无迁入与迁出等条件下：
3.建立模型
根据酵母菌在不同培养营养液中（马铃薯培养液和葡萄糖培养液）的生长状况得到不同的种群数量增长曲线（数学模型）。在营养条件充裕情况下，酵母菌的生长呈“J”型曲线（a）。在营养液一定、种群数量增加时曲线呈现“S”型（b）[3]。一定时间后达到平衡点。（见下图）
利用上述两个数学模型呈现的生长规律，构建“J”型生长曲线和“S型”生长曲线之间的联系。
利用微积分计算出阴影部分代表的环境阻力或者说是被环境淘汰的个体数目，种群“J”型的数学模型可利用方程式f（t1）=N0·λt1，种群“S”型增长用公式：f（t2）=r·N·（K-N）·t2/K
当菌落的稀释倍数为103倍时，培养皿中菌落在T段时间后后达到K值点，利用微积分的思维对A和B所围成的区域进行定积分的应用。可表示为：S==M
通过建立数学模型，利用微积分思维可以更快、更深入的理解因环境阻力等因素造成M个菌种的淘汰，所以
综上，将微积分思维渗透进生物学的实际问题中，不仅能够帮助学生更加直观地掌握知识点，把抽象的问题直观化，数字化，具体化，把复杂的问题简单化。更能培养学生的动态思维能力，能更明显的提升理解能力与提升生物课程教学质量。
参考文献
[1] 户艳芬. 运用数学模型提高高中生物课堂有效性的实践研究——以“构建有丝分裂过程中各种物质数目变化的数学模型”为例[J]. 科学咨询/教育科研， 2019（11）：162-163.
[2] 沈小军，冯莉莉. 数学模型在中学生物教学中的应用分析[J]. 读与写杂志， 2019（1）：122.
[3] 人民教育出版社等. 生物3 必修稳态与环境[M]. 北京：人民教育出版社， 2011.
课题项目：2017年铜仁市市级基础教育教学实验课题（2017SJ024）总结性成果。
作者简介：罗芹（1995--），女，贵州德江人，理学学士，二级教师。