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摘要：本文针对初中列方程解应用题实际教学时，学生做应用题时普遍存在的问题，探讨如何突破应用题教学的难点，找到培养学生方程思想解应用题的具体举措。
关键词：应用题 文字语言 数学语言 等量关系 方程思想 数学建模
正文：
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。方程是解应用题中经常应用的数学思想，也是学生数学学习中第一个出现的数学基本模型。把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型。使用方程思想分析、处理问题，思路清晰、灵活简便，在探索解题思路时经常使用，列方程（组）解应用题是应用方程思想的典型内容，也正好是是初中阶段数学教学的重点，更是难点。其之所以是难点，概括地说：即难教又难学。主要涉及到列一元一次方程解应用题、列二元一次方程组解应用题、一元二次方程解应用题三大块的教学内容。因此，我们应选取适当的方法和策略进行这部分内容的教学，解决大部分学生的方程思想入门关，突破这一难点。
在教学过程中，我发现学生害怕应用题，不会用方程思想解决问题主要有以下几个原因：
1.看到长长的文字类应用题就产生了厌恶情绪，连题目都不愿多看一眼，由此导致畏难情绪。
2.受思维惯性的影响，部分学生没有能及时转变解题方法，长期停留在算术方法的思维水平上。
3.许多学生对文字语言“翻译”成数学式子的基础不扎实。
4.列方程（组）很盲目，没有养成先找等量关系再列方程（组）的意识和习惯。
5.很多学生不善于使用辅助方法帮助自己分析问题，而常陷于凭空毫无目的地胡乱思考。
6.缺少具体问题具体分析的能力，没有形成一套行之有效的分析问题解决问题的操作步骤。
对于用方程思想解应用题的教学难点的突破，我们要作教学方法上的处理。下面结合自己实际教学工作说说上述问题的处理方法。
一、帮助学生克服畏难思想。
用方程思想解应用题一直是教师和学生都感到头疼的内容，有的同学形成思维定势，怕做应用题。见到应用题想都不想，朝旁边一放，束之高阁，形成恶性循环。教师要引导学生从身边的数学入手，简单题入手，不怕困难，诱发学生积极思维，使其产生内在的学习动机，主动参与教学活动。
二、精心设计应用题启蒙课，引导学生尽快从算术解题方法转到代数方程思想解题方法。
教学时，由于学生对于算术方法思路比较熟悉，开始学习方程解法时对其思路会不习惯，并受算术方法的干扰，列方程感到困难。教学时，要由易到难，由简到繁，循序渐进，要通过学生自己比较小学的算术方法与列方程法不同，使学生亲自感受列方程解应用题的优越性。比如我在引入课上设计了如下一组题目，特点是用算术方法依次趋难，而用代数方法都很简单，从而引导学生用两种方法去解，从而使学生体会到列方程解应用题的优越性，从思想上产生要学好列方程解应用题的方法的愿望。
例1 环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？（新人教版教材80面练习第1题）
例2 今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？（新人教版教材84面练习第7题）
例3 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？（新人教版教材88面问题2）
通过上面例子让学生体会到两种方法考虑问题的不同，算术法一般使用综合法——由已知条件一步一步推出结论，列方程法适合使用分析法——从未知条件逆向推理来建立未知与已知的关系，随着题目难度的增加，使用分析法比使用综合法显得简单。因此，学生会不会应用分析法也是学生能否及时转变解题方法的一个关键点，教师在后续的教学中要有意识地进行渗透。
三、在整个应用题教学阶段，加强把数学语言“翻译”成数学式子的教学与练习，提高学生的转化能力。
应用题是整个初中数学教学的难点，而在教学实践中发现，这个“翻译”问题是难点中的难点。因此，在教学中要本着循序渐进，分散难点的原则处理好这个问题的教学。
学会列代数式是用方程思想解应用题的关键所在。在用方程思想解应用题之前先让学生做好列代数式的练习，最后在学生学习方程思想解应用题的整个过程中，应特别注重对应用题进行分解难点的阶梯式递进练习。
例4 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？（新人教版教材100面例2）
分析：如果把工作量设为1，则人均效率为 ;x人先做4h完成的工作量为 ;增加2人后再做8h完成的工作量为 ;根据题意可列出方程： ，依据的等量关系是：
加强类似例4教学与练习，不仅能逐步提高学生的“翻译”能力外，而且还能：1、降低知识层次推进的坡度，使学习上有困难的学生能及时跟上;2、有助于学生形成有条有理的思维习惯。所以，长期坚持这方面的练习可以提高学生用方程思想解应用题的能力。
四、多种方法并举，促使学生养成先找等量关系，再依据等量关系列方程的解题习惯。
找出应用题中的等量关系是用方程思想列方程（组）解应用题的核心要素，也是学习中思维习惯和思维品质上的难点。对此，教师要注重对学生做好解题习惯、思考习惯的培养。为了帮助学生找出数量间的相等关系可从下面几点着手。 1.要注意让学生弄清题中有关词语的含义。如常见的“和、差、倍、分”的相等关系。
2.要注意让学生牢固地掌握几种常见的等量关系和一些常用的计算公式，如行程问题、买卖问题、农业生产问题、工业生产问题的等量关系和几种简单的平面图形的面积计算公式等。
3.要注重例题的示范作用。教师在讲解例题要十分注意强调分析等量关系，并在板书时也要突出等量关系的地位。只有这样，才能逐步改正学生中普遍存在的不重视等量关系、怕麻烦的毛病。
4.在讲解例题、让学生练习、做作业时，先让学生口述题目的等量关系，再让学生书面形式写出题目的等量关系，从而便于及时发现学生在找等量关系上遇到的障碍，纠正存在的问题。
5.要让学生尝试列出不同的方程，灵活解答应用题。有一些应用题，从不同的角度出发分析数量关系，可以列出不同的等量关系，其中每一个等量关系都可以作为列方程的依据，并且列出不同的方程。教学时，注意鼓励学生从不同的角度进行思考，引导学生对不同的方程加以比较，从中找出简便解法，以利于培养学生思维的灵活性，提高解答应用题的能力。
五、在分析问题的时候，为了帮助自己发现数量关系，必须教会学生掌握一些辅助的方法，如线段图示法、表格法等等。
随着所学知识的难度的增加，我们教学中通常会有意识地教学生如何把一个复杂的问题化为几个简单的小问题去解决，如何综合运用各种知识与手段去解决等等。那么，用方程思想解应用题教学中，如何使学生真正掌握这些辅助方法呢？我认为，会不会应用辅助方法是技能，是能力。因此，重要的是要利用例题和练习多为学生提供练习的机会。在教学过程中可以让学生自己来画题目的图示或表格，并要求学生在做作业时书面形式反映题目的图示或表格。
六、培养学生形成一套行之有效的解题步骤。
在教学实践中，把列方程（组）解应用题的步骤用五个字归纳：找、设、译、列、解。
找——就是分析题意，找出等量关系，是关键步骤;设——就是根据所求与等量关系等方面设定适当的未知数;译——就是把等量关系中的文字叙述“翻译”成数学式子表达，是关键步骤;列——就是依据上面三步列出方程;解——就是解出方程，检验并作答。
解答应用题的基本思路可用下面框图表示：
下面举一个例子说明。
例5 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h;乙码头返回到甲码头逆流而行，用了2.5h.水流速度是3km/h，求甲乙两码头之间路程. （改编新人教版教材94面例2）
找（等量关系）：分析题意发现题目涉及两种状态：顺航、逆航。隐含相等关系，顺航的路程=逆航的路程。
设（未知数）： 虽然题目是求两地路程，但上面已作为等量关系，故不再设为未知数。我们知道：船顺航的速度=轮船在静水中的速度+水流的速度，船逆航的速度=轮船在静水中的速度-水流的速度。因此，设轮船在静水中的速度为未知数——x公里/小时，则船顺航的速度、船逆航的速度都可表示出来，分别为：（x+3）公里/小时、（x-3）公里/小时
译（符号语言）：已知路程=速度×时间，所以，顺航的路程=顺航的速度×顺航的时间=（x+3）×2，逆航的路程=逆航的速度×逆航的时间=（x-3）×2.5
列（方程）： 由上很容易得（x+3）×2=（x-3）×2.5
解（方程）： 这里省略（注意检验）。
从例子可看出，这是一种模式化的操作步骤，它包括了解应用题应注意的各个方面：为了得到等量关系必须仔细审题，通过扎实前期预备工作——“找”、“设”、“译”为建立数学模型——方程（组）奠定基础。只有让学生进行必要的一招一式的训练，才能使学生逐步将用方程思想解应用题里面包含的实质内化，形成一种自觉的思维品质。
在方程思想解应用题的课堂教学中，尽量将应用题贴近生活化，大问题小步走，设计要由易到难，有梯度，有层次性，调动每一个学生的思考的积极性;文字语言“翻译”为数学式子是学生薄弱环节，却是正确列出方程的重要前提，整个教学进程中始终加强这方面的练习;等量关系是列方程的依据，要通过各种方法，培养学生先找出等量关系，再据此列出方程的习惯;理解题意，分析等量关系，要求学生掌握一些辅助的分析方法，如线段图示法、表格法等;最后总结一套行之有效的解题步骤。
从数学建模的角度看，用方程思想解应用题，重点关注数学语言互化问题，它是解答应用题的突破口。数学语言可分为文字语言、符号语言（数学式子）、图形语言。文字语言转化为符号语言或图形语言是解答数学应用题的必经之路。我们知道，数学是研究数量关系及空间形式的科学，符号语言与图形语言是数学思想及数学方法得以实现的载体。因此，方程思想解应用题就是将数学应用题中的文字语言“翻译”为符号语言或图形语言，建立数学模型的过程。即：
文字语言 →图形语言（或表格）→ 符号语言（方程）
方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小，因此说我们对学生进行方程思想的渗透，就是对学生进行数学建模能力的培养，这对我们学生以后的学习都有着深远的影响。
关键词：应用题 文字语言 数学语言 等量关系 方程思想 数学建模
正文：
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。方程是解应用题中经常应用的数学思想，也是学生数学学习中第一个出现的数学基本模型。把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型。使用方程思想分析、处理问题，思路清晰、灵活简便，在探索解题思路时经常使用，列方程（组）解应用题是应用方程思想的典型内容，也正好是是初中阶段数学教学的重点，更是难点。其之所以是难点，概括地说：即难教又难学。主要涉及到列一元一次方程解应用题、列二元一次方程组解应用题、一元二次方程解应用题三大块的教学内容。因此，我们应选取适当的方法和策略进行这部分内容的教学，解决大部分学生的方程思想入门关，突破这一难点。
在教学过程中，我发现学生害怕应用题，不会用方程思想解决问题主要有以下几个原因：
1.看到长长的文字类应用题就产生了厌恶情绪，连题目都不愿多看一眼，由此导致畏难情绪。
2.受思维惯性的影响，部分学生没有能及时转变解题方法，长期停留在算术方法的思维水平上。
3.许多学生对文字语言“翻译”成数学式子的基础不扎实。
4.列方程（组）很盲目，没有养成先找等量关系再列方程（组）的意识和习惯。
5.很多学生不善于使用辅助方法帮助自己分析问题，而常陷于凭空毫无目的地胡乱思考。
6.缺少具体问题具体分析的能力，没有形成一套行之有效的分析问题解决问题的操作步骤。
对于用方程思想解应用题的教学难点的突破，我们要作教学方法上的处理。下面结合自己实际教学工作说说上述问题的处理方法。
一、帮助学生克服畏难思想。
用方程思想解应用题一直是教师和学生都感到头疼的内容，有的同学形成思维定势，怕做应用题。见到应用题想都不想，朝旁边一放，束之高阁，形成恶性循环。教师要引导学生从身边的数学入手，简单题入手，不怕困难，诱发学生积极思维，使其产生内在的学习动机，主动参与教学活动。
二、精心设计应用题启蒙课，引导学生尽快从算术解题方法转到代数方程思想解题方法。
教学时，由于学生对于算术方法思路比较熟悉，开始学习方程解法时对其思路会不习惯，并受算术方法的干扰，列方程感到困难。教学时，要由易到难，由简到繁，循序渐进，要通过学生自己比较小学的算术方法与列方程法不同，使学生亲自感受列方程解应用题的优越性。比如我在引入课上设计了如下一组题目，特点是用算术方法依次趋难，而用代数方法都很简单，从而引导学生用两种方法去解，从而使学生体会到列方程解应用题的优越性，从思想上产生要学好列方程解应用题的方法的愿望。
例1 环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？（新人教版教材80面练习第1题）
例2 今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？（新人教版教材84面练习第7题）
例3 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？（新人教版教材88面问题2）
通过上面例子让学生体会到两种方法考虑问题的不同，算术法一般使用综合法——由已知条件一步一步推出结论，列方程法适合使用分析法——从未知条件逆向推理来建立未知与已知的关系，随着题目难度的增加，使用分析法比使用综合法显得简单。因此，学生会不会应用分析法也是学生能否及时转变解题方法的一个关键点，教师在后续的教学中要有意识地进行渗透。
三、在整个应用题教学阶段，加强把数学语言“翻译”成数学式子的教学与练习，提高学生的转化能力。
应用题是整个初中数学教学的难点，而在教学实践中发现，这个“翻译”问题是难点中的难点。因此，在教学中要本着循序渐进，分散难点的原则处理好这个问题的教学。
学会列代数式是用方程思想解应用题的关键所在。在用方程思想解应用题之前先让学生做好列代数式的练习，最后在学生学习方程思想解应用题的整个过程中，应特别注重对应用题进行分解难点的阶梯式递进练习。
例4 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？（新人教版教材100面例2）
分析：如果把工作量设为1，则人均效率为 ;x人先做4h完成的工作量为 ;增加2人后再做8h完成的工作量为 ;根据题意可列出方程： ，依据的等量关系是：
加强类似例4教学与练习，不仅能逐步提高学生的“翻译”能力外，而且还能：1、降低知识层次推进的坡度，使学习上有困难的学生能及时跟上;2、有助于学生形成有条有理的思维习惯。所以，长期坚持这方面的练习可以提高学生用方程思想解应用题的能力。
四、多种方法并举，促使学生养成先找等量关系，再依据等量关系列方程的解题习惯。
找出应用题中的等量关系是用方程思想列方程（组）解应用题的核心要素，也是学习中思维习惯和思维品质上的难点。对此，教师要注重对学生做好解题习惯、思考习惯的培养。为了帮助学生找出数量间的相等关系可从下面几点着手。 1.要注意让学生弄清题中有关词语的含义。如常见的“和、差、倍、分”的相等关系。
2.要注意让学生牢固地掌握几种常见的等量关系和一些常用的计算公式，如行程问题、买卖问题、农业生产问题、工业生产问题的等量关系和几种简单的平面图形的面积计算公式等。
3.要注重例题的示范作用。教师在讲解例题要十分注意强调分析等量关系，并在板书时也要突出等量关系的地位。只有这样，才能逐步改正学生中普遍存在的不重视等量关系、怕麻烦的毛病。
4.在讲解例题、让学生练习、做作业时，先让学生口述题目的等量关系，再让学生书面形式写出题目的等量关系，从而便于及时发现学生在找等量关系上遇到的障碍，纠正存在的问题。
5.要让学生尝试列出不同的方程，灵活解答应用题。有一些应用题，从不同的角度出发分析数量关系，可以列出不同的等量关系，其中每一个等量关系都可以作为列方程的依据，并且列出不同的方程。教学时，注意鼓励学生从不同的角度进行思考，引导学生对不同的方程加以比较，从中找出简便解法，以利于培养学生思维的灵活性，提高解答应用题的能力。
五、在分析问题的时候，为了帮助自己发现数量关系，必须教会学生掌握一些辅助的方法，如线段图示法、表格法等等。
随着所学知识的难度的增加，我们教学中通常会有意识地教学生如何把一个复杂的问题化为几个简单的小问题去解决，如何综合运用各种知识与手段去解决等等。那么，用方程思想解应用题教学中，如何使学生真正掌握这些辅助方法呢？我认为，会不会应用辅助方法是技能，是能力。因此，重要的是要利用例题和练习多为学生提供练习的机会。在教学过程中可以让学生自己来画题目的图示或表格，并要求学生在做作业时书面形式反映题目的图示或表格。
六、培养学生形成一套行之有效的解题步骤。
在教学实践中，把列方程（组）解应用题的步骤用五个字归纳：找、设、译、列、解。
找——就是分析题意，找出等量关系，是关键步骤;设——就是根据所求与等量关系等方面设定适当的未知数;译——就是把等量关系中的文字叙述“翻译”成数学式子表达，是关键步骤;列——就是依据上面三步列出方程;解——就是解出方程，检验并作答。
解答应用题的基本思路可用下面框图表示：
下面举一个例子说明。
例5 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h;乙码头返回到甲码头逆流而行，用了2.5h.水流速度是3km/h，求甲乙两码头之间路程. （改编新人教版教材94面例2）
找（等量关系）：分析题意发现题目涉及两种状态：顺航、逆航。隐含相等关系，顺航的路程=逆航的路程。
设（未知数）： 虽然题目是求两地路程，但上面已作为等量关系，故不再设为未知数。我们知道：船顺航的速度=轮船在静水中的速度+水流的速度，船逆航的速度=轮船在静水中的速度-水流的速度。因此，设轮船在静水中的速度为未知数——x公里/小时，则船顺航的速度、船逆航的速度都可表示出来，分别为：（x+3）公里/小时、（x-3）公里/小时
译（符号语言）：已知路程=速度×时间，所以，顺航的路程=顺航的速度×顺航的时间=（x+3）×2，逆航的路程=逆航的速度×逆航的时间=（x-3）×2.5
列（方程）： 由上很容易得（x+3）×2=（x-3）×2.5
解（方程）： 这里省略（注意检验）。
从例子可看出，这是一种模式化的操作步骤，它包括了解应用题应注意的各个方面：为了得到等量关系必须仔细审题，通过扎实前期预备工作——“找”、“设”、“译”为建立数学模型——方程（组）奠定基础。只有让学生进行必要的一招一式的训练，才能使学生逐步将用方程思想解应用题里面包含的实质内化，形成一种自觉的思维品质。
在方程思想解应用题的课堂教学中，尽量将应用题贴近生活化，大问题小步走，设计要由易到难，有梯度，有层次性，调动每一个学生的思考的积极性;文字语言“翻译”为数学式子是学生薄弱环节，却是正确列出方程的重要前提，整个教学进程中始终加强这方面的练习;等量关系是列方程的依据，要通过各种方法，培养学生先找出等量关系，再据此列出方程的习惯;理解题意，分析等量关系，要求学生掌握一些辅助的分析方法，如线段图示法、表格法等;最后总结一套行之有效的解题步骤。
从数学建模的角度看，用方程思想解应用题，重点关注数学语言互化问题，它是解答应用题的突破口。数学语言可分为文字语言、符号语言（数学式子）、图形语言。文字语言转化为符号语言或图形语言是解答数学应用题的必经之路。我们知道，数学是研究数量关系及空间形式的科学，符号语言与图形语言是数学思想及数学方法得以实现的载体。因此，方程思想解应用题就是将数学应用题中的文字语言“翻译”为符号语言或图形语言，建立数学模型的过程。即：
文字语言 →图形语言（或表格）→ 符号语言（方程）
方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小，因此说我们对学生进行方程思想的渗透，就是对学生进行数学建模能力的培养，这对我们学生以后的学习都有着深远的影响。