论文部分内容阅读
目前，中小学课堂教学的低效，往往是由于课堂教学问题的诊断缺失突出，或者不是“对症下药”所致。如何开展切实可行的课堂教学问题诊断，是当前亟待解决的焦点话题。
笔者以具体的实践案例为例，就“归纳推理过程”的课堂教学诊断展开分析论述。
一、一个课堂教学片段
为了更好地了解初中数学教师课堂教学的实际情况，笔者在A城一所中学开展了一次教研活动，其中的一节数学课是人教版八年级下册“矩形”的第一课时的内容。
在导入新课后，教师首先请学生回忆平行四边形的研究思路及性质，而后演示了平行四边形的模具，引导学生归纳出了矩形的概念。
此时，教学进入了矩形性质的学习阶段，教学活动如下：
师：类比平行四边形的性质，请同学们独立思考，猜想矩形有哪些性质？（历时1分30秒）
师：思考后，先在小组内进行交流，把所得结果写在一张纸上，一会儿到讲台前交流。（历时1分20秒）
师：请大家注意，需要同时验证你的猜想。（学生验证自己的猜想历时2分10秒）
师：请同学们展示你的猜想，矩形的性质和结论。
生1：具有平行四边形一切性质，四个角相等，都是直角，并且对角线相等。
生2：矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，四个角都是直角，并且对角线平分且相等。
师：针对矩形，大家有两个特殊的猜想，一个是“矩形的四个角都是直角”，对于该猜想的证明，根据定义很容易给出；另一个猜想是“对角线相等”，对于这个猜想，你有哪些验证方法？
生3：可以通过度量对角线的长度来验证。
生4：用两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，绕着对角线的交点，旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点相互重合后，可以发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。
生5：证明Rt△ABC≌Rt△BCD.（图形略）
生6：利用勾股定理可证明：AC=BD。（图形略）
师：下面请一名同学上台写出证明过程。
（一名同学在黑板上写出了证明过程，其他同学在下面证明）
在这个教学环节中，活动进展得比较顺利，学生很快就知道了矩形的两条性质，并用了四种方法进行验证。
但是，课堂上还有一种非常明显的现象，这就是，课堂气氛沉闷，学生思维并不活跃。那么，为什么会出现这种现象呢？笔者认为，对此问题有必要进行深入地研讨。
二、针对“课堂沉闷”现象的教学审视
首先，在上面的这个教学片段中，学生通过类比、猜想，得到了矩形的性质，似乎是全面的，其实未必。
矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，其基本性质是通过演绎而得到的。而矩形又是特殊的平行四边形，它的特殊性质并非能通过类比而得到。其实，平行四边形并不具有“对角线相等、四个内角都是直角”的性质，因而，无法类比得到。而矩形的这两条性质又是本节课的重点，它的灵活应用更是本节课的难点。对于那些“学得不好，学得不快”的学困生来说，进行这种猜想是其能力所不及的。
其次，在验证“对角线相等”的这条性质中，生3“度量”法和生4“旋转”法，是真正的“验证的方法”吗？
其实，验证是需要证明的，就像哥德巴赫猜想一样，直到今天人类尚未完成。证明是需要演绎推理的，生3“度量”法和生4“旋转”法都不是严谨的演绎推理方法，因而，这两种方法只能是探究的方法、猜测方法。
上面的教学片断存在的问题，实质上是由于任教教师对“归纳推理的过程”理解不清、对矩形作为特殊的平行四边形的“特殊性”没有真正关注所致。同时，教师并没有站在学生的角度，诱发学生产生积极的思考，在动态演示的过程中，没有让学生体会到“从一般的平行四边形演变为矩形的过程”，这也许是“课堂沉闷”现象产生的主要原因吧。
几何推理是几何课程内容的核心内容之一，这里的推理包含两部分，一是归纳推理即包括归纳、类比、猜想等在内的推理，也称之为合情推理；二是演绎推理。在中小学课堂教学中，通常采取三种推理方式，第一种是典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；第二种是借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理（例如，“仅有图形而不需要文字说明”的无字证明）；第三种则属于典型的演绎证明。让学生是否获得三种活动的直接经验，是否经历过相应的推理活动，对学生关于推理的掌握程度有显著影响。
三、解决“课堂沉闷”现象，教学须体现出浓厚的学科韵味、深刻的学科内涵
让学生经历“归纳推理的过程”，其实是为了让每一位学生都经历学科思考的过程，获得直接的经验和体验，建构真正的学科理解，最终形成良好的学科直观。
为此，在不改变这节课先前环节的前提下，可以将“矩形的性质的探究”作如下调整：
将生3“度量”法和生4“旋转”法，改为探究的方法，以面向全体；如果有的学生学有余力，可鼓励其采用折纸的方法进行进一步探究。
在平行四边形的模具框架上，用橡皮筋拉出两条对角线，此时可让学生思考，若改变平行四边形的形状，两条对角线的长度有怎样的变化？
（学生可以通过两条橡皮筋的松紧程度猜想两条对角线长短的关系，当夹角为锐角或钝角时，一条橡皮筋紧、一条橡皮筋松。当夹角为直角时，两条橡皮筋的松紧程度相同，可以猜想两条对角线相等，再进一步可以度量。
从数学抽象的角度看，这一步是实物直观层面的抽象，其关键在于，借助两根相同的橡皮筋，帮助学生建构“矩形对角线相等”的图形性质。
在上面的“矩形由平行四边形转化的过程”中，可以发现一个现象，即两条对角线始终相等。那么，是不是所有矩形都具有这个规律呢？我们如何验证它？
对此，可以借助几何画板来制作一个矩形课件，在矩形动态变化下，分别度量出相应的两条对角线的长（即拖动矩形角上的一点，以改变矩形的大小），此时可以发现，无论在任何情况下，两条对角线的长度始终保持相等。
这个探究活动完全可以由学生（或学生小组）独立完成（一般不需要教师的实质性介入）。
利用生4“旋转”法进行探究。即，给每个学生准备两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，接着沿对角线交点旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点重合后，发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。
（如此，通过学生的动手实验、探究观察，学生积累了动手的经验和探究的经验，从而培养了学生的几何直观能力）
利用折纸的方法进一步探究矩形相关的性质。矩形是轴对称图形，并且有两条对称轴。准备一张A4纸，沿一条对称轴对叠A4纸，接着再沿另一条对称轴对叠，形成一个小的矩形，最后沿小的矩形的对角线对折（其中，对角线的一个顶点是两条对称轴的交点）。展开后，就可以发现A4纸的两条对角线相等。
当然，这个活动也可以作为部分学生课后研究的问题，而作为全班同学的共性要求可能高了一些。
其实，几何的最大特点在于它的动态性--在变化过程中发现不变的规律。这种规律性，正是数学教育教学活动之中引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”的着力点。在知识技能的教学中，让每一位学生获得知识技能形成的经验、自己独立思考的经验，以及猜测发现的直接经验和体验，最终形成良好的数学学科直观，提升其学科素养。在这一点上，可以说“归纳推理过程”实质上是一种课程教学资源，只有充分认识到其价值，才能使教学效益最大化。
正如史宁中教授指出的，“真正的知识是来源于感性经验的，是通过直观和抽象而得到的”。学生所学的数学知识是通过人类漫长的数学抽象过程而形成的。因而，在数学课堂教学中，让学生经历数学抽象的过程，不仅可以让学生知道数学知识是如何产生发展的，也可以有效降低学习的难度，便于学生获得理解性掌握；同时，更有利于帮助学生经历抽象的过程，逐步形成抽象思维的能力和探索发现的能力，为正确认识事物的本质、培养创新思维奠定坚实的基础。
（责任编辑：张华伟）
笔者以具体的实践案例为例，就“归纳推理过程”的课堂教学诊断展开分析论述。
一、一个课堂教学片段
为了更好地了解初中数学教师课堂教学的实际情况，笔者在A城一所中学开展了一次教研活动，其中的一节数学课是人教版八年级下册“矩形”的第一课时的内容。
在导入新课后，教师首先请学生回忆平行四边形的研究思路及性质，而后演示了平行四边形的模具，引导学生归纳出了矩形的概念。
此时，教学进入了矩形性质的学习阶段，教学活动如下：
师：类比平行四边形的性质，请同学们独立思考，猜想矩形有哪些性质？（历时1分30秒）
师：思考后，先在小组内进行交流，把所得结果写在一张纸上，一会儿到讲台前交流。（历时1分20秒）
师：请大家注意，需要同时验证你的猜想。（学生验证自己的猜想历时2分10秒）
师：请同学们展示你的猜想，矩形的性质和结论。
生1：具有平行四边形一切性质，四个角相等，都是直角，并且对角线相等。
生2：矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，四个角都是直角，并且对角线平分且相等。
师：针对矩形，大家有两个特殊的猜想，一个是“矩形的四个角都是直角”，对于该猜想的证明，根据定义很容易给出；另一个猜想是“对角线相等”，对于这个猜想，你有哪些验证方法？
生3：可以通过度量对角线的长度来验证。
生4：用两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，绕着对角线的交点，旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点相互重合后，可以发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。
生5：证明Rt△ABC≌Rt△BCD.（图形略）
生6：利用勾股定理可证明：AC=BD。（图形略）
师：下面请一名同学上台写出证明过程。
（一名同学在黑板上写出了证明过程，其他同学在下面证明）
在这个教学环节中，活动进展得比较顺利，学生很快就知道了矩形的两条性质，并用了四种方法进行验证。
但是，课堂上还有一种非常明显的现象，这就是，课堂气氛沉闷，学生思维并不活跃。那么，为什么会出现这种现象呢？笔者认为，对此问题有必要进行深入地研讨。
二、针对“课堂沉闷”现象的教学审视
首先，在上面的这个教学片段中，学生通过类比、猜想，得到了矩形的性质，似乎是全面的，其实未必。
矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，其基本性质是通过演绎而得到的。而矩形又是特殊的平行四边形，它的特殊性质并非能通过类比而得到。其实，平行四边形并不具有“对角线相等、四个内角都是直角”的性质，因而，无法类比得到。而矩形的这两条性质又是本节课的重点，它的灵活应用更是本节课的难点。对于那些“学得不好，学得不快”的学困生来说，进行这种猜想是其能力所不及的。
其次，在验证“对角线相等”的这条性质中，生3“度量”法和生4“旋转”法，是真正的“验证的方法”吗？
其实，验证是需要证明的，就像哥德巴赫猜想一样，直到今天人类尚未完成。证明是需要演绎推理的，生3“度量”法和生4“旋转”法都不是严谨的演绎推理方法，因而，这两种方法只能是探究的方法、猜测方法。
上面的教学片断存在的问题，实质上是由于任教教师对“归纳推理的过程”理解不清、对矩形作为特殊的平行四边形的“特殊性”没有真正关注所致。同时，教师并没有站在学生的角度，诱发学生产生积极的思考，在动态演示的过程中，没有让学生体会到“从一般的平行四边形演变为矩形的过程”，这也许是“课堂沉闷”现象产生的主要原因吧。
几何推理是几何课程内容的核心内容之一，这里的推理包含两部分，一是归纳推理即包括归纳、类比、猜想等在内的推理，也称之为合情推理；二是演绎推理。在中小学课堂教学中，通常采取三种推理方式，第一种是典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；第二种是借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理（例如，“仅有图形而不需要文字说明”的无字证明）；第三种则属于典型的演绎证明。让学生是否获得三种活动的直接经验，是否经历过相应的推理活动，对学生关于推理的掌握程度有显著影响。
三、解决“课堂沉闷”现象，教学须体现出浓厚的学科韵味、深刻的学科内涵
让学生经历“归纳推理的过程”，其实是为了让每一位学生都经历学科思考的过程，获得直接的经验和体验，建构真正的学科理解，最终形成良好的学科直观。
为此，在不改变这节课先前环节的前提下，可以将“矩形的性质的探究”作如下调整：
将生3“度量”法和生4“旋转”法，改为探究的方法，以面向全体；如果有的学生学有余力，可鼓励其采用折纸的方法进行进一步探究。
在平行四边形的模具框架上，用橡皮筋拉出两条对角线，此时可让学生思考，若改变平行四边形的形状，两条对角线的长度有怎样的变化？
（学生可以通过两条橡皮筋的松紧程度猜想两条对角线长短的关系，当夹角为锐角或钝角时，一条橡皮筋紧、一条橡皮筋松。当夹角为直角时，两条橡皮筋的松紧程度相同，可以猜想两条对角线相等，再进一步可以度量。
从数学抽象的角度看，这一步是实物直观层面的抽象，其关键在于，借助两根相同的橡皮筋，帮助学生建构“矩形对角线相等”的图形性质。
在上面的“矩形由平行四边形转化的过程”中，可以发现一个现象，即两条对角线始终相等。那么，是不是所有矩形都具有这个规律呢？我们如何验证它？
对此，可以借助几何画板来制作一个矩形课件，在矩形动态变化下，分别度量出相应的两条对角线的长（即拖动矩形角上的一点，以改变矩形的大小），此时可以发现，无论在任何情况下，两条对角线的长度始终保持相等。
这个探究活动完全可以由学生（或学生小组）独立完成（一般不需要教师的实质性介入）。
利用生4“旋转”法进行探究。即，给每个学生准备两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，接着沿对角线交点旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点重合后，发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。
（如此，通过学生的动手实验、探究观察，学生积累了动手的经验和探究的经验，从而培养了学生的几何直观能力）
利用折纸的方法进一步探究矩形相关的性质。矩形是轴对称图形，并且有两条对称轴。准备一张A4纸，沿一条对称轴对叠A4纸，接着再沿另一条对称轴对叠，形成一个小的矩形，最后沿小的矩形的对角线对折（其中，对角线的一个顶点是两条对称轴的交点）。展开后，就可以发现A4纸的两条对角线相等。
当然，这个活动也可以作为部分学生课后研究的问题，而作为全班同学的共性要求可能高了一些。
其实，几何的最大特点在于它的动态性--在变化过程中发现不变的规律。这种规律性，正是数学教育教学活动之中引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”的着力点。在知识技能的教学中，让每一位学生获得知识技能形成的经验、自己独立思考的经验，以及猜测发现的直接经验和体验，最终形成良好的数学学科直观，提升其学科素养。在这一点上，可以说“归纳推理过程”实质上是一种课程教学资源，只有充分认识到其价值，才能使教学效益最大化。
正如史宁中教授指出的，“真正的知识是来源于感性经验的，是通过直观和抽象而得到的”。学生所学的数学知识是通过人类漫长的数学抽象过程而形成的。因而，在数学课堂教学中，让学生经历数学抽象的过程，不仅可以让学生知道数学知识是如何产生发展的，也可以有效降低学习的难度，便于学生获得理解性掌握；同时，更有利于帮助学生经历抽象的过程，逐步形成抽象思维的能力和探索发现的能力，为正确认识事物的本质、培养创新思维奠定坚实的基础。
（责任编辑：张华伟）