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【摘要】变式教学和变式训练对培养学生创造性思维，激发学生学习数学的兴趣，起到比较积极的作用.巧用变式教学是提高数学课堂教学实效性的重要手段之一.
【关键词】变式教学；变式训练；教学实效
在我们周围存在这样一种现象：学生花费很多的时间做了很多的数学题，可数学考试时，只要将讲过的例题或做过的题稍作变化，有些学生就会无从下手、不知所措.作为数学教师，我时常反思自己的教学行为.我觉得：出现这种情况应该从我们的教学方法和教育理念上找原因.比如有相当一部分数学教师认为：学习数学就要做大量的题目，练得多了就能达到“熟能生巧”.殊不知，大量的、重复的题目不仅使学生的思维僵化、机械化、无创造性，还会使学生对数学学科产生厌烦的心理，对数学彻底失去兴趣.众所周知，数学教学的最根本目的是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识以及创造性的逻辑思维方式；数学教学不能局限于课本，更重要的是让学生在学习中学会如何运用课本的知识能够“窥一斑知全貌”“举一例能反三”.因此，数学教学应注重数学变式教学和变式训练.它将切实减轻学生的过重的学业负担，在提高教学效率上起到事半功倍的效果.
那么，什么是变式教学和变式训练呢？又如何在日常数学教学中培养学生的数学变式能力从而达到提高数学课堂教学的实效？下面我就结合本人多年来的教学实际谈谈个人肤浅的看法.
一、什么叫变式教学和变式训练
所谓数学变式教学和变式训练，是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变.利用变式教学和变式训练，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，构建有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律.
二、变式教学和变式训练的价值认识
1.优化学生的思维素质
（1）培养学生的思维发散性.变式教学和变式训练使学生不只看到事物的表象，而能自觉地探索事物的本质，学会比较全面地看待问题，学会从事物之间的联系上理解事物的本质，能在一定程度上克服和减少由于绝对化思维而出现的思维僵化、思维惰性，使思维向多方面发展，培养思维的发散性.
（2）培养学生的思维广阔性.反复进行问题演变的训练，可以帮助学生克服思维狭窄性.教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重点和难点，精心设计有层次、有梯度、要求明确、题型多变的练习题；通过训练学生不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到发展；通过多次渐进式的拓展训练，学生就能进入思维广阔的佳境.现形新课标指导下的各地新教材都设有“想一想”栏目，这就是把教材中的例题进行演变的内容，目的就是培养学生思维的广阔性.
（3）培养学生的思维批判性.数学中有许多概念、法则、公式、定理和方法，因内容相近致使学生在学习中发生混淆.演变、辨析、对比，就是对某一问题给出有正误的答案，让学生辨别哪个正确，哪个错误，并说出根据，这样的“变式数学”能促进学生把握问题的实质，使学生客观地评价事物，提高辨别是非的能力，培养思维的批判性.
（4）培养学生的思维创造性.衡量学生思维水平的重要标准是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人未曾发现或未解决的问题，要培养这种可贵的品质，学生必须有可供发现的有价值的材料，但教材在这方面往往不可避免地存在欠缺，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师来弥补这个不足.为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出规律的材料，去引导学生发现，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养学生思维的创造性.
2.培养学习兴趣，提高教学效率
课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与度，这就要求学生要有参与意识，加强学生在课堂教学中的参与性，使学生真正成为课堂的主体，是现代数学教学的趋势.变式教学可以暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系.通过变式教学，能增加学生的新奇感和参与度，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与教学活动的兴趣和热情，取得较好的教学效果.
三、培养学生数学变式能力的方法
著名数学教育家波利亚说过：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”教师教育学生的是培养学生解决问题的能力、学习新事物的能力，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论的能力.
1.重视基础，适时变通
数学基础知识、基本概念是解决数学问题，并产生新问题的起点.一般情况下，要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程；从学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对结论进行论证.
例1 求证：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.
变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形.
变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形.
变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形.
变式4 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到矩形？
变式5 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到菱形？
变式6 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到正方形？
……
通过这样一系列的变式训练，使学生充分掌握了“四边形”这一章节的所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓宽了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣.
2.创新思维，发展能力
丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，要想知识和能力同时协调发展，教师在教学中既要使学生掌握知识，又要使学生把握知识形成过程，从中吸取丰富的智力营养，尽量让学生体会到蕴藏在数学问题中的“生命”价值.具体地说，在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、多方位地去思考问题、寻求答案的优良品质，其基本特征是：流畅性、变通性、独创性.
例2 已知：如图1所示，△ABC的∠B和∠C的平分线BE，CF相交于点O.求证：∠BOC＝90°＋12∠A.
证明 ∵BE平分∠ABC，∴可设∠ABE=∠EBC=x，同理设∠ACF=∠FCB=y.
可得2x+2y+∠A=180°,
x+y+∠BOC=180°,
∴∠BOC=90°+12∠A.
变式1 将∠BOC变为三角形两条外角平分线相交而成的角，探求∠BOC与∠A的关系.已知：如图2所示，△ABC的两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线相交于点O.求证：∠BOC=90°-12∠A.
证明 ∵BO平分∠CBD，
CO平分∠BCE，
∴可设∠DBO=∠OBC=x，
∠BCO=∠OCE=y.
则x+y+∠BOC=180°,
(180°-2x)+(180°-2y)+∠A=180°,
易得∠BOC=90°-12∠A.
变式2 将∠BOC变为三角形一条外角平分线与一条内角平分线相交而成的角，探求∠BOC与∠A的关系.
已知：如图3所示，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD.求证：∠BOC=12∠A.
证明 ∵BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，
∴设∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCD=y.
则x+∠BOC=y,
2x+∠A=2y,易得∠BOC=12∠A.
变式3 将三角形两条角平分线的交点O变为三角形两边的中垂线的交点，探求∠BOC与∠A的关系.
已知：如图4所示，O为△ABC内一点，且OA=BO=OC.求证：∠BOC＝2∠BAC.
证明 ∵OA=OB，
∴可设∠OAB=OBA=x.
同理，可设∠OBC=∠OCB=y，∠OCA=∠OAC=z，有
2y+∠BOC=180°，
2x+2y+2z=180°，易得∠BOC＝2∠BAC.
如此，对于教材中许多重要的例题、习题进行类比、引申、推广，提出新问题并加以解决，从而引发学生积极思考，不但发挥了教材的示范作用，更能培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性.
3.掌握规律，提高技能
数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求高，但仍有一定的方法、技巧可循.如何引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解、解中求变呢?
例3 （全国初中数学竞赛题）设实数s和t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求st+4s+1t的值.
解 显然t≠0，把t2+99t+19=0的两边同除以t2，
得191t2+99×1t+1=0.
而19s2+99s+1=0，且st≠1，
∴s和1t是二次方程19x2+99x+1=0的两根.
∴s+1t=-9919，s×1t=119，
∴st+4s+1t=s+1t+4×st=-9919+119=-5.
变式1 （全国初中竞赛题）如果s,t是质数，且s2-13s+m=0，t2-13t+m=0，那么求st+ts的值.
解 当s=t时，st+ts=2；
当s≠t时，s和t是方程x2-13x+m=0的根，∴s+t=13.
又 ∵s,t是质数，∴s,t的值只可能是2和11，
∴st+ts=112+211=12522，∴st+ts的值为2和12522.
变式2 已知α,β是方程x2+2002x+1=0的两个根，求(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)的值.
解 由题意可知α2+2002α+1=0，β2+2002β+1=0，
∴(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)=2α•2β=4αβ=4.
【参考文献】
［1］薛金星.中学教材全解（七年级数学•下）华东师大版.陕西人民教育出版社.
［2］历届全国初中数学竞赛试题精选.
【关键词】变式教学；变式训练；教学实效
在我们周围存在这样一种现象：学生花费很多的时间做了很多的数学题，可数学考试时，只要将讲过的例题或做过的题稍作变化，有些学生就会无从下手、不知所措.作为数学教师，我时常反思自己的教学行为.我觉得：出现这种情况应该从我们的教学方法和教育理念上找原因.比如有相当一部分数学教师认为：学习数学就要做大量的题目，练得多了就能达到“熟能生巧”.殊不知，大量的、重复的题目不仅使学生的思维僵化、机械化、无创造性，还会使学生对数学学科产生厌烦的心理，对数学彻底失去兴趣.众所周知，数学教学的最根本目的是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识以及创造性的逻辑思维方式；数学教学不能局限于课本，更重要的是让学生在学习中学会如何运用课本的知识能够“窥一斑知全貌”“举一例能反三”.因此，数学教学应注重数学变式教学和变式训练.它将切实减轻学生的过重的学业负担，在提高教学效率上起到事半功倍的效果.
那么，什么是变式教学和变式训练呢？又如何在日常数学教学中培养学生的数学变式能力从而达到提高数学课堂教学的实效？下面我就结合本人多年来的教学实际谈谈个人肤浅的看法.
一、什么叫变式教学和变式训练
所谓数学变式教学和变式训练，是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变.利用变式教学和变式训练，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，构建有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律.
二、变式教学和变式训练的价值认识
1.优化学生的思维素质
（1）培养学生的思维发散性.变式教学和变式训练使学生不只看到事物的表象，而能自觉地探索事物的本质，学会比较全面地看待问题，学会从事物之间的联系上理解事物的本质，能在一定程度上克服和减少由于绝对化思维而出现的思维僵化、思维惰性，使思维向多方面发展，培养思维的发散性.
（2）培养学生的思维广阔性.反复进行问题演变的训练，可以帮助学生克服思维狭窄性.教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重点和难点，精心设计有层次、有梯度、要求明确、题型多变的练习题；通过训练学生不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到发展；通过多次渐进式的拓展训练，学生就能进入思维广阔的佳境.现形新课标指导下的各地新教材都设有“想一想”栏目，这就是把教材中的例题进行演变的内容，目的就是培养学生思维的广阔性.
（3）培养学生的思维批判性.数学中有许多概念、法则、公式、定理和方法，因内容相近致使学生在学习中发生混淆.演变、辨析、对比，就是对某一问题给出有正误的答案，让学生辨别哪个正确，哪个错误，并说出根据，这样的“变式数学”能促进学生把握问题的实质，使学生客观地评价事物，提高辨别是非的能力，培养思维的批判性.
（4）培养学生的思维创造性.衡量学生思维水平的重要标准是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人未曾发现或未解决的问题，要培养这种可贵的品质，学生必须有可供发现的有价值的材料，但教材在这方面往往不可避免地存在欠缺，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师来弥补这个不足.为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出规律的材料，去引导学生发现，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养学生思维的创造性.
2.培养学习兴趣，提高教学效率
课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与度，这就要求学生要有参与意识，加强学生在课堂教学中的参与性，使学生真正成为课堂的主体，是现代数学教学的趋势.变式教学可以暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系.通过变式教学，能增加学生的新奇感和参与度，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与教学活动的兴趣和热情，取得较好的教学效果.
三、培养学生数学变式能力的方法
著名数学教育家波利亚说过：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”教师教育学生的是培养学生解决问题的能力、学习新事物的能力，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论的能力.
1.重视基础，适时变通
数学基础知识、基本概念是解决数学问题，并产生新问题的起点.一般情况下，要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程；从学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对结论进行论证.
例1 求证：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.
变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形.
变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形.
变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形.
变式4 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到矩形？
变式5 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到菱形？
变式6 顺次连接对角线满足什么条件的四边形各边中点可以得到正方形？
……
通过这样一系列的变式训练，使学生充分掌握了“四边形”这一章节的所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓宽了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣.
2.创新思维，发展能力
丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，要想知识和能力同时协调发展，教师在教学中既要使学生掌握知识，又要使学生把握知识形成过程，从中吸取丰富的智力营养，尽量让学生体会到蕴藏在数学问题中的“生命”价值.具体地说，在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、多方位地去思考问题、寻求答案的优良品质，其基本特征是：流畅性、变通性、独创性.
例2 已知：如图1所示，△ABC的∠B和∠C的平分线BE，CF相交于点O.求证：∠BOC＝90°＋12∠A.
证明 ∵BE平分∠ABC，∴可设∠ABE=∠EBC=x，同理设∠ACF=∠FCB=y.
可得2x+2y+∠A=180°,
x+y+∠BOC=180°,
∴∠BOC=90°+12∠A.
变式1 将∠BOC变为三角形两条外角平分线相交而成的角，探求∠BOC与∠A的关系.已知：如图2所示，△ABC的两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线相交于点O.求证：∠BOC=90°-12∠A.
证明 ∵BO平分∠CBD，
CO平分∠BCE，
∴可设∠DBO=∠OBC=x，
∠BCO=∠OCE=y.
则x+y+∠BOC=180°,
(180°-2x)+(180°-2y)+∠A=180°,
易得∠BOC=90°-12∠A.
变式2 将∠BOC变为三角形一条外角平分线与一条内角平分线相交而成的角，探求∠BOC与∠A的关系.
已知：如图3所示，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD.求证：∠BOC=12∠A.
证明 ∵BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，
∴设∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCD=y.
则x+∠BOC=y,
2x+∠A=2y,易得∠BOC=12∠A.
变式3 将三角形两条角平分线的交点O变为三角形两边的中垂线的交点，探求∠BOC与∠A的关系.
已知：如图4所示，O为△ABC内一点，且OA=BO=OC.求证：∠BOC＝2∠BAC.
证明 ∵OA=OB，
∴可设∠OAB=OBA=x.
同理，可设∠OBC=∠OCB=y，∠OCA=∠OAC=z，有
2y+∠BOC=180°，
2x+2y+2z=180°，易得∠BOC＝2∠BAC.
如此，对于教材中许多重要的例题、习题进行类比、引申、推广，提出新问题并加以解决，从而引发学生积极思考，不但发挥了教材的示范作用，更能培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性.
3.掌握规律，提高技能
数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求高，但仍有一定的方法、技巧可循.如何引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解、解中求变呢?
例3 （全国初中数学竞赛题）设实数s和t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求st+4s+1t的值.
解 显然t≠0，把t2+99t+19=0的两边同除以t2，
得191t2+99×1t+1=0.
而19s2+99s+1=0，且st≠1，
∴s和1t是二次方程19x2+99x+1=0的两根.
∴s+1t=-9919，s×1t=119，
∴st+4s+1t=s+1t+4×st=-9919+119=-5.
变式1 （全国初中竞赛题）如果s,t是质数，且s2-13s+m=0，t2-13t+m=0，那么求st+ts的值.
解 当s=t时，st+ts=2；
当s≠t时，s和t是方程x2-13x+m=0的根，∴s+t=13.
又 ∵s,t是质数，∴s,t的值只可能是2和11，
∴st+ts=112+211=12522，∴st+ts的值为2和12522.
变式2 已知α,β是方程x2+2002x+1=0的两个根，求(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)的值.
解 由题意可知α2+2002α+1=0，β2+2002β+1=0，
∴(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)=2α•2β=4αβ=4.
【参考文献】
［1］薛金星.中学教材全解（七年级数学•下）华东师大版.陕西人民教育出版社.
［2］历届全国初中数学竞赛试题精选.