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向量数量积在高中数学学习阶段非常重要，它是沟通代数和几何的有力工具之一，普通高等学校招生全国统一考试江苏卷考试说明中一直是C级要求.笔者在平时的教学中总结了以下一些典型例题，供大家参考.
一、构造数量积解决代数、几何问题
1.解决代数问题
例1 已知a,b,c,x,y,z∈R，a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=0，则a+b+cx+y+z的值为.
分析 构造向量p=(a,b,c)，q=(x,y,z)，
p=5，q=6，且p•q=30=|p|•|q|，
∴设p=λq，则λ=|p||q|=56，
∴a=56x，b=56y，c=56z，∴a+b+cx+y+z=56.
2.解决三角形的综合问题
例2 设三角形三边长为a，b，c且a+b+c=2p.
求证：p-a+p-b+p-c≤3p.
分析 利用m•n=|m|•|n|cosα≤|m|•|n|，
设m=(p-a，p-b，p-c)，n=(1,1,1)，则
p-a+p-b+p-c
=m•n≤|m|•|n|
=(p-a)+(p-b)+(p-c)•12+12+12
=3p.
例3 如图，ABCD中，AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC=35，AB•AC=120.
（1）求cos∠BAD.
（2）设AC=xAB+yAD，求x,y的值.
分析 （1）cos∠BAD=1665.（求解略）
（2）∵AC=xAB+yAD，
∴AC•AB=xAB2+yAD•AB，
AC•AD=xAB•AD+yAD2.
可构造关于x,y的二元一次方程组，
从而解得x=4063，y=5063.
另附两种解法：坐标法和利用向量的线性运算解决.
建立如图所示的坐标系，A(0,0)，B(13,0)，C12013，5013,利用向量的坐标运算构造x,y的方程组，解得x=4063，y=5063.
过C点作CD∥AB，CF∥AD，由向量加法的平行四边形法则，得AC=AE+AF.通过解△CEA，求得AE=25063.同理AF=52063，则
x=AFAB=4063，y=AEAD=5063.
3.解决解析几何问题
例4 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1,0)，若l1与圆C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M.又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
分析 此题若分别计算出M,N两点的坐标，利用两点间距离公式求化简求值，计算量很大，若借助于向量的数量积和圆的几何性质就简单很多了.
∵AM•AN=-AM•AN=-(AC+CM)•AN
=-AC•AN-CM•AN=-AC•AN，
由题可知l1的斜率k存在，设直线方程为y=k(x-1).
由y=k(x-1),x+2y+2=0,解得N2k-22k+1，-3k2k+1.
∵A(1,0)，C(3,4)，
∴AC=(2,4)，AN=-32k+1，-3k2k+1.
∴AC•AN=-6-12k2k+1=-6，∴AM•AN=6.
4.解决与角有关的问题
例5 椭圆x29+y24=1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是.
分析 设点P坐标为（xp,yp），则y2p=4-49x2p，
焦点F1，F2的坐标为F1（-5，0），F2（5，0），
于是PF1=(-5-xp,-yp)，PF2=(5-xp,-yp).
∵∠F1PF2为钝角，∴PF1•PF2<0，
即(-5-xp)(5-xp)+(-yp)(-yp)<0.
∴x2p+y2p-5<0，从而x2p+4-49x2p-5<0.
∴-35 因此，点P的横坐标的取值范围是-35，35.
例6 已知点A（1，2），过点D（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，试判断△ABC的形状.
分析 设B，C的坐标分别为(t2,2t)，(s2,2s)，s≠t，s≠1，t≠1.
由B，C，D共线，得DB∥DC.
∴(t2-5)(2s+2)-(s2-5)(2t+2)=0，
化简，得ts+t+s+5=0，即(s+1)(t+1)=-4.
又 AB•AC
=(t2-1,2t-2)•(s2-1,2s-2)
=(t2-1)(s2-1)+(2t-2)(2s-2)
=(t-1)(s-1)［(s+1)(t+1)+4］=0，
∴AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形.
例7 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，M，N为椭圆右准线上的两个动点，且F1M•F2N=0，设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系？
分析 若求出圆C的方程，然后再判断原点O与圆C的关系计算量较大，若借助于数量积，会减少计算量.若原点O在以MN为直径的圆上，则OM•ON=0；若原点O在以MN为直径的圆外，则OM•ON>0；若原点O在以MN为直径的圆内，则OM•ON<0.
由题可知：F1(-c,0)，F2(c,0),准线方程为x=a2c.
设Ma2c，y1，Na2c，y2，
F1M=a2c+c，y1，F2M=a2c-c，y2，
∴a4c2-c2+y1•y2=0.
∵OM•ON=a4c2+y1y2=c2>0，
∴原点O在以MN为直径的圆外.
二、研究数量积的最值的方法
最值的求解与变量的合理选择分不开，数量积的展开方式有以下三种常用方式，巧妙地选择展开方式对变量的选择非常有利.
1.利用a•b=|a||b|cosθ展开后再决定变量
例8 （2010年全国卷1文数）已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么PA•PB的最小值为.
分析 设∠APO=α，则
∠APB=2α，PA•PB=|PA|•|PB|cos2α.
方法一 以边PA为自变量，设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α，PO=1+x2，sinα=11+x2，
PA•PB=|PA|•|PB|cos2α=x2(1-2sin2α)
=x2(x2-1)x2+1=x4-x2x2+1，
令PA•PB=y，则y=x4-x2x2+1，
即x4-(1+y)x2-y=0.
由x2是实数，
∴Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0，y2+6y+1≥0，
解得y≤-3-22或y≥-3+22.
故(PA•PB）min=-3+22.此时x=2-1.
方法二 以∠APO=α为自变量，则AP=1tanα，
∴PA•PB=1tan2αcos2α=cos2αsin2α(1-2sin2α).
设sin2α=x，则
PA•PB=(1-x)(1-2x)x=2x+1x-3≥22-3.
2.利用向量数量积的坐标表示而后再决定变量
例9 方法三，建系：圆的方程为x2+y2=1，
设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0)，
PA•PB=(x1-x0,y1)•(x1-x0,-y1)=x21-2x1x0+x20-y21，
AO⊥PA(x1,y1)•(x1-x0,y1)=0x21-x1x0+y21=0x1x0=1，
PA•PB=x21-2x1x0+x20-y21=x21-2+x20-(1-x21)=2x21+x20-3≥22-3.
3.利用向量的线性运算向其他向量转移而后再决定变量
例10 已知椭圆C1：x225+y216=1，圆C2：x2+(y-2)2=1，P为椭圆上的任意一点，MN为圆C2的一条直径，求PM•PN的取值范围？
分析 若此题一上来就选择a•b=|a||b|cosθ展开，或设坐标，计算量较大或关系更复杂，如果能结合向量的线性运算来一个转化，变量会很清晰.
∵PM=PC2+C2M，PN=PC2+C2N，C2M=-C2N，且|C2M|=1，
∴PM•PN
=(PC2+C2M)•(PC2+C2N)
=PC22+PC2•C2N+PC2•C2M+C2M•C2N
=PC22+C2M•C2N=PC2-1.
此题的变量也就是PC2.
设P(x,y)，且x225+y216=1，C2(0,2)，
则PC22-1
=x2+(y-2)2-1=-916y+3292+3169(-4≤y≤4)，
∴3≤PC22-1≤3169.
总之，我们要善于将知识点作横向和纵向的对比和挖掘，如向量的数量积有模、角的表达形式，有坐标表达，在不同的情境下选择合适表达会给解题带来帮助.还要善于对公式的特点进行研究，有时看似无关的问题，借助于向量数量积这个有力的工具问题就会变得简单.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、构造数量积解决代数、几何问题
1.解决代数问题
例1 已知a,b,c,x,y,z∈R，a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=0，则a+b+cx+y+z的值为.
分析 构造向量p=(a,b,c)，q=(x,y,z)，
p=5，q=6，且p•q=30=|p|•|q|，
∴设p=λq，则λ=|p||q|=56，
∴a=56x，b=56y，c=56z，∴a+b+cx+y+z=56.
2.解决三角形的综合问题
例2 设三角形三边长为a，b，c且a+b+c=2p.
求证：p-a+p-b+p-c≤3p.
分析 利用m•n=|m|•|n|cosα≤|m|•|n|，
设m=(p-a，p-b，p-c)，n=(1,1,1)，则
p-a+p-b+p-c
=m•n≤|m|•|n|
=(p-a)+(p-b)+(p-c)•12+12+12
=3p.
例3 如图，ABCD中，AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC=35，AB•AC=120.
（1）求cos∠BAD.
（2）设AC=xAB+yAD，求x,y的值.
分析 （1）cos∠BAD=1665.（求解略）
（2）∵AC=xAB+yAD，
∴AC•AB=xAB2+yAD•AB，
AC•AD=xAB•AD+yAD2.
可构造关于x,y的二元一次方程组，
从而解得x=4063，y=5063.
另附两种解法：坐标法和利用向量的线性运算解决.
建立如图所示的坐标系，A(0,0)，B(13,0)，C12013，5013,利用向量的坐标运算构造x,y的方程组，解得x=4063，y=5063.
过C点作CD∥AB，CF∥AD，由向量加法的平行四边形法则，得AC=AE+AF.通过解△CEA，求得AE=25063.同理AF=52063，则
x=AFAB=4063，y=AEAD=5063.
3.解决解析几何问题
例4 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1,0)，若l1与圆C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M.又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
分析 此题若分别计算出M,N两点的坐标，利用两点间距离公式求化简求值，计算量很大，若借助于向量的数量积和圆的几何性质就简单很多了.
∵AM•AN=-AM•AN=-(AC+CM)•AN
=-AC•AN-CM•AN=-AC•AN，
由题可知l1的斜率k存在，设直线方程为y=k(x-1).
由y=k(x-1),x+2y+2=0,解得N2k-22k+1，-3k2k+1.
∵A(1,0)，C(3,4)，
∴AC=(2,4)，AN=-32k+1，-3k2k+1.
∴AC•AN=-6-12k2k+1=-6，∴AM•AN=6.
4.解决与角有关的问题
例5 椭圆x29+y24=1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是.
分析 设点P坐标为（xp,yp），则y2p=4-49x2p，
焦点F1，F2的坐标为F1（-5，0），F2（5，0），
于是PF1=(-5-xp,-yp)，PF2=(5-xp,-yp).
∵∠F1PF2为钝角，∴PF1•PF2<0，
即(-5-xp)(5-xp)+(-yp)(-yp)<0.
∴x2p+y2p-5<0，从而x2p+4-49x2p-5<0.
∴-35
例6 已知点A（1，2），过点D（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，试判断△ABC的形状.
分析 设B，C的坐标分别为(t2,2t)，(s2,2s)，s≠t，s≠1，t≠1.
由B，C，D共线，得DB∥DC.
∴(t2-5)(2s+2)-(s2-5)(2t+2)=0，
化简，得ts+t+s+5=0，即(s+1)(t+1)=-4.
又 AB•AC
=(t2-1,2t-2)•(s2-1,2s-2)
=(t2-1)(s2-1)+(2t-2)(2s-2)
=(t-1)(s-1)［(s+1)(t+1)+4］=0，
∴AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形.
例7 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，M，N为椭圆右准线上的两个动点，且F1M•F2N=0，设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系？
分析 若求出圆C的方程，然后再判断原点O与圆C的关系计算量较大，若借助于数量积，会减少计算量.若原点O在以MN为直径的圆上，则OM•ON=0；若原点O在以MN为直径的圆外，则OM•ON>0；若原点O在以MN为直径的圆内，则OM•ON<0.
由题可知：F1(-c,0)，F2(c,0),准线方程为x=a2c.
设Ma2c，y1，Na2c，y2，
F1M=a2c+c，y1，F2M=a2c-c，y2，
∴a4c2-c2+y1•y2=0.
∵OM•ON=a4c2+y1y2=c2>0，
∴原点O在以MN为直径的圆外.
二、研究数量积的最值的方法
最值的求解与变量的合理选择分不开，数量积的展开方式有以下三种常用方式，巧妙地选择展开方式对变量的选择非常有利.
1.利用a•b=|a||b|cosθ展开后再决定变量
例8 （2010年全国卷1文数）已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么PA•PB的最小值为.
分析 设∠APO=α，则
∠APB=2α，PA•PB=|PA|•|PB|cos2α.
方法一 以边PA为自变量，设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α，PO=1+x2，sinα=11+x2，
PA•PB=|PA|•|PB|cos2α=x2(1-2sin2α)
=x2(x2-1)x2+1=x4-x2x2+1，
令PA•PB=y，则y=x4-x2x2+1，
即x4-(1+y)x2-y=0.
由x2是实数，
∴Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0，y2+6y+1≥0，
解得y≤-3-22或y≥-3+22.
故(PA•PB）min=-3+22.此时x=2-1.
方法二 以∠APO=α为自变量，则AP=1tanα，
∴PA•PB=1tan2αcos2α=cos2αsin2α(1-2sin2α).
设sin2α=x，则
PA•PB=(1-x)(1-2x)x=2x+1x-3≥22-3.
2.利用向量数量积的坐标表示而后再决定变量
例9 方法三，建系：圆的方程为x2+y2=1，
设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0)，
PA•PB=(x1-x0,y1)•(x1-x0,-y1)=x21-2x1x0+x20-y21，
AO⊥PA(x1,y1)•(x1-x0,y1)=0x21-x1x0+y21=0x1x0=1，
PA•PB=x21-2x1x0+x20-y21=x21-2+x20-(1-x21)=2x21+x20-3≥22-3.
3.利用向量的线性运算向其他向量转移而后再决定变量
例10 已知椭圆C1：x225+y216=1，圆C2：x2+(y-2)2=1，P为椭圆上的任意一点，MN为圆C2的一条直径，求PM•PN的取值范围？
分析 若此题一上来就选择a•b=|a||b|cosθ展开，或设坐标，计算量较大或关系更复杂，如果能结合向量的线性运算来一个转化，变量会很清晰.
∵PM=PC2+C2M，PN=PC2+C2N，C2M=-C2N，且|C2M|=1，
∴PM•PN
=(PC2+C2M)•(PC2+C2N)
=PC22+PC2•C2N+PC2•C2M+C2M•C2N
=PC22+C2M•C2N=PC2-1.
此题的变量也就是PC2.
设P(x,y)，且x225+y216=1，C2(0,2)，
则PC22-1
=x2+(y-2)2-1=-916y+3292+3169(-4≤y≤4)，
∴3≤PC22-1≤3169.
总之，我们要善于将知识点作横向和纵向的对比和挖掘，如向量的数量积有模、角的表达形式，有坐标表达，在不同的情境下选择合适表达会给解题带来帮助.还要善于对公式的特点进行研究，有时看似无关的问题，借助于向量数量积这个有力的工具问题就会变得简单.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文