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在数学教学中教师既要使学生掌握基础知识和基本技能,又要培养学生的数学能力。“数学能力的核心是数学思维能力”,由于数学思维的能力取决于数学思维的品质,故培养学生的数学思維品质是数学的一项重要任务。因为课本是教师的主要依据,所以我注意深钻教材,充分发挥教材潜在的智能功能,培养学生的数学思维品质,提高学生的数学能力。
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整体思想是一种基本的数学思想,它是将问题看成一个完整的整体,通过研究问题的整体形式、整体结构,在对整体处理后迅速而简便地解决问题。我注意充分挖掘教材中的整体因素,逐步介绍整体思维的方法和技巧,提高学生运用整体思维解答问题的能力。例如:“直平行六面体的底面是菱形,过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q■和Q■,求它的侧面积。”我在分析中指出,由于S■=4αh,而由条件不易分别求出α、h,但将αh作为一整体,则容易求出,这就是用整体代换来解决问题。例如:“求cos40°cos80° cos80°cos160° cos160°cos40°的值。”我引导学生用整体改造的办法去求:令X=cos40°cos80° cos80°cos160° cos160°cos40°,Y=sin40°sin80° sin80°sin160° sin160°sin40°,则可得方程组:
X Y=-■ cos20°X-Y=-■-cos20°,
解此方程组,即可求出X。
学生对于数形结合的思想并不陌生,但他们虽能够用“数的观点”去解答“形的问题”,却不会用“几何图形”去解决“数的问题”,我在教学中注意加强这方面的训练。如讲了斜率公式和直线的方程后,让学生重新证明“已知asin(θ α)=bsin(θ β),求证:tgθ=■。”他们先观察要证的等式的结构特点,很快发现和斜率公式类似,于是想到利用斜率公式证明,进而想到要证明点(acosα,bsinβ)、(bcosβ,asinα)在一条斜率为tgβ的直线上。我引导学生将已知等式展开,并令其值为C,得:
asinθcosα acosθsinα=bsinθcosβ bcosθsinβ=c
由上式得出两个等式:
acosαsinθ-bsinβcosθ-c=0bcosβsinθ-asinαcosθ-c=0
他们从这两个等式看出点(acosα,bsinβ)、(bcosβ,asinα)都在直线Xsinθ-Ycosθ-c=0上。至此,学生找出了用几何图形解决代数问题的途径。
2.发展求异思维,鼓励创新精神。
求异思维是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能答案的思维,它在思维的创造性中起着主导作用。我注意充分挖掘教材中的求异因素,尊重学生的独创见解,鼓励他们探索创新。例如“用两种方法证明:三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,6)在同一条直线上。”这道题虽然简单,但包含求异因素。我利用它开展“多解竞赛活动”,要求学生互不讨论,尽自己的能力找出多种解法。他们从不同角度,不同的方面去分析,找出了九种解法:(1)证明|AB| |BC|=|AC|;(2)证明点B在直线AC上;(3)证明直线AB、AC的夹角是0;(4)证明∠ABC=π;(5)证明直线AB、AC的方程相同;(6)证明点C到直线AB的距离等于0;(7)证明直线AB、AC的斜率相同;(8)证明△ABC的面积等于0;(9)证明点B是有向线段AC的一个定比分点。这些证法充分体现了学生的创新精神,我在讲评时大加赞扬,并使他们认识到即使一道简单题,只要深入钻研,也会获得很大收益。
3.将原有问题开拓引申,扩大学生创造性思维活动的领域。
我经常将教材上的一些例题、习题的条件或结论开拓引伸,得出一系列具有一定深度的问题,引导学生深入钻研,使他们的创造性思维活动范围更加广泛。
例如:平面内几条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数F(n)=■n(n-1)。这是一道用数学归纳法证明的例题,我讲完这种证法后,编拟了下面六道题,让学生进行思考:
(1)平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试求它们交点的个数F(n)。
(2)平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试求它们把平面分成的块数S(n)。
(3)空间内有n个平面,其中任何两个不平行,任何三个不过同一条直线,试求它们交线的条数F(n)。
(4)空间内有n个平面,其中任何两个不平行,任何三个不过同一条直线,试求它们把空间分成的部分数S(n)。
(5)平面内有n个圆,其中任何两个都相交,任何三个不过同一点,试求它们交点的个数P(n)。
(6)平面内有n个圆最多将平面分成多少个部分?
其中(1)是引导学生追溯原题的结论来源,掌握找交点的规律;(2)是引导学生将(1)得出的找交点方法引伸发展;(3)和(4)是使学生通过类比联想,将二维空间问题向三维空间推广;(5)和(6)是使学生在新问题情境中,创造性地运用已掌握的方法。
又如在学生解答:“已知a、b、c∈R■,求证:(■ ■ ■)(■ ■ ■)≥9”后,我继续让他们解答下面的题目:
(1)已知X,Y,Z∈R■,求证:(X Y Z)(■ ■ ■)≥9。
(2)已知X,Y,Z∈R■,(X Y Z)=1,求证:(■ ■ ■)≥9。
(3)已知X,Y,Z∈R■,求证:(■ ■ ■)≥■。
(4)已知X,Y,Z∈R■,且X Y Z=1,(3)中的结论有何变化?还能得一些怎样的不等式?
(5)在△ABC中,求证:(■ ■ ■)≥■。
(6)已知X■∈R■(i=1,2…n),求证:(X■ X■ … X■)(■ ■ … ■)≥n■
在这组题中,(1)是原题的直接变形,式子简单明了,便于掌握和应用;(2)是加强(1)的条件,得出新的结论;(3)是灵活加强(1)进行证明;(4)是加强(3)中的条件,研究结论的变化;(5)是(1)在几何中的应用;(6)是(1)的一般变化。通过改变原题的条件和结论,得出的这组题,脉络清晰、关系密切、思路流畅、规律性强,有利于学生发挥创造性的思维。
四、引导学生进行解题后的回顾,培养学生数学思维的批判性
引导学生在解题后进行回顾、总结,研究解题过程,能培养他们在思维活动中,善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的能力,这就培养了他们数学思维的批判性。
1.引导学生评价解题思路、方法,选择最佳解法。
在批改作业时,我收集了学生解答“过点A(0,■)向圆X■ Y■=5引两条切线,求它们的方程”所用的三种解法:(1)设切线方程为Y-■=KX,先利用判别式求K,再求切线的方程;(2)设切线方程为Y-■=KX,先利用圆心到切线的距离等于圆的半径求K,再求切线方程;(3)设切点坐标为(X■,Y■),则切线方程为X■X Y■Y=5,由点(0,■)在切线上和点(X■,Y■)在圆上得方程组■y■=5x■■ Y■■=5,解此方程组,求出X■,Y■,再求切线方程。为了比较这三种解法,我再出了下列两道题让学生解答:
(1)过点B(■,1)向圆X■ Y■=5引两条切线,求它们的方程。
(2)过点C(4,5)向圆(X-1)■ (Y-2)■=5引两条切线,求它们的方程。
然后引导学生对上述三种解法进行比较,他们发现:对于求圆心在任意位置的圆的切线方程,一般考虑用第(1)、(2)两种解法,但这两种解法只能求出和X轴不垂直的切线方程。求圆心在原点的圆的切线方程,一般用第(3)种解法,当圆心不在原点时,用第(3)种解法求切线方程时,运算量大。
经常引导学生评价解题思路、方法,能使他们善于调整思路,寻求最佳途径,简化解题过程。
2.引导学生更全面、更深刻地理解问题,发现带规律性的结论。
学生解答“化简(1)sin(α-β)cosβ cos(α-β)sinβ;(2)cos(α β)cosβ sin(α β)sinβ;(3)cos(36° X) cos(54°-X)-sin(36° X)sin(54°-X);(4)sin(70° α) cos(10° α)-cos(70° α)sin(110°-α)”后,我請他们谈解题后的体会。学生的普遍认识是:逆用公式,把一个“长式子”化成一个“短式子”,使函数式简化了。我肯定这些认识是正确的,进一步启发学生“逆向”研究化简过程,能看得出一些什么规律?大家通过仔细观察后发现α=α-β β=α β-β,90°=(36° X) (54°-X),60°=(70° a)-(10° a),我因势利导,要求学生设计2α、3α、α 2β的变形,掌握角的变换方法,以后就能简洁地证明。
通过长期的教学实践,我深刻地认识到:在讲授新课时,充分发挥教材的作用,培养学生的数学思维品质,能促使学生重视双基,善于思考。
X Y=-■ cos20°X-Y=-■-cos20°,
解此方程组,即可求出X。
学生对于数形结合的思想并不陌生,但他们虽能够用“数的观点”去解答“形的问题”,却不会用“几何图形”去解决“数的问题”,我在教学中注意加强这方面的训练。如讲了斜率公式和直线的方程后,让学生重新证明“已知asin(θ α)=bsin(θ β),求证:tgθ=■。”他们先观察要证的等式的结构特点,很快发现和斜率公式类似,于是想到利用斜率公式证明,进而想到要证明点(acosα,bsinβ)、(bcosβ,asinα)在一条斜率为tgβ的直线上。我引导学生将已知等式展开,并令其值为C,得:
asinθcosα acosθsinα=bsinθcosβ bcosθsinβ=c
由上式得出两个等式:
acosαsinθ-bsinβcosθ-c=0bcosβsinθ-asinαcosθ-c=0
他们从这两个等式看出点(acosα,bsinβ)、(bcosβ,asinα)都在直线Xsinθ-Ycosθ-c=0上。至此,学生找出了用几何图形解决代数问题的途径。
2.发展求异思维,鼓励创新精神。
求异思维是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能答案的思维,它在思维的创造性中起着主导作用。我注意充分挖掘教材中的求异因素,尊重学生的独创见解,鼓励他们探索创新。例如“用两种方法证明:三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,6)在同一条直线上。”这道题虽然简单,但包含求异因素。我利用它开展“多解竞赛活动”,要求学生互不讨论,尽自己的能力找出多种解法。他们从不同角度,不同的方面去分析,找出了九种解法:(1)证明|AB| |BC|=|AC|;(2)证明点B在直线AC上;(3)证明直线AB、AC的夹角是0;(4)证明∠ABC=π;(5)证明直线AB、AC的方程相同;(6)证明点C到直线AB的距离等于0;(7)证明直线AB、AC的斜率相同;(8)证明△ABC的面积等于0;(9)证明点B是有向线段AC的一个定比分点。这些证法充分体现了学生的创新精神,我在讲评时大加赞扬,并使他们认识到即使一道简单题,只要深入钻研,也会获得很大收益。
3.将原有问题开拓引申,扩大学生创造性思维活动的领域。
我经常将教材上的一些例题、习题的条件或结论开拓引伸,得出一系列具有一定深度的问题,引导学生深入钻研,使他们的创造性思维活动范围更加广泛。
例如:平面内几条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数F(n)=■n(n-1)。这是一道用数学归纳法证明的例题,我讲完这种证法后,编拟了下面六道题,让学生进行思考:
(1)平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试求它们交点的个数F(n)。
(2)平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试求它们把平面分成的块数S(n)。
(3)空间内有n个平面,其中任何两个不平行,任何三个不过同一条直线,试求它们交线的条数F(n)。
(4)空间内有n个平面,其中任何两个不平行,任何三个不过同一条直线,试求它们把空间分成的部分数S(n)。
(5)平面内有n个圆,其中任何两个都相交,任何三个不过同一点,试求它们交点的个数P(n)。
(6)平面内有n个圆最多将平面分成多少个部分?
其中(1)是引导学生追溯原题的结论来源,掌握找交点的规律;(2)是引导学生将(1)得出的找交点方法引伸发展;(3)和(4)是使学生通过类比联想,将二维空间问题向三维空间推广;(5)和(6)是使学生在新问题情境中,创造性地运用已掌握的方法。
又如在学生解答:“已知a、b、c∈R■,求证:(■ ■ ■)(■ ■ ■)≥9”后,我继续让他们解答下面的题目:
(1)已知X,Y,Z∈R■,求证:(X Y Z)(■ ■ ■)≥9。
(2)已知X,Y,Z∈R■,(X Y Z)=1,求证:(■ ■ ■)≥9。
(3)已知X,Y,Z∈R■,求证:(■ ■ ■)≥■。
(4)已知X,Y,Z∈R■,且X Y Z=1,(3)中的结论有何变化?还能得一些怎样的不等式?
(5)在△ABC中,求证:(■ ■ ■)≥■。
(6)已知X■∈R■(i=1,2…n),求证:(X■ X■ … X■)(■ ■ … ■)≥n■
在这组题中,(1)是原题的直接变形,式子简单明了,便于掌握和应用;(2)是加强(1)的条件,得出新的结论;(3)是灵活加强(1)进行证明;(4)是加强(3)中的条件,研究结论的变化;(5)是(1)在几何中的应用;(6)是(1)的一般变化。通过改变原题的条件和结论,得出的这组题,脉络清晰、关系密切、思路流畅、规律性强,有利于学生发挥创造性的思维。
四、引导学生进行解题后的回顾,培养学生数学思维的批判性
引导学生在解题后进行回顾、总结,研究解题过程,能培养他们在思维活动中,善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的能力,这就培养了他们数学思维的批判性。
1.引导学生评价解题思路、方法,选择最佳解法。
在批改作业时,我收集了学生解答“过点A(0,■)向圆X■ Y■=5引两条切线,求它们的方程”所用的三种解法:(1)设切线方程为Y-■=KX,先利用判别式求K,再求切线的方程;(2)设切线方程为Y-■=KX,先利用圆心到切线的距离等于圆的半径求K,再求切线方程;(3)设切点坐标为(X■,Y■),则切线方程为X■X Y■Y=5,由点(0,■)在切线上和点(X■,Y■)在圆上得方程组■y■=5x■■ Y■■=5,解此方程组,求出X■,Y■,再求切线方程。为了比较这三种解法,我再出了下列两道题让学生解答:
(1)过点B(■,1)向圆X■ Y■=5引两条切线,求它们的方程。
(2)过点C(4,5)向圆(X-1)■ (Y-2)■=5引两条切线,求它们的方程。
然后引导学生对上述三种解法进行比较,他们发现:对于求圆心在任意位置的圆的切线方程,一般考虑用第(1)、(2)两种解法,但这两种解法只能求出和X轴不垂直的切线方程。求圆心在原点的圆的切线方程,一般用第(3)种解法,当圆心不在原点时,用第(3)种解法求切线方程时,运算量大。
经常引导学生评价解题思路、方法,能使他们善于调整思路,寻求最佳途径,简化解题过程。
2.引导学生更全面、更深刻地理解问题,发现带规律性的结论。
学生解答“化简(1)sin(α-β)cosβ cos(α-β)sinβ;(2)cos(α β)cosβ sin(α β)sinβ;(3)cos(36° X) cos(54°-X)-sin(36° X)sin(54°-X);(4)sin(70° α) cos(10° α)-cos(70° α)sin(110°-α)”后,我請他们谈解题后的体会。学生的普遍认识是:逆用公式,把一个“长式子”化成一个“短式子”,使函数式简化了。我肯定这些认识是正确的,进一步启发学生“逆向”研究化简过程,能看得出一些什么规律?大家通过仔细观察后发现α=α-β β=α β-β,90°=(36° X) (54°-X),60°=(70° a)-(10° a),我因势利导,要求学生设计2α、3α、α 2β的变形,掌握角的变换方法,以后就能简洁地证明。
通过长期的教学实践,我深刻地认识到:在讲授新课时,充分发挥教材的作用,培养学生的数学思维品质,能促使学生重视双基,善于思考。