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【摘要】本文采用反证法,即假设存在正整数 及使得 ,利用引理得出矛盾,从而推翻假设,费马大定理得证.
【关键词】费马大定理;简洁;反证法
引理: ,则
证明:⑴ 时, ,原不等式成立
⑵设 时原不等式成立,即:
故要证明 时原不等式成立
即证明 成立
只须证明 成立
只须证明 成立
下面证明 成立
不妨设 则
故 时原不等式成立
由⑴⑵可知,对任何 ,原不等式成立.
定理: 无正整数解.
[思路分析]:采用反证法,即假设存在正整数 及使得 ,利用引理得出矛盾,从而推翻假设,证明定理.
证明:假设存在正整数 及使得
⑴当 时
,
,
不可能有 ,假设不成立
⑵当 时,利用引理得
将假设条件 代入上式得
即
即(★)
但事实上(★)式不成立,产生矛盾。下面说明(★)式不成立理由
构造函数 ,
① 当 时,作出及
图象,再作出 的图象:
通过图象的对比分析,可“看出”当 时 的图象永远在 图象之下,下面来严格证明这个“看出”来的结论。
事实上我们只要证明当 时, 的图象与 图象没有交点即可。下面给出证明:
假设存在使得,
,即
若 是无理数,则 是无理数,这与 矛盾
若 是有理数, 可设
开不尽,是无理数,这与 矛盾
假设不成立,故当 时, 的图象与 图象没有交点,也就是说当 时 的图象永远在 图象之下
② 当 时, 由作图看显然当 时 的图象永远在 图象之下
③ 当 时,由作图看显然当 时
的图象永远在 图象之下
由①②③得即
即
于是考虑有理数 , 其中 ,
总有
所以(1)式不成立,出现矛盾
故当 时原假设“存在正整数 及使得 不成立”
综合⑴⑵原假设不成立,所以
无正整数解.
收稿日期:2008-4-17
【关键词】费马大定理;简洁;反证法
引理: ,则
证明:⑴ 时, ,原不等式成立
⑵设 时原不等式成立,即:
故要证明 时原不等式成立
即证明 成立
只须证明 成立
只须证明 成立
下面证明 成立
不妨设 则
故 时原不等式成立
由⑴⑵可知,对任何 ,原不等式成立.
定理: 无正整数解.
[思路分析]:采用反证法,即假设存在正整数 及使得 ,利用引理得出矛盾,从而推翻假设,证明定理.
证明:假设存在正整数 及使得
⑴当 时
,
,
不可能有 ,假设不成立
⑵当 时,利用引理得
将假设条件 代入上式得
即
即(★)
但事实上(★)式不成立,产生矛盾。下面说明(★)式不成立理由
构造函数 ,
① 当 时,作出及
图象,再作出 的图象:
通过图象的对比分析,可“看出”当 时 的图象永远在 图象之下,下面来严格证明这个“看出”来的结论。
事实上我们只要证明当 时, 的图象与 图象没有交点即可。下面给出证明:
假设存在使得,
,即
若 是无理数,则 是无理数,这与 矛盾
若 是有理数, 可设
开不尽,是无理数,这与 矛盾
假设不成立,故当 时, 的图象与 图象没有交点,也就是说当 时 的图象永远在 图象之下
② 当 时, 由作图看显然当 时 的图象永远在 图象之下
③ 当 时,由作图看显然当 时
的图象永远在 图象之下
由①②③得即
即
于是考虑有理数 , 其中 ,
总有
所以(1)式不成立,出现矛盾
故当 时原假设“存在正整数 及使得 不成立”
综合⑴⑵原假设不成立,所以
无正整数解.
收稿日期:2008-4-17