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【摘要】本文结合《平面镶嵌》一课教学，让学生经历“将实际问题转化为数学问题—合作探究—寻找共性—得出结论”的学习过程从而掌握该学习方法，提出教师在教学中应放手让学生探究，让学生在玩中发现规律、掌握知识、学会方法，快乐学习。
【关键词】《平面镶嵌》 情境导入 方法总结 课外延伸 学生探究 快乐学习
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）05A-0027-05
一、教材分析
《平面镶嵌》是人教版八年级上册第十一章《三角形》的最后一节内容，这是一节数学活动课，是在介绍了三角形的概念及性质，多边形的内角和、外角和公式的基础上进行的，再次体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用。教材从生活实例出发，引出平面镶嵌的概念，探究了三个问题：一是一种正多边形的镶嵌问题，通过动手实验、观察、分析，发现正三角形、正方形和正六边形能镶嵌；二是几种正多边形的镶嵌问题，探究正多边形平面镶嵌的原理；三是探究任意多边形的平面镶嵌。本课的学习，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，加深对相关知识的理解，提高思维能力。
二、学情分析
八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对镶嵌的内在规律关注不够，因而教师在教学本节时应通过创设情境、组织学生动手操作，让学生在活动中共同探究从而加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
三、教学目标
（一）掌握正多边形平面镶嵌的条件；
（二）探究任意多边形平面镶嵌的条件；
（三）通过探究正多边形镶嵌条件的过程，训练学生的合情推理能力；
（四）通过平面图形的镶嵌活动，培养学生的创新精神和运用数学知识解决实际问题的能力。
四、教学重难点
教学重点：
（一）掌握正多边形平面镶嵌的条件；
（二）探究一种正多边形、几种正多边形的镶嵌问题。
教学难点：探究正多边形平面镶嵌的条件。
五、教学实录
（一）观察生活，引出概念
師：入冬后天气转凉，小红想网购一床被子，她对这样由多边形图案拼接而成的衍缝被情有独钟。请大家和我一起欣赏这些被子上的多边形图案。（课件播放衍缝被的图片，并运用放大镜功能依次展示每床被子上的多边形图案，图略）
师：这床被子上的图案分别是由什么多边形拼接而成的？
生：菱形、正六边形、正方形、三角形。
师：在网购的过程中，小红发现商店里还有制作衍缝被的材料包出售，心灵手巧的小红想尝试自己缝制被子。请大家思考，布块的拼接会有什么要求呢？如果小红按照第一种拼接方式缝制被子可以吗？为什么？（出示图1、图2、图3）
生：不可以，有缝隙。
师：没错，按照这样的方式拼接布块，缝制出来的被子一定是漏风的。那第二种呢？
生2：也不可以，布块之间有重叠，缝制出来的被子不平整。
师：很好，那最后一种呢？
生：可以，既不重叠也无空隙。
师：没错，缝制一床既平整又暖和的被子，应该用第三种方式拼接布块。在数学中，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌。
【设计意图】
建构主义学习观认为，数学学习内容应通过情境的方式呈现，更贴近学生实际生活的情境能激发学生走进数学的兴趣和信心。教师创设情境时要紧紧围绕教学目标，而且要具体、有新意、对学生有启发。在引入环节，笔者用“缝被面”的情境大胆而巧妙地替换了教材中的“铺地砖”情境，既遵循了新课标中“数学源于生活”的理念，又能激发学生的学习兴趣。这一实例更易于学生理解有缝和有褶皱两个概念，为下一步的学习铺垫。
（二）分类探究，发现规律
师：小红非常想用正五边形缝制一床被子，但是一直买不到材料，到底什么样的多边形能够镶嵌呢？请你利用正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片，小组合作探究哪一种正多边形可以单独进行平面镶嵌。
（教师给予学生充足的时间合作探究，关注每个小组的合作探究成果，拍照记录）
师：相信大家经过探究都已经有所发现，现在请小组代表回答，正三角形、正方形、正五边形、正六边形哪一种正多边形可以单独进行平面镶嵌。
生：正三角形、正方形、正六边形可以，正五边形不可以。
师：非常好，我相信其他小组也是得到一样的结论。老师收集了各个小组的作品，让我们一起来欣赏。
（教师利用手机拍照上传的功能，向学生展示各个小组的作品）
师：现在请大家思考为什么单独用正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成平面图案，而正五边形不能镶嵌成平面图案？
生：因为正三角形、正方形、正六边形可以拼接成既不重合又无空隙的图案，正五边形拼接的图案有空隙。
师：那要想多边形拼接在一起既无空隙又无重叠，必须满足什么条件呢？
生：在角的交点处，所有角之和等于360°。
师：这么重要的结论都被你发现了，真棒！我们把角的交点处叫做拼接点。由此我们得到了单独一种正多边形可以进行平面镶嵌的条件是，拼接点处的所有角之和为360°。
【设计意图】
笔者通过分组探究将难点分解，让学生在活动过程中自主探究出结果，增强学习数学的兴趣及信心；通过自主拼图，学生进一步形成对一种正多边形平面镶嵌的整体认识；通过师生共同总结规律，学生对平面镶嵌的认识从感性上升到理性的高度。
（三）开放探索，运用结论 师：小红觉得单独一种正多边形的镶嵌还不够漂亮，请小组合作，设计出几种图形组合镶嵌的图案。
（教师给予学生充足的时间设计图案，关注每个小组的合作探究成果，拍照记录）
师：好的，时间到，现在我们来欣赏由各个小组设计的图案。
（教师依次展示学生的作品，并给予表扬）
师：大家看，这名同学设计的图案是一个爱心，十分漂亮，下面我们请他给我们分享，他通过图案设计，发现哪些正多边形可以组合在一起镶嵌成一个图案。
生1：我是用正六边形和正三角形镶嵌成这个爱心图案的。
师：你用了几个正六边形、几个正三角形进行镶嵌？
生1：我用了两个正三角形和两个正六边形进行镶嵌。
师：为什么两个正三角形和两个正六边形可以镶嵌成一个平面图形呢？
生1：因为一个正三角形内角是60°，一个正六边形内角为120°，在拼接点处包含两个三角形的内角和两个正六边形的内角。60°×2+120°×2=360°。
师：你回答问题思路清晰，回答得真精彩！接下来我们看看这幅图案设计，这个小组的同学运用了三种图形进行镶嵌，他们尽可能用到了所有可以进行平面镶嵌的多边形设计图案，非常有创意。在同一个图案中既包含两种正多边形的镶嵌，也包括三种正多边形的镶嵌。那么你们有没有想过，为什么这些正多边形可以进行平面镶嵌？
生2：我們在拼图的过程中，就有意识地计算，看一下哪些多边形的内角组合在一起可以得到360°。
师：非常棒！你通过探究1后能够将探究1的结论运用到探究2之中。通过探究2，大家认为几种图形可以组合在一起镶嵌需要满足什么条件？
生：在拼接点处所有角之和为360°。
师：非常好，由此我们发现，无论是单独一种正多边形进行平面镶嵌，还是几种正多边形组合在一起镶嵌，需要满足的条件都是在拼接点处所有内角之和为360°。
师：现在让我们学以致用，请问正方形和正八边形能否镶嵌？为什么？
生3：可以，正方形的一个内角为90°，正八边形的一个内角是135°，135°×2+90°=360°，所以用两个正八边形和一个正方形就可以镶嵌成一个平面图案了。
师：回答得非常好！当我们发现规律之后，就不需要通过拼图的方式判断一种正多边形或几种正多边形组合在一起能否镶嵌成一个平面图案了，只需要运用结论即可。
【设计意图】
从探究1到探究2是一个从简单到复杂的过程，这一个从简到繁的过渡符合学生的认知规律。我国教育家刘佛年指出：“只要有点新思想、新观念、新设计、新意图、新方法，就称得上创造。”在探究2的教学中，笔者通过让学生设计平面镶嵌图案，使学生在设计过程中观察、发现几种正多边形可以平面镶嵌的规律，最终学生发现将探究1的结论迁移至探究2也是可行的。学生设计出各种各样的图案，激发了自身的创造性思维。
（四）深入研究，提升思维
师：通过探究1和探究2，我们已经成功地得出正多边形可以进行平面镶嵌的条件，那么单独一种任意多边形能否进行平面镶嵌呢？让我们从最简单的任意三角形开始探究，比一比哪个小组最快得出结论。
（学生探究，教师表扬较快得出结论的小组）
师：经过两分钟的探究，基本上所有的小组都可以得出结论，这是每个小组的拼图成果。（教师利用手机同屏展示各小组作品）下面请小组代表给我们分享他们小组得出的结论。
生1：经过探究，我们小组认为任意三角形可以镶嵌成平面图案，这是我们小组镶嵌的图案。
师：你们小组用了几个三角形进行镶嵌？你可以告诉我们这几个三角形应该如何摆放，才可以镶嵌成平面图案吗？
生1：我们小组用了六个任意三角形进行镶嵌。我们原来的思路是量出所有三角形每个内角的度数，但是我们发现量内角的工作量太大，后来我们想到三角形的内角和为180°，而且这些任意三角形都是全等的，因此只要在拼接点处让三个三角形的不同内角拼在同一个点处，一定能得到180°，两组这样的拼接，就可以使在拼接点处所有角之和为360°。
师：你的分析太精彩了，不仅给我们分享了你们小组曲折的探索过程，还将为什么任意三角形可以镶嵌成一个平面图形解释得非常清楚。从这个小组的分析我们可以看出，探究任意三角形镶嵌的过程与三角形内角和为180°息息相关，可见知识间是相互联系的。
师：任意三角形可以进行平面镶嵌，那么任意四边形可以吗？
生：可以。
师：说可以镶嵌的同学，你能告诉我们要用到几个四边形进行镶嵌吗？怎样摆放四边形呢？
生2：运用四个四边形进行镶嵌，让四边形中不同的内角拼在同一个点处。
师：原因是什么呢？
生2：四边形的内角和为360°。
师：你们真是太有智慧了。
师：小红觉得还是有些遗憾，因为她本来是想用五边形作为基础图案缝制被子，现在大家探究的结果是正五边形不能够进行平面镶嵌，那么请问是否有一些特殊的五边形可以进行平面镶嵌呢？
生：应该有吧。
师：确实是有的。2015年，美国华盛顿大学研究人员发现了一种不规则的“完美五边形”，它的五个内角分别为60°、90°、105°、135°和150°。这样的五边形可以跟其他一模一样的五边形拼接起来。迄今，人们总共发现15个这样的“完美五边形”。在数学界，发现这种不规则五边形，无异于发现一种新型粒子。更多的超级五边形、超级六边形、超级n边形等着你发现！
【设计意图】
探究3的教学是体现本节课思维深度的一个环节，使整节课的研究由正多边形引向任意多边形，渗透了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想。在教学过程中，笔者不再给予学生充分的时间，而是以小组比赛的形式，让学生在短时间内专注思考。实际教学中，有几个小组能在1分钟之内发现规律，并能够向大家分享本小组在探究过程中，调整方案、得出结论的过程，教学节奏紧凑而有效，教学效果较好。教师通过“完美五边形”这一知识延伸，拓展学生的视野，激发学生探究兴趣。 （五）梳理脉络，提升方法
师：本节课我们主要研究了平面镶嵌的哪些知识点？
生：平面镶嵌的定义、多边形可以镶嵌的条件。
师：是的，本节课我们从形的角度学习了平面镶嵌的定义，又从数的角度探究了多边形可以镶嵌的条件。我们研究平面镶嵌所需要的条件经历了怎样的过程？
生：缝被子。
师：没错，我们首先将缝被子这个实际问题转化成数学问题。接下来，我们是怎样解决这个数学问题的呢？
生：做实验。
师：是的，那我们做了几个实验？
生：三个，我们先探究单独一种正多边形的镶嵌，接着探究几种正多边形组合的镶嵌，最后还探究了任意三角形的镶嵌。
师：很好，那我们进行了实验之后是怎样得出结论的呢？
生：我们观察可以镶嵌的几个正多边形的共性，发现只要在拼接点处所有角之和为360°即可。
师：真棒，我们经历了这样的学习过程（出示图4），我们在今后学习几何知识时，经常会经历这样的过程。
图4
【设计意图】
建构主义基于学生的心理发展认为，学习是通过意义建构来获取知识和经验的过程，在学生原有的知识结构和经验下，通过适当的指导和学习总结，使知识内化到原有的认知结构中。在课堂小结的过程中，笔者引导学生回忆整节课的主线：每个环节是如何开展的？如何解决问题？学习了什么知识点？通过梳理脉络，提出学习几何的一般过程。学生在自主回顾、总结的基础上，形成知识再现，构建完整的知识结构体系，最终实现“问题知识化”的目的。
（六）课后延伸，拓宽视线
师：下面请同学们欣赏几张图片。
師：这些图片蕴含着平面镶嵌的元素，但是我们的基本图形不再是多边形，而是各种各样的图案。这些图片其实大有来头，它们是埃舍尔镶嵌图形，一种基于数学原理的图形绘画方式，由荷兰的数学家埃舍尔创作。埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
师：最后，请大家观察足球的图片，你发现了什么？
生：我发现了镶嵌。
师：你发现了什么图形的镶嵌？
生：正五边形和正六边形的镶嵌。
师：大家不是告诉我，正五边形没办法和其他图形进行平面镶嵌吗？
（学生沉思）
师：足球外表的图案是由正五边形和正六边形镶嵌而成的，正五边形和正六边形在平面上无法进行镶嵌，但是可以进行空间镶嵌。感兴趣的同学课后可以继续研究空间里的镶嵌。
【设计意图】
新课标指出，教师要利用拓展延伸，鼓励学生读一些数学课本以外的科普读物、数学网站上的阅读思考活动等，以引起学生思想共鸣和模仿实践，提高他们学习数学的兴趣，激发他们的求知欲。在本环节的教学中，学生通过欣赏埃舍尔的镶嵌图片，感受数学的应用价值，感受利用数学知识创造的艺术品的神奇美妙。通过观察足球的外观，学生的思维从平面镶嵌延伸至空间镶嵌，学生的思维得到拓宽，将课堂中数学的探究余热延至课后，在教学中，学生大开眼界，并表现出进一步探究空间镶嵌的欲望。
六、教学反思
本节课教学目标明确，从整体来看，本节课重点突出，难点得以突破，教法得当，课堂气氛活跃，学生参与面广，思维得到激发，教学效果明显。
从细节方面来看，在引入环节，笔者用“缝被面”的情境大胆而巧妙地替换了教材中的“铺地砖”情境，符合新课标中“数学源于生活”的理念，让学生更容易理解有缝和有褶皱，为下一步学习定义铺垫。在探究环节，笔者将课本中的探究问题进行了整合，给学生极大的探究空间。
整节课主线明确，具有浓厚探究气息。本节课的明线是以小红“缝被面”的情节发展推动探究进程，暗线是探究多边形镶嵌的条件。根据情节的发展，笔者引领学生探究了一个正多边形镶嵌应满足的条件，两组及两组以上的正多边形镶嵌需要满足的条件，任意多边形可以平面镶嵌的条件。学生通过探究，收获知识，属于“真探究”。学生在“玩”中掌握知识，真正实现了“快乐学习”。
本节课不仅能激发学生课堂上的探究兴趣，更将学生的探究热情延至课后，笔者通过让学生欣赏埃舍尔镶嵌图片，使学生感受数学的应用价值，感受利用数学知识创造的艺术品的神奇美妙。通过观察足球的外观，学生的思维从平面镶嵌延伸至空间镶嵌。
本节课上完后，虽然效果不错，但还有一些地方需要改进。
首先，对于课堂上学生的一些亮点作品，笔者未能有效利用。其次，学生虽然在辨析研讨的过程中，彻底明白镶嵌的特征及条件，但毕竟练习量不够，还缺少一些必要的练习巩固。
总之，一节好课的产生，需要我们把更多的时间、精力投入到“精心设计”，还给学生足够的思考时间和独特的体验空间，让学生思维得到提升！
【评析】
一、从教学设计看本节课的三大亮点
（一）巧妙引入，学生乐在开头
本节课从一件生活小事——小红想亲自缝制被子说起，由被子的拼接引入课题，体现了课标中数学源于生活的理念，增强了学生学习新知识的兴趣，使学生产生好学之乐。
（二）巧妙设计数学活动，学生乐在其中
《平面镶嵌》整节课以生活例子“缝被面”为主线，引领学生经历：观察生活（缝被面）；提出问题（为什么正五边形不能平面镶嵌）；化归为数学问题（平面镶嵌）；合作探究分类思考，寻找共性（镶嵌的条件）；解释应用（正五边形不能缝被面）；拓展（特殊的五边形可以缝被面）；提升（美丽的图案源于数学）。这一连贯的设计既遵循课标中“数学源于生活，高于生活，指导生活”的理念，又符合学生的认知规律。学生在玩的过程中享受思考的乐趣，课堂如行云流水，让大家享用了一顿精美而务实的数学大餐。
（三）方法总结，学生乐在其后
龙老师主要通过两个问题引导学生总结方法。
1.本节课我们主要研究了平面镶嵌的哪些知识点？
（从形的角度学习了平面镶嵌的定义，又从数的角度探究了多边形可以镶嵌的条件）
2.本节课我们研究平面镶嵌所需要的条件经历了怎样的过程？
教师最后指出，在今后研究几何图形时，常常会经历这样一个过程，为学生以后的学习铺垫。
二、从总体分析，课堂实现了“三有”
从学生的视角看课堂——有趣。学生学得轻松、愉快、有趣，活而不乱，充满智慧。
从教师的视角看课堂——有味。教学体现个性和特色，充满智慧和灵动，教师课前精心设计，课堂精彩展示，学生学得“津津有味”，教师教得“激情飞扬”，高效有味。
从管理者的视角看课堂——有效。学生通过课堂学习，在知识、能力、情感态度价值观等方面有所收获；教师通过课堂教学完成了教学内容，达到了教学目标，体现了学科特色。听课者通过课堂听课，有所思考，有所启迪。
三、教学建议
“课堂教学是一门遗憾的艺术”，龙老师很年轻，对于课堂生成的教学资源，还没有能够充分利用。例如课堂上龙老师收集到了某学习小组的一幅将所有教师提供的正多边形进行镶嵌的组合图形，这是非常好的教学资源，如果继续深入探究将掀起课堂的高潮，但龙老师没有把握好机会，她没有展示这一组合图形并让学生找出所有镶嵌的情况，而是选择了两组简单的图形进行讨论，而这两组图形的镶嵌方式又是一样的，显得有些重复而深度不够。
虽然小有遗憾，但这节课依然是“乐教”与“乐学”和谐共振的好课！（秦健）
（责编 刘小瑗）
【关键词】《平面镶嵌》 情境导入 方法总结 课外延伸 学生探究 快乐学习
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）05A-0027-05
一、教材分析
《平面镶嵌》是人教版八年级上册第十一章《三角形》的最后一节内容，这是一节数学活动课，是在介绍了三角形的概念及性质，多边形的内角和、外角和公式的基础上进行的，再次体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用。教材从生活实例出发，引出平面镶嵌的概念，探究了三个问题：一是一种正多边形的镶嵌问题，通过动手实验、观察、分析，发现正三角形、正方形和正六边形能镶嵌；二是几种正多边形的镶嵌问题，探究正多边形平面镶嵌的原理；三是探究任意多边形的平面镶嵌。本课的学习，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，加深对相关知识的理解，提高思维能力。
二、学情分析
八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对镶嵌的内在规律关注不够，因而教师在教学本节时应通过创设情境、组织学生动手操作，让学生在活动中共同探究从而加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
三、教学目标
（一）掌握正多边形平面镶嵌的条件；
（二）探究任意多边形平面镶嵌的条件；
（三）通过探究正多边形镶嵌条件的过程，训练学生的合情推理能力；
（四）通过平面图形的镶嵌活动，培养学生的创新精神和运用数学知识解决实际问题的能力。
四、教学重难点
教学重点：
（一）掌握正多边形平面镶嵌的条件；
（二）探究一种正多边形、几种正多边形的镶嵌问题。
教学难点：探究正多边形平面镶嵌的条件。
五、教学实录
（一）观察生活，引出概念
師：入冬后天气转凉，小红想网购一床被子，她对这样由多边形图案拼接而成的衍缝被情有独钟。请大家和我一起欣赏这些被子上的多边形图案。（课件播放衍缝被的图片，并运用放大镜功能依次展示每床被子上的多边形图案，图略）
师：这床被子上的图案分别是由什么多边形拼接而成的？
生：菱形、正六边形、正方形、三角形。
师：在网购的过程中，小红发现商店里还有制作衍缝被的材料包出售，心灵手巧的小红想尝试自己缝制被子。请大家思考，布块的拼接会有什么要求呢？如果小红按照第一种拼接方式缝制被子可以吗？为什么？（出示图1、图2、图3）
生：不可以，有缝隙。
师：没错，按照这样的方式拼接布块，缝制出来的被子一定是漏风的。那第二种呢？
生2：也不可以，布块之间有重叠，缝制出来的被子不平整。
师：很好，那最后一种呢？
生：可以，既不重叠也无空隙。
师：没错，缝制一床既平整又暖和的被子，应该用第三种方式拼接布块。在数学中，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌。
【设计意图】
建构主义学习观认为，数学学习内容应通过情境的方式呈现，更贴近学生实际生活的情境能激发学生走进数学的兴趣和信心。教师创设情境时要紧紧围绕教学目标，而且要具体、有新意、对学生有启发。在引入环节，笔者用“缝被面”的情境大胆而巧妙地替换了教材中的“铺地砖”情境，既遵循了新课标中“数学源于生活”的理念，又能激发学生的学习兴趣。这一实例更易于学生理解有缝和有褶皱两个概念，为下一步的学习铺垫。
（二）分类探究，发现规律
师：小红非常想用正五边形缝制一床被子，但是一直买不到材料，到底什么样的多边形能够镶嵌呢？请你利用正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片，小组合作探究哪一种正多边形可以单独进行平面镶嵌。
（教师给予学生充足的时间合作探究，关注每个小组的合作探究成果，拍照记录）
师：相信大家经过探究都已经有所发现，现在请小组代表回答，正三角形、正方形、正五边形、正六边形哪一种正多边形可以单独进行平面镶嵌。
生：正三角形、正方形、正六边形可以，正五边形不可以。
师：非常好，我相信其他小组也是得到一样的结论。老师收集了各个小组的作品，让我们一起来欣赏。
（教师利用手机拍照上传的功能，向学生展示各个小组的作品）
师：现在请大家思考为什么单独用正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成平面图案，而正五边形不能镶嵌成平面图案？
生：因为正三角形、正方形、正六边形可以拼接成既不重合又无空隙的图案，正五边形拼接的图案有空隙。
师：那要想多边形拼接在一起既无空隙又无重叠，必须满足什么条件呢？
生：在角的交点处，所有角之和等于360°。
师：这么重要的结论都被你发现了，真棒！我们把角的交点处叫做拼接点。由此我们得到了单独一种正多边形可以进行平面镶嵌的条件是，拼接点处的所有角之和为360°。
【设计意图】
笔者通过分组探究将难点分解，让学生在活动过程中自主探究出结果，增强学习数学的兴趣及信心；通过自主拼图，学生进一步形成对一种正多边形平面镶嵌的整体认识；通过师生共同总结规律，学生对平面镶嵌的认识从感性上升到理性的高度。
（三）开放探索，运用结论 师：小红觉得单独一种正多边形的镶嵌还不够漂亮，请小组合作，设计出几种图形组合镶嵌的图案。
（教师给予学生充足的时间设计图案，关注每个小组的合作探究成果，拍照记录）
师：好的，时间到，现在我们来欣赏由各个小组设计的图案。
（教师依次展示学生的作品，并给予表扬）
师：大家看，这名同学设计的图案是一个爱心，十分漂亮，下面我们请他给我们分享，他通过图案设计，发现哪些正多边形可以组合在一起镶嵌成一个图案。
生1：我是用正六边形和正三角形镶嵌成这个爱心图案的。
师：你用了几个正六边形、几个正三角形进行镶嵌？
生1：我用了两个正三角形和两个正六边形进行镶嵌。
师：为什么两个正三角形和两个正六边形可以镶嵌成一个平面图形呢？
生1：因为一个正三角形内角是60°，一个正六边形内角为120°，在拼接点处包含两个三角形的内角和两个正六边形的内角。60°×2+120°×2=360°。
师：你回答问题思路清晰，回答得真精彩！接下来我们看看这幅图案设计，这个小组的同学运用了三种图形进行镶嵌，他们尽可能用到了所有可以进行平面镶嵌的多边形设计图案，非常有创意。在同一个图案中既包含两种正多边形的镶嵌，也包括三种正多边形的镶嵌。那么你们有没有想过，为什么这些正多边形可以进行平面镶嵌？
生2：我們在拼图的过程中，就有意识地计算，看一下哪些多边形的内角组合在一起可以得到360°。
师：非常棒！你通过探究1后能够将探究1的结论运用到探究2之中。通过探究2，大家认为几种图形可以组合在一起镶嵌需要满足什么条件？
生：在拼接点处所有角之和为360°。
师：非常好，由此我们发现，无论是单独一种正多边形进行平面镶嵌，还是几种正多边形组合在一起镶嵌，需要满足的条件都是在拼接点处所有内角之和为360°。
师：现在让我们学以致用，请问正方形和正八边形能否镶嵌？为什么？
生3：可以，正方形的一个内角为90°，正八边形的一个内角是135°，135°×2+90°=360°，所以用两个正八边形和一个正方形就可以镶嵌成一个平面图案了。
师：回答得非常好！当我们发现规律之后，就不需要通过拼图的方式判断一种正多边形或几种正多边形组合在一起能否镶嵌成一个平面图案了，只需要运用结论即可。
【设计意图】
从探究1到探究2是一个从简单到复杂的过程，这一个从简到繁的过渡符合学生的认知规律。我国教育家刘佛年指出：“只要有点新思想、新观念、新设计、新意图、新方法，就称得上创造。”在探究2的教学中，笔者通过让学生设计平面镶嵌图案，使学生在设计过程中观察、发现几种正多边形可以平面镶嵌的规律，最终学生发现将探究1的结论迁移至探究2也是可行的。学生设计出各种各样的图案，激发了自身的创造性思维。
（四）深入研究，提升思维
师：通过探究1和探究2，我们已经成功地得出正多边形可以进行平面镶嵌的条件，那么单独一种任意多边形能否进行平面镶嵌呢？让我们从最简单的任意三角形开始探究，比一比哪个小组最快得出结论。
（学生探究，教师表扬较快得出结论的小组）
师：经过两分钟的探究，基本上所有的小组都可以得出结论，这是每个小组的拼图成果。（教师利用手机同屏展示各小组作品）下面请小组代表给我们分享他们小组得出的结论。
生1：经过探究，我们小组认为任意三角形可以镶嵌成平面图案，这是我们小组镶嵌的图案。
师：你们小组用了几个三角形进行镶嵌？你可以告诉我们这几个三角形应该如何摆放，才可以镶嵌成平面图案吗？
生1：我们小组用了六个任意三角形进行镶嵌。我们原来的思路是量出所有三角形每个内角的度数，但是我们发现量内角的工作量太大，后来我们想到三角形的内角和为180°，而且这些任意三角形都是全等的，因此只要在拼接点处让三个三角形的不同内角拼在同一个点处，一定能得到180°，两组这样的拼接，就可以使在拼接点处所有角之和为360°。
师：你的分析太精彩了，不仅给我们分享了你们小组曲折的探索过程，还将为什么任意三角形可以镶嵌成一个平面图形解释得非常清楚。从这个小组的分析我们可以看出，探究任意三角形镶嵌的过程与三角形内角和为180°息息相关，可见知识间是相互联系的。
师：任意三角形可以进行平面镶嵌，那么任意四边形可以吗？
生：可以。
师：说可以镶嵌的同学，你能告诉我们要用到几个四边形进行镶嵌吗？怎样摆放四边形呢？
生2：运用四个四边形进行镶嵌，让四边形中不同的内角拼在同一个点处。
师：原因是什么呢？
生2：四边形的内角和为360°。
师：你们真是太有智慧了。
师：小红觉得还是有些遗憾，因为她本来是想用五边形作为基础图案缝制被子，现在大家探究的结果是正五边形不能够进行平面镶嵌，那么请问是否有一些特殊的五边形可以进行平面镶嵌呢？
生：应该有吧。
师：确实是有的。2015年，美国华盛顿大学研究人员发现了一种不规则的“完美五边形”，它的五个内角分别为60°、90°、105°、135°和150°。这样的五边形可以跟其他一模一样的五边形拼接起来。迄今，人们总共发现15个这样的“完美五边形”。在数学界，发现这种不规则五边形，无异于发现一种新型粒子。更多的超级五边形、超级六边形、超级n边形等着你发现！
【设计意图】
探究3的教学是体现本节课思维深度的一个环节，使整节课的研究由正多边形引向任意多边形，渗透了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想。在教学过程中，笔者不再给予学生充分的时间，而是以小组比赛的形式，让学生在短时间内专注思考。实际教学中，有几个小组能在1分钟之内发现规律，并能够向大家分享本小组在探究过程中，调整方案、得出结论的过程，教学节奏紧凑而有效，教学效果较好。教师通过“完美五边形”这一知识延伸，拓展学生的视野，激发学生探究兴趣。 （五）梳理脉络，提升方法
师：本节课我们主要研究了平面镶嵌的哪些知识点？
生：平面镶嵌的定义、多边形可以镶嵌的条件。
师：是的，本节课我们从形的角度学习了平面镶嵌的定义，又从数的角度探究了多边形可以镶嵌的条件。我们研究平面镶嵌所需要的条件经历了怎样的过程？
生：缝被子。
师：没错，我们首先将缝被子这个实际问题转化成数学问题。接下来，我们是怎样解决这个数学问题的呢？
生：做实验。
师：是的，那我们做了几个实验？
生：三个，我们先探究单独一种正多边形的镶嵌，接着探究几种正多边形组合的镶嵌，最后还探究了任意三角形的镶嵌。
师：很好，那我们进行了实验之后是怎样得出结论的呢？
生：我们观察可以镶嵌的几个正多边形的共性，发现只要在拼接点处所有角之和为360°即可。
师：真棒，我们经历了这样的学习过程（出示图4），我们在今后学习几何知识时，经常会经历这样的过程。
图4
【设计意图】
建构主义基于学生的心理发展认为，学习是通过意义建构来获取知识和经验的过程，在学生原有的知识结构和经验下，通过适当的指导和学习总结，使知识内化到原有的认知结构中。在课堂小结的过程中，笔者引导学生回忆整节课的主线：每个环节是如何开展的？如何解决问题？学习了什么知识点？通过梳理脉络，提出学习几何的一般过程。学生在自主回顾、总结的基础上，形成知识再现，构建完整的知识结构体系，最终实现“问题知识化”的目的。
（六）课后延伸，拓宽视线
师：下面请同学们欣赏几张图片。
師：这些图片蕴含着平面镶嵌的元素，但是我们的基本图形不再是多边形，而是各种各样的图案。这些图片其实大有来头，它们是埃舍尔镶嵌图形，一种基于数学原理的图形绘画方式，由荷兰的数学家埃舍尔创作。埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
师：最后，请大家观察足球的图片，你发现了什么？
生：我发现了镶嵌。
师：你发现了什么图形的镶嵌？
生：正五边形和正六边形的镶嵌。
师：大家不是告诉我，正五边形没办法和其他图形进行平面镶嵌吗？
（学生沉思）
师：足球外表的图案是由正五边形和正六边形镶嵌而成的，正五边形和正六边形在平面上无法进行镶嵌，但是可以进行空间镶嵌。感兴趣的同学课后可以继续研究空间里的镶嵌。
【设计意图】
新课标指出，教师要利用拓展延伸，鼓励学生读一些数学课本以外的科普读物、数学网站上的阅读思考活动等，以引起学生思想共鸣和模仿实践，提高他们学习数学的兴趣，激发他们的求知欲。在本环节的教学中，学生通过欣赏埃舍尔的镶嵌图片，感受数学的应用价值，感受利用数学知识创造的艺术品的神奇美妙。通过观察足球的外观，学生的思维从平面镶嵌延伸至空间镶嵌，学生的思维得到拓宽，将课堂中数学的探究余热延至课后，在教学中，学生大开眼界，并表现出进一步探究空间镶嵌的欲望。
六、教学反思
本节课教学目标明确，从整体来看，本节课重点突出，难点得以突破，教法得当，课堂气氛活跃，学生参与面广，思维得到激发，教学效果明显。
从细节方面来看，在引入环节，笔者用“缝被面”的情境大胆而巧妙地替换了教材中的“铺地砖”情境，符合新课标中“数学源于生活”的理念，让学生更容易理解有缝和有褶皱，为下一步学习定义铺垫。在探究环节，笔者将课本中的探究问题进行了整合，给学生极大的探究空间。
整节课主线明确，具有浓厚探究气息。本节课的明线是以小红“缝被面”的情节发展推动探究进程，暗线是探究多边形镶嵌的条件。根据情节的发展，笔者引领学生探究了一个正多边形镶嵌应满足的条件，两组及两组以上的正多边形镶嵌需要满足的条件，任意多边形可以平面镶嵌的条件。学生通过探究，收获知识，属于“真探究”。学生在“玩”中掌握知识，真正实现了“快乐学习”。
本节课不仅能激发学生课堂上的探究兴趣，更将学生的探究热情延至课后，笔者通过让学生欣赏埃舍尔镶嵌图片，使学生感受数学的应用价值，感受利用数学知识创造的艺术品的神奇美妙。通过观察足球的外观，学生的思维从平面镶嵌延伸至空间镶嵌。
本节课上完后，虽然效果不错，但还有一些地方需要改进。
首先，对于课堂上学生的一些亮点作品，笔者未能有效利用。其次，学生虽然在辨析研讨的过程中，彻底明白镶嵌的特征及条件，但毕竟练习量不够，还缺少一些必要的练习巩固。
总之，一节好课的产生，需要我们把更多的时间、精力投入到“精心设计”，还给学生足够的思考时间和独特的体验空间，让学生思维得到提升！
【评析】
一、从教学设计看本节课的三大亮点
（一）巧妙引入，学生乐在开头
本节课从一件生活小事——小红想亲自缝制被子说起，由被子的拼接引入课题，体现了课标中数学源于生活的理念，增强了学生学习新知识的兴趣，使学生产生好学之乐。
（二）巧妙设计数学活动，学生乐在其中
《平面镶嵌》整节课以生活例子“缝被面”为主线，引领学生经历：观察生活（缝被面）；提出问题（为什么正五边形不能平面镶嵌）；化归为数学问题（平面镶嵌）；合作探究分类思考，寻找共性（镶嵌的条件）；解释应用（正五边形不能缝被面）；拓展（特殊的五边形可以缝被面）；提升（美丽的图案源于数学）。这一连贯的设计既遵循课标中“数学源于生活，高于生活，指导生活”的理念，又符合学生的认知规律。学生在玩的过程中享受思考的乐趣，课堂如行云流水，让大家享用了一顿精美而务实的数学大餐。
（三）方法总结，学生乐在其后
龙老师主要通过两个问题引导学生总结方法。
1.本节课我们主要研究了平面镶嵌的哪些知识点？
（从形的角度学习了平面镶嵌的定义，又从数的角度探究了多边形可以镶嵌的条件）
2.本节课我们研究平面镶嵌所需要的条件经历了怎样的过程？
教师最后指出，在今后研究几何图形时，常常会经历这样一个过程，为学生以后的学习铺垫。
二、从总体分析，课堂实现了“三有”
从学生的视角看课堂——有趣。学生学得轻松、愉快、有趣，活而不乱，充满智慧。
从教师的视角看课堂——有味。教学体现个性和特色，充满智慧和灵动，教师课前精心设计，课堂精彩展示，学生学得“津津有味”，教师教得“激情飞扬”，高效有味。
从管理者的视角看课堂——有效。学生通过课堂学习，在知识、能力、情感态度价值观等方面有所收获；教师通过课堂教学完成了教学内容，达到了教学目标，体现了学科特色。听课者通过课堂听课，有所思考，有所启迪。
三、教学建议
“课堂教学是一门遗憾的艺术”，龙老师很年轻，对于课堂生成的教学资源，还没有能够充分利用。例如课堂上龙老师收集到了某学习小组的一幅将所有教师提供的正多边形进行镶嵌的组合图形，这是非常好的教学资源，如果继续深入探究将掀起课堂的高潮，但龙老师没有把握好机会，她没有展示这一组合图形并让学生找出所有镶嵌的情况，而是选择了两组简单的图形进行讨论，而这两组图形的镶嵌方式又是一样的，显得有些重复而深度不够。
虽然小有遗憾，但这节课依然是“乐教”与“乐学”和谐共振的好课！（秦健）
（责编 刘小瑗）