论文部分内容阅读
【摘 要】算法、算理构成了运算能力的左、右两翼，小学数学计算教学中，正确理解运算能力的内涵是前提，着力突出法理并重的意识是基础，达标检测体现素养的功能是保障。
【关键词】运算能力；算理；算法；抽象；支撑
【教材简介】
苏教版教材“分数四则混合运算”这部分内容，主要教學分数四则混合运算的运算顺序及应用运算定律，进行一些简便计算，教材安排了一道例题和一项练习（见图1）。
例题以做中国结为素材，让学生用不同的方法去解决实际问题，然后让学生自主利用解决实际问题的已有经验和对整数四则混合运算顺序的理解完成计算，自觉把整数四则混合运算的运算顺序推广到分数四则混合运算中，由此得出：分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。在此基础上，引导学生通过对两种解法的比较，使学生进一步认识到：整数的运算律对于分数同样适用。
【教学点击】
对于“分数四则混合运算”的教学，绝大多数教师的案例思路无外乎以下两种。
案例一：先复习分数的四则运算及整数、小数的四则混合运算；然后，教师指出：其实分数四则混合运算的运算顺序与整数相同；接着出示例1，学生独立解答，并进行相应练习；教师再次指出：整数的运算律对于分数同样适用；最后，学生进行简便运算练习，结束全课。
案例二：先复习分数的四则运算及整数、小数的四则混合运算；接着出示教材例1，学生列式解答后，教师总结：分数四则混合运算的运算顺序与整数相同；然后教师带领学生比较两种解法，教师总结：整数的运算律对于分数同样适用；最后，学生练习，结束全课。
课后细想，这节课大多教师的教学过程都可概括为：“一迁移”——分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，整数的运算律对于分数同样适用；“二练习”——分数四则混合运算的脱式计算与简便计算。但是为什么可以将整数、小数四则混合运算的运算顺序迁移到分数四则混合运算？为什么整数的运算律对于分数同样适用？此处明显缺乏算理支撑的教学力度，学生对算法迁移的可行性体验不深，对分数四则混合运算的算法抽象，过多关注了整数、小数四则混合运算的算法迁移，严重忽视了算法背后的算理支撑。
【案例透视】
一、探讨：为什么教学设计忽视算理支撑
案例一中，先复习旧知，接着教师指出：其实分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。这个结论的依据在哪里？支持这种抽象算法的算理支撑点在哪里？这种设计的问题在于：其一，这是典型的“斩头去尾烧中段”式的传统计算教学，教师只管传授计算法则，学生并不知道知识的来龙去脉，只要大规模练习提高计算的正确率。其二，教师先直接指出分数四则混合运算的计算法则，再教学例1及相关练习，有一种预先知道结论然后教师告知的感觉，传达的只是现成知识，至于为什么是这样的运算顺序，学生全然不知，这样的设计教学，似乎学生只要知其然，而不需要知其所以然。
案例二中，虽然教师直接告诉的成分有所减少，但分数四则混合运算的顺序得出与整数的运算律对于分数同样适用的抽象，只是对运算顺序和运算律的浅层次迁移，算理的支撑点没有稳固的锚桩，学生缺少迁移根基的体验，知识习得犹如水面浮萍，缺少落地生根。
二、深究：为什么计算教学不能法理并重
1. 教师对运算能力的理解偏差
运算能力在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中作为核心概念再次提及，已经引起了广大教师的高度重视，但是重提并不是回到从前，不应该被理解为“重新恢复那些复杂烦琐的计算，追求高速度、高效率的计算”（刘坚语），弄清算理，掌握算法，是运算教学的两个重要组成部分，因此当前的计算教学应当“法理并重”。
以上两个案例的共同关注点是计算法则的直接出示，其共同的着力点是分数四则混合运算的巩固练习，其共同的缺点是淡化了计算法则的得出依据。如此教学的结果是学生只知道分数四则混合运算的运算顺序、运算律与整数相同，而为什么相同学生却缺乏思考。
2. 缺少对算理知识的挖掘意识
张天孝老师说：“算理是运算的根本，算法是算理在具体问题中的应用和表现，掌握了算理就能更好地落实算法，有可能让学生用算理去驾驭多变的算法，自主发现和发明算法。”由此可见，缺少对算理知识的挖掘意识，学生即使知道了不明算理的算法，也只能是机械执行算法的低水平计算练习，更谈不上用算理去驾驭多变的算法，也就不可能达成《课标》中运算能力的目标。
研读本课教材不难发现，教材表达算理支撑的意思相当清楚——在解决实际情境问题的基础上理解算理，然后迁移抽象出运算顺序和运算律。反观案例教学，其一，案例一中先复习旧知，教师指出分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，接着教学例1并进行相关练习。潜在的前提是学生已经知道了分数四则混合运算的顺序，犯了一个条件问题倒置的逻辑错误。这个教学设计严重缺失对算理知识的挖掘意识，严重偏离了计算教学法理并重的教学原则。其二，先解决含有分数的实际问题，后表述运算顺序和运算律，这种先后的逻辑顺序就清楚地表明分数四则混合运算的顺序对学生是未知的。教学中要通过实际问题的解决，让学生真实地体验、感悟到实际生活中这个综合问题的解决，可以有两种方法：一是先算做18个大小不同的中国结各用彩绳多少米，后算一共要彩绳多少米；二是先算两种中国结各做1个共用彩绳多少米，再算一共要彩绳多少米。这两种实际问题解决的思路，学生很容易理解，这里解决问题的逻辑顺序相当清楚，这就是导出分数四则混合运算的顺序的算理支撑，这个运算顺序就是实际问题解决的先后顺序，这个运算顺序不是整数、小数四则混合运算顺序的简单迁移，更不是教师不管来由的直接给出。
3. 检测对运算能力的不够到位
四则混合运算是小学数学检测的必备题，而长期以来，在小学数学的检测试卷中清一色的都是“用递等式计算，能够简便计算的要简算”等题型，学生只需记牢运算顺序、计算法则，认真细心的计算，就能赢得计算题的高分，这也就造成了教师对学生计算已经过关的狭义认识。其实《课标》中运算能力的内涵远不止于此，会计算、能正确计算不是计算教学的全部，平时的计算教学，也不是教师简单地给出计算法则，学生机械地计算练习巩固，检测呆板地呈现递等式计算试题。 【对策思辨】
一、前提：正确理解运算能力的内涵
从数学心理学的角度来分析，运算能力主要是指由问题最初定向、抽象概括能力、压缩简化运算环节能力、算法轉换能力、优化算法能力及记忆能力等六个要素构成。案例中的教师乃至绝大部分数学教师，对运算能力的理解停留在会计算、能正确计算的层面，这只能是计算最基本的浅显的能力。尚若如此，只要求按算法正确计算作为教学目标，学生是不可能知道为什么要这样算的依据，更谈不上算法的优化及各种算法之间的联系和转换。所以，为了有效地进行计算教学，预防出现案例中的狭隘教法，作为数学教师，要正确理解运算能力的内涵，并据此内涵确定计算教学的目标，实施计算教学的正确教法。
二、基础：着力突出法理并重的意识
曹培英老师曾指出：算法、算理构成了运算能力的左、右两翼，在小学数学中两者是相辅相成的，计算法则教学中要实现两者的有机融合，做到循理入法，以理驭法，以法促理。新课程的计算教学，已经彻底改变了传统教学中“斩头去尾烧中段”的做法，关注的不仅仅是会计算及正确计算，而是高度重视知识的来龙去脉。新课程下的计算教学，学生既要知道算法，同时更要明白这一算法得出的算理支撑；教师要丰富算理、算法这一运算能力的双翼教学，扎实计算教学中法理并重的意识基础。
三、保障：达标检测体现素养的功能
传统的运算能力的检测题题型无外乎以下几种：“直接写得数”“列竖式计算”“用递等式计算、能够简便计算的要简算”等，检测的关注点重在计算结果的正确，很少关注计算的算理考查，以至于反映在教学中的轻算理剖析、重算法记忆、挺计算正确的不科学教法，学生的计算素养不能进行有效的达标检测。因此，拓宽运算能力检测的呈现形式，发挥达标检测促进教学的功能，应是计算教学的当务之急。运算能力的检测可从以下几个方面拓宽形式。
1.算术四则运算，画出直观图形，考查算理掌握
画图直观表示出四则运算的含义，是考查学生对算理是否真正掌握的有效方法。如四则运算中分数乘分数算理的检测，可以给出一道分数乘分数的算式，让学生根据算式用图形表示出其计算的算理；或者通过下面的选择题形式进行考查。下面的大长方形都表示“1”，（ ）的涂色部分可以表示[45×23]的积。
2.列出竖式计算，标注数字含义，明晰竖式算理
对于计算中的列竖式计算，不能仅仅让学生列出竖式、算出得数，还可以让学生在竖式中标注出每一步计算的含义。
如小数除法9.6÷3的竖式计算，除了要列出计算的竖式，还应要求学生标出竖式中商“2”及移下来的“6”等相关数字表示的意义。如果学生能正确解决这些问题，就能很好地理解商中小数点为什么跟被除数小数点对齐的道理。
3.四则混合运算，寻找生活原型，理解运算顺序
对于四则混合运算，可以给出混合运算式题，让学生还原出生活中的现实原型，在结合现实问题的解决中，理解四则混合运算的运算顺序，这种考查方法可以理解为结合算式合理编出生活中的实际问题。如对于分数四则混合运算：
学生可以编出：六（1）班有48人，参加书法兴趣小组的人数占[34]，参加美术兴趣小组的人数占[23]。参加书法兴趣小组的人数比参加美术兴趣小组的人数多几人？
上面几种检测题型，是对传统运算能力检测题型的拓展，能实质性地考查学生对算理的掌握程度，能有效提高师生对运算算理的关注程度，是对计算教学法理并重理念在检测中的有效回应。
（安徽省池州市东至县教学研究室 247200）
【关键词】运算能力；算理；算法；抽象；支撑
【教材简介】
苏教版教材“分数四则混合运算”这部分内容，主要教學分数四则混合运算的运算顺序及应用运算定律，进行一些简便计算，教材安排了一道例题和一项练习（见图1）。
例题以做中国结为素材，让学生用不同的方法去解决实际问题，然后让学生自主利用解决实际问题的已有经验和对整数四则混合运算顺序的理解完成计算，自觉把整数四则混合运算的运算顺序推广到分数四则混合运算中，由此得出：分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。在此基础上，引导学生通过对两种解法的比较，使学生进一步认识到：整数的运算律对于分数同样适用。
【教学点击】
对于“分数四则混合运算”的教学，绝大多数教师的案例思路无外乎以下两种。
案例一：先复习分数的四则运算及整数、小数的四则混合运算；然后，教师指出：其实分数四则混合运算的运算顺序与整数相同；接着出示例1，学生独立解答，并进行相应练习；教师再次指出：整数的运算律对于分数同样适用；最后，学生进行简便运算练习，结束全课。
案例二：先复习分数的四则运算及整数、小数的四则混合运算；接着出示教材例1，学生列式解答后，教师总结：分数四则混合运算的运算顺序与整数相同；然后教师带领学生比较两种解法，教师总结：整数的运算律对于分数同样适用；最后，学生练习，结束全课。
课后细想，这节课大多教师的教学过程都可概括为：“一迁移”——分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，整数的运算律对于分数同样适用；“二练习”——分数四则混合运算的脱式计算与简便计算。但是为什么可以将整数、小数四则混合运算的运算顺序迁移到分数四则混合运算？为什么整数的运算律对于分数同样适用？此处明显缺乏算理支撑的教学力度，学生对算法迁移的可行性体验不深，对分数四则混合运算的算法抽象，过多关注了整数、小数四则混合运算的算法迁移，严重忽视了算法背后的算理支撑。
【案例透视】
一、探讨：为什么教学设计忽视算理支撑
案例一中，先复习旧知，接着教师指出：其实分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。这个结论的依据在哪里？支持这种抽象算法的算理支撑点在哪里？这种设计的问题在于：其一，这是典型的“斩头去尾烧中段”式的传统计算教学，教师只管传授计算法则，学生并不知道知识的来龙去脉，只要大规模练习提高计算的正确率。其二，教师先直接指出分数四则混合运算的计算法则，再教学例1及相关练习，有一种预先知道结论然后教师告知的感觉，传达的只是现成知识，至于为什么是这样的运算顺序，学生全然不知，这样的设计教学，似乎学生只要知其然，而不需要知其所以然。
案例二中，虽然教师直接告诉的成分有所减少，但分数四则混合运算的顺序得出与整数的运算律对于分数同样适用的抽象，只是对运算顺序和运算律的浅层次迁移，算理的支撑点没有稳固的锚桩，学生缺少迁移根基的体验，知识习得犹如水面浮萍，缺少落地生根。
二、深究：为什么计算教学不能法理并重
1. 教师对运算能力的理解偏差
运算能力在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中作为核心概念再次提及，已经引起了广大教师的高度重视，但是重提并不是回到从前，不应该被理解为“重新恢复那些复杂烦琐的计算，追求高速度、高效率的计算”（刘坚语），弄清算理，掌握算法，是运算教学的两个重要组成部分，因此当前的计算教学应当“法理并重”。
以上两个案例的共同关注点是计算法则的直接出示，其共同的着力点是分数四则混合运算的巩固练习，其共同的缺点是淡化了计算法则的得出依据。如此教学的结果是学生只知道分数四则混合运算的运算顺序、运算律与整数相同，而为什么相同学生却缺乏思考。
2. 缺少对算理知识的挖掘意识
张天孝老师说：“算理是运算的根本，算法是算理在具体问题中的应用和表现，掌握了算理就能更好地落实算法，有可能让学生用算理去驾驭多变的算法，自主发现和发明算法。”由此可见，缺少对算理知识的挖掘意识，学生即使知道了不明算理的算法，也只能是机械执行算法的低水平计算练习，更谈不上用算理去驾驭多变的算法，也就不可能达成《课标》中运算能力的目标。
研读本课教材不难发现，教材表达算理支撑的意思相当清楚——在解决实际情境问题的基础上理解算理，然后迁移抽象出运算顺序和运算律。反观案例教学，其一，案例一中先复习旧知，教师指出分数四则混合运算的运算顺序与整数相同，接着教学例1并进行相关练习。潜在的前提是学生已经知道了分数四则混合运算的顺序，犯了一个条件问题倒置的逻辑错误。这个教学设计严重缺失对算理知识的挖掘意识，严重偏离了计算教学法理并重的教学原则。其二，先解决含有分数的实际问题，后表述运算顺序和运算律，这种先后的逻辑顺序就清楚地表明分数四则混合运算的顺序对学生是未知的。教学中要通过实际问题的解决，让学生真实地体验、感悟到实际生活中这个综合问题的解决，可以有两种方法：一是先算做18个大小不同的中国结各用彩绳多少米，后算一共要彩绳多少米；二是先算两种中国结各做1个共用彩绳多少米，再算一共要彩绳多少米。这两种实际问题解决的思路，学生很容易理解，这里解决问题的逻辑顺序相当清楚，这就是导出分数四则混合运算的顺序的算理支撑，这个运算顺序就是实际问题解决的先后顺序，这个运算顺序不是整数、小数四则混合运算顺序的简单迁移，更不是教师不管来由的直接给出。
3. 检测对运算能力的不够到位
四则混合运算是小学数学检测的必备题，而长期以来，在小学数学的检测试卷中清一色的都是“用递等式计算，能够简便计算的要简算”等题型，学生只需记牢运算顺序、计算法则，认真细心的计算，就能赢得计算题的高分，这也就造成了教师对学生计算已经过关的狭义认识。其实《课标》中运算能力的内涵远不止于此，会计算、能正确计算不是计算教学的全部，平时的计算教学，也不是教师简单地给出计算法则，学生机械地计算练习巩固，检测呆板地呈现递等式计算试题。 【对策思辨】
一、前提：正确理解运算能力的内涵
从数学心理学的角度来分析，运算能力主要是指由问题最初定向、抽象概括能力、压缩简化运算环节能力、算法轉换能力、优化算法能力及记忆能力等六个要素构成。案例中的教师乃至绝大部分数学教师，对运算能力的理解停留在会计算、能正确计算的层面，这只能是计算最基本的浅显的能力。尚若如此，只要求按算法正确计算作为教学目标，学生是不可能知道为什么要这样算的依据，更谈不上算法的优化及各种算法之间的联系和转换。所以，为了有效地进行计算教学，预防出现案例中的狭隘教法，作为数学教师，要正确理解运算能力的内涵，并据此内涵确定计算教学的目标，实施计算教学的正确教法。
二、基础：着力突出法理并重的意识
曹培英老师曾指出：算法、算理构成了运算能力的左、右两翼，在小学数学中两者是相辅相成的，计算法则教学中要实现两者的有机融合，做到循理入法，以理驭法，以法促理。新课程的计算教学，已经彻底改变了传统教学中“斩头去尾烧中段”的做法，关注的不仅仅是会计算及正确计算，而是高度重视知识的来龙去脉。新课程下的计算教学，学生既要知道算法，同时更要明白这一算法得出的算理支撑；教师要丰富算理、算法这一运算能力的双翼教学，扎实计算教学中法理并重的意识基础。
三、保障：达标检测体现素养的功能
传统的运算能力的检测题题型无外乎以下几种：“直接写得数”“列竖式计算”“用递等式计算、能够简便计算的要简算”等，检测的关注点重在计算结果的正确，很少关注计算的算理考查，以至于反映在教学中的轻算理剖析、重算法记忆、挺计算正确的不科学教法，学生的计算素养不能进行有效的达标检测。因此，拓宽运算能力检测的呈现形式，发挥达标检测促进教学的功能，应是计算教学的当务之急。运算能力的检测可从以下几个方面拓宽形式。
1.算术四则运算，画出直观图形，考查算理掌握
画图直观表示出四则运算的含义，是考查学生对算理是否真正掌握的有效方法。如四则运算中分数乘分数算理的检测，可以给出一道分数乘分数的算式，让学生根据算式用图形表示出其计算的算理；或者通过下面的选择题形式进行考查。下面的大长方形都表示“1”，（ ）的涂色部分可以表示[45×23]的积。
2.列出竖式计算，标注数字含义，明晰竖式算理
对于计算中的列竖式计算，不能仅仅让学生列出竖式、算出得数，还可以让学生在竖式中标注出每一步计算的含义。
如小数除法9.6÷3的竖式计算，除了要列出计算的竖式，还应要求学生标出竖式中商“2”及移下来的“6”等相关数字表示的意义。如果学生能正确解决这些问题，就能很好地理解商中小数点为什么跟被除数小数点对齐的道理。
3.四则混合运算，寻找生活原型，理解运算顺序
对于四则混合运算，可以给出混合运算式题，让学生还原出生活中的现实原型，在结合现实问题的解决中，理解四则混合运算的运算顺序，这种考查方法可以理解为结合算式合理编出生活中的实际问题。如对于分数四则混合运算：
学生可以编出：六（1）班有48人，参加书法兴趣小组的人数占[34]，参加美术兴趣小组的人数占[23]。参加书法兴趣小组的人数比参加美术兴趣小组的人数多几人？
上面几种检测题型，是对传统运算能力检测题型的拓展，能实质性地考查学生对算理的掌握程度，能有效提高师生对运算算理的关注程度，是对计算教学法理并重理念在检测中的有效回应。
（安徽省池州市东至县教学研究室 247200）