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【摘要】对于数学来说，数学思想是它的灵魂，数学方法则是它的行为.本文章主要对高中数学教学中一些常用到的数学思想在数学教学中的应用进行深入地分析.
【关键词】数学思想；高中；数学教学
一、函数思想
在高中数学教学当中，函数思想就是指通过函数的定义和性质来转化和分析问题，最终解决问题.一般情况下，解函数题型时，是借用函数思想所构造的函数进而使用其性质去解题的.所用到的函数性质有：f(x)和f′(x)的单调性、周期性、图像变换和其奇偶性以及最大值和最小值等.对学生们的要求就是熟练使用一次函数、二次函数和三角函数、指数函数以及幂函数、对数函数的具体特性.如果熟练地掌握了这些函数的特性，在解题时，就方便挖掘题目中一些隐含的条件.而应用函数思想的关键主要是构造其函数的解析式和妙用函数的性质.当全面而又深入地对所给的问题进行观察和判断时，对构造出的函数题型才能容易产生由此至彼的联系.
例1 已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：
a+b+c3+3a+b+c≥52.
分析 注意到不等式左边是互为倒数的两个式子之和，引入函数f（x）=x+1x，易知f（x）在［1，+∞）是增函数.
又 a，b，c∈R+，
∴a+b+c3≥3abc=2，∴fa+b+c3≥f(2)=52.
这正是所要证的不等式.
二、分类讨论
在解答一些数学问题时，经常会遇到一个问题可以用多种方法进行解答的题型，这时，就需要根据每种情况进行分类分析，并根据每类分析最终得到题解.这就是数学思想中的分类讨论.在数学思想中，分类讨论是一种逻辑方法，在数学思想中是一种重要的数学思想，也可以说它也是一种很重要而又容易解题的方法.从这种解题方法中，老师和学生都可以看出分类讨论这种方法能体现化整为零和积零为整的思想和归类整理.一些分类讨论思想的数学问题，在逻辑性和探索性以及综合性方面表现得很突出，这些可以训练学生思维上的条理性和概括性，这对于他们在高考中进行发挥时有很重要的作用.一般情况下，在进行分类讨论时，要遵循以下几个原则：要先确定分类对象，统一标准，同时不能重复也不能遗漏，再进行明确的划分，并主次分明.这些原则中，最主要的就是不能重复也不能遗漏.如果出现这种情况，所得到的结果一定不正确.而在解答分类讨论的问题时，要掌握基本的方法和步骤：第一，讨论的对象要确定，所讨论的对象所涉及的范围也要考虑得周全；第二，分类标准要确定，并进行合理的分类，分级进行，最终可以得到阶段性的解答；第三，对所得到的小结进行归纳，并综合得出结论.对分类讨论的步骤简单总结就是：1.确定标准；2.合理分类；3.逐类讨论；4.归纳总结.
例2 设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足1 分析 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解.
解 由图1可知：当a>0时，
f（x）＝ax-1a2＋2－1a.
∴1a≤1，f（1）=a-2+2≥0或
1<1a<4，f1a=2-1a>0或
1a≥4，f(4)=16a-82≥0.
∴a≥1或12 当a<0时，f（1）=a-2+2≥0，f（4）=16a-8+2≥0；
当a=0时，f（x）=-2x+2，f（1）=0，f（4）=-6，
∴不合题意.
由上可得，实数a的取值范围是a>12.
三、在解题的教学中领悟数学思想方法
对数学进行各种方法进行解答的教学方式，不仅可以帮助学生掌握和运用一些数学基础知识，同时，也让学生们从解题中领悟到数学的思想方法.在学生的习题当中，每类解题方法的典型例题有很多，通过练习这些习题，可以挖掘学生们解题的思想过程以及解题方法，当对一些题型很感兴趣或者掌握得很不错时，他们就会自己综合一些题型来归纳总结，这些总结在他们学习数学的过程中有很大的帮助.所以，老师在进行传授解数学题时，要运用多种数学方法来解题，这样可能帮助学生在自己解题的过程中，发现每种数学结构和数学运算间的关系，并建立和运用它们间的联系点和变化以及转化等，在此基础上就可以慢慢接受数学思想和方法，学生的思维能力也会渐渐得到提高.
例3 已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac+bd|≤1.
我们用综合法、比较法、分析法证明后，还可启发学生积极思维，得出三角证法：设b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ，则|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(a-β)|≤1.
另还可得出几何证法：如图2，画直径为AB=1的圆，作圆内接四边形ABCD，设AC=|a|，BC=|b|，BD=|c|，DA=|d|，a，b，c，d为实数，则a2+b2=1，c2+d2=1，由托勒密（Ptolemy）定理，得到|ac+bd|≤||a|•|c|+|b|•|d||=|AB×CD|=|CD|≤1.
学生只有掌握了解题的方法，才会形成解题的思想，才能最终受益终生.有一位国外有名的数学家和教育家曾这样认为：数学知识对于从事科学的人员来说是远远不足的，但这些工作人员必须具备数学思想和方法以及精神却是十分必要的；数学精神和思想以及方法在科学工作中永远都发挥着不可替代的作用.
【参考文献】
徐广华.数形结合思想在解题中的应用［J］.中学数学教与学，2008（2）.
【关键词】数学思想；高中；数学教学
一、函数思想
在高中数学教学当中，函数思想就是指通过函数的定义和性质来转化和分析问题，最终解决问题.一般情况下，解函数题型时，是借用函数思想所构造的函数进而使用其性质去解题的.所用到的函数性质有：f(x)和f′(x)的单调性、周期性、图像变换和其奇偶性以及最大值和最小值等.对学生们的要求就是熟练使用一次函数、二次函数和三角函数、指数函数以及幂函数、对数函数的具体特性.如果熟练地掌握了这些函数的特性，在解题时，就方便挖掘题目中一些隐含的条件.而应用函数思想的关键主要是构造其函数的解析式和妙用函数的性质.当全面而又深入地对所给的问题进行观察和判断时，对构造出的函数题型才能容易产生由此至彼的联系.
例1 已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：
a+b+c3+3a+b+c≥52.
分析 注意到不等式左边是互为倒数的两个式子之和，引入函数f（x）=x+1x，易知f（x）在［1，+∞）是增函数.
又 a，b，c∈R+，
∴a+b+c3≥3abc=2，∴fa+b+c3≥f(2)=52.
这正是所要证的不等式.
二、分类讨论
在解答一些数学问题时，经常会遇到一个问题可以用多种方法进行解答的题型，这时，就需要根据每种情况进行分类分析，并根据每类分析最终得到题解.这就是数学思想中的分类讨论.在数学思想中，分类讨论是一种逻辑方法，在数学思想中是一种重要的数学思想，也可以说它也是一种很重要而又容易解题的方法.从这种解题方法中，老师和学生都可以看出分类讨论这种方法能体现化整为零和积零为整的思想和归类整理.一些分类讨论思想的数学问题，在逻辑性和探索性以及综合性方面表现得很突出，这些可以训练学生思维上的条理性和概括性，这对于他们在高考中进行发挥时有很重要的作用.一般情况下，在进行分类讨论时，要遵循以下几个原则：要先确定分类对象，统一标准，同时不能重复也不能遗漏，再进行明确的划分，并主次分明.这些原则中，最主要的就是不能重复也不能遗漏.如果出现这种情况，所得到的结果一定不正确.而在解答分类讨论的问题时，要掌握基本的方法和步骤：第一，讨论的对象要确定，所讨论的对象所涉及的范围也要考虑得周全；第二，分类标准要确定，并进行合理的分类，分级进行，最终可以得到阶段性的解答；第三，对所得到的小结进行归纳，并综合得出结论.对分类讨论的步骤简单总结就是：1.确定标准；2.合理分类；3.逐类讨论；4.归纳总结.
例2 设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足1
解 由图1可知：当a>0时，
f（x）＝ax-1a2＋2－1a.
∴1a≤1，f（1）=a-2+2≥0或
1<1a<4，f1a=2-1a>0或
1a≥4，f(4)=16a-82≥0.
∴a≥1或12
当a=0时，f（x）=-2x+2，f（1）=0，f（4）=-6，
∴不合题意.
由上可得，实数a的取值范围是a>12.
三、在解题的教学中领悟数学思想方法
对数学进行各种方法进行解答的教学方式，不仅可以帮助学生掌握和运用一些数学基础知识，同时，也让学生们从解题中领悟到数学的思想方法.在学生的习题当中，每类解题方法的典型例题有很多，通过练习这些习题，可以挖掘学生们解题的思想过程以及解题方法，当对一些题型很感兴趣或者掌握得很不错时，他们就会自己综合一些题型来归纳总结，这些总结在他们学习数学的过程中有很大的帮助.所以，老师在进行传授解数学题时，要运用多种数学方法来解题，这样可能帮助学生在自己解题的过程中，发现每种数学结构和数学运算间的关系，并建立和运用它们间的联系点和变化以及转化等，在此基础上就可以慢慢接受数学思想和方法，学生的思维能力也会渐渐得到提高.
例3 已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac+bd|≤1.
我们用综合法、比较法、分析法证明后，还可启发学生积极思维，得出三角证法：设b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ，则|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(a-β)|≤1.
另还可得出几何证法：如图2，画直径为AB=1的圆，作圆内接四边形ABCD，设AC=|a|，BC=|b|，BD=|c|，DA=|d|，a，b，c，d为实数，则a2+b2=1，c2+d2=1，由托勒密（Ptolemy）定理，得到|ac+bd|≤||a|•|c|+|b|•|d||=|AB×CD|=|CD|≤1.
学生只有掌握了解题的方法，才会形成解题的思想，才能最终受益终生.有一位国外有名的数学家和教育家曾这样认为：数学知识对于从事科学的人员来说是远远不足的，但这些工作人员必须具备数学思想和方法以及精神却是十分必要的；数学精神和思想以及方法在科学工作中永远都发挥着不可替代的作用.
【参考文献】
徐广华.数形结合思想在解题中的应用［J］.中学数学教与学，2008（2）.