费马大定理的一个简洁证法

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  【摘要】本文采用反证法,即假设存在正整数 及使得 ,利用引理得出矛盾,从而推翻假设,费马大定理得证.
  【关键词】费马大定理;简洁;反证法
  
  引理: ,则
  证明:⑴ 时, ,原不等式成立
  ⑵设 时原不等式成立,即:
  故要证明 时原不等式成立
  即证明 成立
  只须证明 成立
  只须证明 成立
  下面证明 成立
  不妨设 则
  故 时原不等式成立
  由⑴⑵可知,对任何 ,原不等式成立.
  定理: 无正整数解.
  [思路分析]:采用反证法,即假设存在正整数 及使得 ,利用引理得出矛盾,从而推翻假设,证明定理.
  证明:假设存在正整数 及使得
  ⑴当 时
   ,
   ,
   不可能有 ,假设不成立
  ⑵当 时,利用引理得
  将假设条件 代入上式得
   即
   即(★)
  但事实上(★)式不成立,产生矛盾。下面说明(★)式不成立理由
  
  构造函数 ,
  ① 当 时,作出及
  图象,再作出 的图象:
  
  通过图象的对比分析,可“看出”当 时 的图象永远在 图象之下,下面来严格证明这个“看出”来的结论。
  事实上我们只要证明当 时, 的图象与 图象没有交点即可。下面给出证明:
  假设存在使得,
   ,即
  若 是无理数,则 是无理数,这与 矛盾
  若 是有理数, 可设
  开不尽,是无理数,这与 矛盾
  假设不成立,故当 时, 的图象与 图象没有交点,也就是说当 时 的图象永远在 图象之下
  ② 当 时, 由作图看显然当 时 的图象永远在 图象之下
  ③ 当 时,由作图看显然当 时
   的图象永远在 图象之下
  由①②③得即
   即
  于是考虑有理数 , 其中 ,
  总有
  所以(1)式不成立,出现矛盾
  故当 时原假设“存在正整数 及使得 不成立”
  综合⑴⑵原假设不成立,所以
   无正整数解.
  
  收稿日期:2008-4-17
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