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摘 要：多元表征是适应新课程改革的一种现代化教学方法，具备新颖性和趣味性强的特点，同时也迎合了素质教育多元化的要求。为保证多元表征的应用质量，教师需要做好综合研究与充分考量，避免教学形式化，同时也要防止多元表征过度应用，否则很容易流于表面，而忽视当中所蕴藏的学习资源，充分体现多元表征对教育发展的促进和改革助推作用。
关键词：思维;小学数学计算教学;学习资源
一、 叹：直面现状追原因
经调查了解学生学习“数与代数”领域当中有关数的运算的实际情况，在各个学段都发现学生的计算错误，有的错误逐年积累，一直影响着学生其他方面的学习，甚至阻碍学生思维的发展。因此，笔者提出教师应重视学生的计算能力和计算错误，探究原因，基于表征等学习方式，让计算的算理可视，可辨，从而提升学生的计算能力。
（一）表征纷乱目的不清：思维与实际脱离
学生对数学问题、数学概念的理解和解决的过程很多同学只会模仿，但是却不能表达自己对算理的理解。
（二）表征运用的形式单一：算法无算理支撑
教师知道表征能力培养的必要性，但却没有引发学生的关注，画示意图、线段图、列表等丰富表征形式被学生看成了额外的“任务”，教师面对单一的表征也束手无策，导致学生在理解计算算理时缺乏可视的直观图支撑，逐渐使学生缺失了学习的主动性和表达的创造力。
（三）表征内容使用效率低：表征与教学相离
有的教学内容，学生对表征很感兴趣，例如乘法的计算，有余数的除法等学生想象力极丰富，但是教师缺乏梳理统整，或是评价的时候缺乏遵循一定的“序”，使得表征作品使用效率降低，这与老师的评价有关，也与教师的生本观有关。
二、 思：小學阶段“多元表征”学习价值的再思考
计算教学的错误总伴随着学生的学习和教师的教学存在，学生因运算意义不理解从而出现计算错误总存在，这说明我们的教学存在问题。学生表征算理能力缺失也会不利于学生的思维能力的提升。
（一）积累表征经验，引导运算意义更清晰
儿童心理学认为：小学生思维特点以形象思维为主，获取知识在形象感受、感知的基础上逐步建立表象而形成概念的。而人教版新教材重视对算理的理解，强调对运算意义和价值的理解，让学生依托多元素材表征积累表象经验，明晰表征运算的意义，可以更加丰富、更加深刻地理解运算，对学生构建运算模型有重要作用。
（二）论透多元表征，沟通数学思维立模型
人教版数学新教材有关数的运算包含了整数、小数、分数的四则运算意义、计算法则和运算定律、四则混合运算三个部分。在新教材中也多处将例题对比编排，就是为了让学生在对比中辨析运算的意义，在课堂教学中，让学生基于图形表征、文字表征、符号表征、动作表征等多元表征，展开充分的讨论、辨析，学透、论透计算的意义，明晰算理，碰撞思维，激发灵感，在同桌、小组、全班等多样的形式当中，来发散学生的数学思维，提升运算能力。
（三）优化多元表征，丰富运算策略促发展
在教学中学生对运算意义的理解以及表征能力会大不相同，表征的形式也会不同，从而形成多元的学习素材。教师应尊重学生的积极性、主动性和创造性，同时让学生捕捉不同方法的思维亮点，从而激发学生的创新灵感，丰富运算策略。同时教师也不必索要多样化的多元表征，不必为了体现多元而多元，为了追求呈现的素材的华丽，不必走低层次表征路线，而应该实实在在去关注有价值的学习素材。
三、 行：“多元表征”在小学数学计算教学中的实践探索
“计算教学”学习分布在每册教学中，首先对于整个小学阶段学习内容进行梳理，整理小学阶段的“计算教学”学习内容之间的一些方法。
（一）追根溯源：整体解读明目标
1. 一读课改，明确要求
计算能力是小学数学中最基本的技能，《2011课程标准》把计算能力作为数学课程学习的重要内容，计算能力有助于学生自身发展，有助于学生适应社会发展的重要能力。计算也贯穿着数学教学的始终。基于多元表征的学习是基于学生认知规律，科学利用认知规律，组织引导学生进行数学深度学习的学习方式，其本质内涵是将数学学习对象进行心理多元认知编码并与之建立对应、建构意义联系，逐步建构“内化—联系—外化”的深度学习生态循环系统。
2. 二理教材，把握要点
新教材、新课标对“数的运算”做出的改变，是从重视算法的掌握、运算技能的熟练，转变为关注算理、运算意义的建构。这样的改变这有利于学生更好地运用数学解决问题，促进学生数学素养的形成。因此笔者对教材内容进行梳理，通过整理和统计，发现并非所有的计算课都需要学生来进行表征，计算教学的难度呈螺旋式上升，部分内容是前期学习的延续和拓展，部分内容是新的，需要借助多元表征等其他学习方式帮助学生明晰算理，表述过程，充分沟通联系。
3. 三寻联系，关注方式
通过前后教材的联系对比，我们发现多元表征是学生理解算理的一个学习方式，但并不是所有的计算都需要进行表征的，呈现的形式也不能一味单一，而是要以学生的实际、教学的实际和见解的表达方式多维度结合进行思考的。
（二）实践探索——课堂践行觅优化
基于多元表征提升学生的计算能力，深度学习算力，让学生思维可视，算理可辨，提升计算的灵活性、自主性、准确性，下面是笔者思考和实践中发现的有效的策略尝试：
1. 策略一：巧借“前测”暴露原认知，让学生思维可视
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。基于此，教师在课前通过设计合理的前测学习单，让学生在已有的知识经验的基础上对即将学习的内容进行分析和表达，然后教师根据学生的情况精心设计教学活动，这样的设计将会更加有效和有针对性。回顾整个实践的过程，笔者认为呈现学生的前测资源着重需关注三点： （1）巧示多样图示表征，了解学生起点
学生的数学学习是以学生的认知发展水平和已有的知识经验为基础，学生的知识水平和认知基础也影响着进一步的学习，教师需要了结学生的真实水平和能力。来自前测的多样的图示表征，能够展示学生的原认知，教师可以充分了解学生的知识基础，学生之间也可以互相了解和学习。
（2）尝试多元展示错误，呈现学生疑点
在学生的学习过程中，错误不可避免。学生的认知能力和知识的掌握程度不同，导致学习效果也不同学生因不掌握而出现的错误需要老师加以关注，正确面对学生的错误，并积极进行深入的分析，让错误成为孩子学习的资源。
（3）个性展示充分交流，放大学生难点
在数学学习活动中，教师应鼓励学生有自由的空间和灵活解决问题的方式，激发学生个性化地学习，同时在感悟中体会方法的最优化，教师还可以捕捉不同思维方法的亮点和闪光点，让学生充分展示。在交流当中，也将计就计地将难点放大，从而营造大家共同解决问题的良好氛围。教师要有所为，理清何时为，如何为的问题，尽量为学生搭建交流平台，留出学习的空间与时间，展现外化的思维。让学生当小老师讲算法和算理，生生间、师生间互相倾听、交流、追问辩论，使得原本错误的方法越辩越清晰，模糊的概念越来越清晰，知识从表面的到达会逐步走向深入，从而逐步感悟到计算的本质。
2. 策略二：巧辩“多元表征”引发冲突，让算理思维可视
《2011版课标》中指出教学活动是师生积极参与、交往互动，共同发展的过程，要突出学生的主体地位，就要体现学生在自主的基础上互动的过程。让学生基于一定的学习素材、多元表征争辩起来，激活思维，求异创新，发挥潜能。
辨析环节是有效学习的重要环节，是学生是否真正理解算理、真正掌握方法的关键，是否能够将新经验与原认知进行有效沟通，内化，构建学生自己的认知结构，辨析是重要学习方式。经过多次实践，笔者认为要关注以下三点：
（1）布置多元表征任务，生长点创生经验
学生在学习过程中积累的数学活动经验，为后续学习有重要的启发和方法性的作用。以学生的多元表征为任务驱动，请学生自主思考、理解新知，基于开放多元的任务布置，从而给后续辨析铺垫。同时，借助多元表征，催生新的数学活动经验，引导学生能动而深度学习，促进学习里生长。
图1 小学数学基于任务驱动的多元表征课堂示意图
（2）组织多元表征讨论，体验点丰富经验
学生的有效的教学活动经验的形成，是建立在学生有意义的理解的基础之上的，学生经历讨论，将从外在的，他人的经验中进行内化，认同后，会并入自己的学习系统。基于学生的多元表征，教师搭建讨论平台，一方面引导学生反思自己的学习过程，同时创设分享机会，将自己的学习思考更加清晰化、明确化、外显化。
（3）巧辩多元表征成果，融通点内化经验
学生在数学学习活动中积累的数学活动经验，需要与原认知发生联系，才能让他们获得的经验具有实质性的意义，才能真正内化。通过课堂争辩，辨析，使学生从直观的感知，表面的具体的理解上升到对本质意义的理解，从而有助于学生抽象出数学规律的理解。在争辩的过程中，学生能从一种表征方式转换到另一种表征方式，就会逐渐对各种表征方式进行转化，在融通点对新知进行真正的内化。
3. 策略三：直击“数学本质”展开表征，让“形”不同而“理”为一
数学本质包含对数学思想方法的把握、对数学特有思维方式的感悟。围绕数学本质展开的教学和学习是有价值的，学生才能从本质上理解数学，获得最扎实的知识，从而得到更好的发展。对算理、概念进行表征也是如此，我们要摒弃花架子，有效突出数学内容的本质。
（1）静态呈现想动态——算法的描述与归纳
学生笔算48÷3时，首位相除有余与后一位数合起来接着除理解有困难，那么在探究首位相除无余的42÷2时，就应该让学生经历一位数除多位数的笔算过程，充分理解算理，掌握笔算方法。借助操作表征，将动态转化为静态的写商过程，再通过深入算理→笔列口说→理到法成，将除数是一位数的除法的计算算理从静态的想动态的。让学生经历算法的探究以及总结描述的全过程。
（2）数形沟通来说理——难点易错处的预测
“数”是指数及数量关系，“形”主要指直观图形，数形结合就是通过数与形的相互转化、互相利用帮助学生建立数感，提高思维能力。在计算教学中，难点易错处数形沟通，让学生深度探究数学本质，更好地理解算理，掌握算法。例如学习52÷2时，学生思考重点是：当十位除以2，余下的1个十后怎么办？在数式中，4和12分别是怎样写的。借助小棒表征后，学生能充分理解算理，分步呈现竖式的计算过程，并能辅助学生独立说出每一步的计算结果的含义。
（3）巧用练习契机点——建立模型水到渠成
2011版的课程标准当中明确提出了模型思想，模型思想也越来越多被运用到课堂教学当中，教师通过多种途径来建立模型，例如情境感知、活动体验等，同时也可以通过巧妙设计练习，抓住时机也可以建立数学模型，渗透模型思想。教师的练习设计，从图→式，从式→图，从口算→笔算→验算→估算→建模→总结，多元巧设，理法合一。
四、 望：数学课堂“多元表征”学习方式应用的思考
（一）展现数学表征的过程使其更具科学性
近年来，随着认知心理学被引人数学教育研究领域，学习主体的内部心理结构及其变化规律的研究逐渐成为人们关注的话题。表征已经成为数学解题理论中的核心概念。寻找数学表征的基本规律已经成为提高学生数学能力的关键环节。因此合理展现信息表征的过程使其更具科学性需要进一步反思。
（二）优化数学表征的交流逐步提升其价值
在解决数学问题的过程中，表征能力能够优化问题结构，降低解决难度，使学生更好地理解数学问题。同时优化表征信息的方式，使其逐步拓展学生的抽象思维，帮助学生构建更加合理准确的数学问题解决的模型，提升数学学科学习的价值，培养学生的重要的数学能力，从而达到数学核心素养的培养。因此交流学生的表征，提高表征价值也需要數学教师不断地思考。
参考文献：
[1]斯苗儿.小学数学课堂教学案例透视[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011，50（1）：1-9.
作者简介：
阮丽华，浙江省杭州市，杭州市袁浦小学。
关键词：思维;小学数学计算教学;学习资源
一、 叹：直面现状追原因
经调查了解学生学习“数与代数”领域当中有关数的运算的实际情况，在各个学段都发现学生的计算错误，有的错误逐年积累，一直影响着学生其他方面的学习，甚至阻碍学生思维的发展。因此，笔者提出教师应重视学生的计算能力和计算错误，探究原因，基于表征等学习方式，让计算的算理可视，可辨，从而提升学生的计算能力。
（一）表征纷乱目的不清：思维与实际脱离
学生对数学问题、数学概念的理解和解决的过程很多同学只会模仿，但是却不能表达自己对算理的理解。
（二）表征运用的形式单一：算法无算理支撑
教师知道表征能力培养的必要性，但却没有引发学生的关注，画示意图、线段图、列表等丰富表征形式被学生看成了额外的“任务”，教师面对单一的表征也束手无策，导致学生在理解计算算理时缺乏可视的直观图支撑，逐渐使学生缺失了学习的主动性和表达的创造力。
（三）表征内容使用效率低：表征与教学相离
有的教学内容，学生对表征很感兴趣，例如乘法的计算，有余数的除法等学生想象力极丰富，但是教师缺乏梳理统整，或是评价的时候缺乏遵循一定的“序”，使得表征作品使用效率降低，这与老师的评价有关，也与教师的生本观有关。
二、 思：小學阶段“多元表征”学习价值的再思考
计算教学的错误总伴随着学生的学习和教师的教学存在，学生因运算意义不理解从而出现计算错误总存在，这说明我们的教学存在问题。学生表征算理能力缺失也会不利于学生的思维能力的提升。
（一）积累表征经验，引导运算意义更清晰
儿童心理学认为：小学生思维特点以形象思维为主，获取知识在形象感受、感知的基础上逐步建立表象而形成概念的。而人教版新教材重视对算理的理解，强调对运算意义和价值的理解，让学生依托多元素材表征积累表象经验，明晰表征运算的意义，可以更加丰富、更加深刻地理解运算，对学生构建运算模型有重要作用。
（二）论透多元表征，沟通数学思维立模型
人教版数学新教材有关数的运算包含了整数、小数、分数的四则运算意义、计算法则和运算定律、四则混合运算三个部分。在新教材中也多处将例题对比编排，就是为了让学生在对比中辨析运算的意义，在课堂教学中，让学生基于图形表征、文字表征、符号表征、动作表征等多元表征，展开充分的讨论、辨析，学透、论透计算的意义，明晰算理，碰撞思维，激发灵感，在同桌、小组、全班等多样的形式当中，来发散学生的数学思维，提升运算能力。
（三）优化多元表征，丰富运算策略促发展
在教学中学生对运算意义的理解以及表征能力会大不相同，表征的形式也会不同，从而形成多元的学习素材。教师应尊重学生的积极性、主动性和创造性，同时让学生捕捉不同方法的思维亮点，从而激发学生的创新灵感，丰富运算策略。同时教师也不必索要多样化的多元表征，不必为了体现多元而多元，为了追求呈现的素材的华丽，不必走低层次表征路线，而应该实实在在去关注有价值的学习素材。
三、 行：“多元表征”在小学数学计算教学中的实践探索
“计算教学”学习分布在每册教学中，首先对于整个小学阶段学习内容进行梳理，整理小学阶段的“计算教学”学习内容之间的一些方法。
（一）追根溯源：整体解读明目标
1. 一读课改，明确要求
计算能力是小学数学中最基本的技能，《2011课程标准》把计算能力作为数学课程学习的重要内容，计算能力有助于学生自身发展，有助于学生适应社会发展的重要能力。计算也贯穿着数学教学的始终。基于多元表征的学习是基于学生认知规律，科学利用认知规律，组织引导学生进行数学深度学习的学习方式，其本质内涵是将数学学习对象进行心理多元认知编码并与之建立对应、建构意义联系，逐步建构“内化—联系—外化”的深度学习生态循环系统。
2. 二理教材，把握要点
新教材、新课标对“数的运算”做出的改变，是从重视算法的掌握、运算技能的熟练，转变为关注算理、运算意义的建构。这样的改变这有利于学生更好地运用数学解决问题，促进学生数学素养的形成。因此笔者对教材内容进行梳理，通过整理和统计，发现并非所有的计算课都需要学生来进行表征，计算教学的难度呈螺旋式上升，部分内容是前期学习的延续和拓展，部分内容是新的，需要借助多元表征等其他学习方式帮助学生明晰算理，表述过程，充分沟通联系。
3. 三寻联系，关注方式
通过前后教材的联系对比，我们发现多元表征是学生理解算理的一个学习方式，但并不是所有的计算都需要进行表征的，呈现的形式也不能一味单一，而是要以学生的实际、教学的实际和见解的表达方式多维度结合进行思考的。
（二）实践探索——课堂践行觅优化
基于多元表征提升学生的计算能力，深度学习算力，让学生思维可视，算理可辨，提升计算的灵活性、自主性、准确性，下面是笔者思考和实践中发现的有效的策略尝试：
1. 策略一：巧借“前测”暴露原认知，让学生思维可视
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。基于此，教师在课前通过设计合理的前测学习单，让学生在已有的知识经验的基础上对即将学习的内容进行分析和表达，然后教师根据学生的情况精心设计教学活动，这样的设计将会更加有效和有针对性。回顾整个实践的过程，笔者认为呈现学生的前测资源着重需关注三点： （1）巧示多样图示表征，了解学生起点
学生的数学学习是以学生的认知发展水平和已有的知识经验为基础，学生的知识水平和认知基础也影响着进一步的学习，教师需要了结学生的真实水平和能力。来自前测的多样的图示表征，能够展示学生的原认知，教师可以充分了解学生的知识基础，学生之间也可以互相了解和学习。
（2）尝试多元展示错误，呈现学生疑点
在学生的学习过程中，错误不可避免。学生的认知能力和知识的掌握程度不同，导致学习效果也不同学生因不掌握而出现的错误需要老师加以关注，正确面对学生的错误，并积极进行深入的分析，让错误成为孩子学习的资源。
（3）个性展示充分交流，放大学生难点
在数学学习活动中，教师应鼓励学生有自由的空间和灵活解决问题的方式，激发学生个性化地学习，同时在感悟中体会方法的最优化，教师还可以捕捉不同思维方法的亮点和闪光点，让学生充分展示。在交流当中，也将计就计地将难点放大，从而营造大家共同解决问题的良好氛围。教师要有所为，理清何时为，如何为的问题，尽量为学生搭建交流平台，留出学习的空间与时间，展现外化的思维。让学生当小老师讲算法和算理，生生间、师生间互相倾听、交流、追问辩论，使得原本错误的方法越辩越清晰，模糊的概念越来越清晰，知识从表面的到达会逐步走向深入，从而逐步感悟到计算的本质。
2. 策略二：巧辩“多元表征”引发冲突，让算理思维可视
《2011版课标》中指出教学活动是师生积极参与、交往互动，共同发展的过程，要突出学生的主体地位，就要体现学生在自主的基础上互动的过程。让学生基于一定的学习素材、多元表征争辩起来，激活思维，求异创新，发挥潜能。
辨析环节是有效学习的重要环节，是学生是否真正理解算理、真正掌握方法的关键，是否能够将新经验与原认知进行有效沟通，内化，构建学生自己的认知结构，辨析是重要学习方式。经过多次实践，笔者认为要关注以下三点：
（1）布置多元表征任务，生长点创生经验
学生在学习过程中积累的数学活动经验，为后续学习有重要的启发和方法性的作用。以学生的多元表征为任务驱动，请学生自主思考、理解新知，基于开放多元的任务布置，从而给后续辨析铺垫。同时，借助多元表征，催生新的数学活动经验，引导学生能动而深度学习，促进学习里生长。
图1 小学数学基于任务驱动的多元表征课堂示意图
（2）组织多元表征讨论，体验点丰富经验
学生的有效的教学活动经验的形成，是建立在学生有意义的理解的基础之上的，学生经历讨论，将从外在的，他人的经验中进行内化，认同后，会并入自己的学习系统。基于学生的多元表征，教师搭建讨论平台，一方面引导学生反思自己的学习过程，同时创设分享机会，将自己的学习思考更加清晰化、明确化、外显化。
（3）巧辩多元表征成果，融通点内化经验
学生在数学学习活动中积累的数学活动经验，需要与原认知发生联系，才能让他们获得的经验具有实质性的意义，才能真正内化。通过课堂争辩，辨析，使学生从直观的感知，表面的具体的理解上升到对本质意义的理解，从而有助于学生抽象出数学规律的理解。在争辩的过程中，学生能从一种表征方式转换到另一种表征方式，就会逐渐对各种表征方式进行转化，在融通点对新知进行真正的内化。
3. 策略三：直击“数学本质”展开表征，让“形”不同而“理”为一
数学本质包含对数学思想方法的把握、对数学特有思维方式的感悟。围绕数学本质展开的教学和学习是有价值的，学生才能从本质上理解数学，获得最扎实的知识，从而得到更好的发展。对算理、概念进行表征也是如此，我们要摒弃花架子，有效突出数学内容的本质。
（1）静态呈现想动态——算法的描述与归纳
学生笔算48÷3时，首位相除有余与后一位数合起来接着除理解有困难，那么在探究首位相除无余的42÷2时，就应该让学生经历一位数除多位数的笔算过程，充分理解算理，掌握笔算方法。借助操作表征，将动态转化为静态的写商过程，再通过深入算理→笔列口说→理到法成，将除数是一位数的除法的计算算理从静态的想动态的。让学生经历算法的探究以及总结描述的全过程。
（2）数形沟通来说理——难点易错处的预测
“数”是指数及数量关系，“形”主要指直观图形，数形结合就是通过数与形的相互转化、互相利用帮助学生建立数感，提高思维能力。在计算教学中，难点易错处数形沟通，让学生深度探究数学本质，更好地理解算理，掌握算法。例如学习52÷2时，学生思考重点是：当十位除以2，余下的1个十后怎么办？在数式中，4和12分别是怎样写的。借助小棒表征后，学生能充分理解算理，分步呈现竖式的计算过程，并能辅助学生独立说出每一步的计算结果的含义。
（3）巧用练习契机点——建立模型水到渠成
2011版的课程标准当中明确提出了模型思想，模型思想也越来越多被运用到课堂教学当中，教师通过多种途径来建立模型，例如情境感知、活动体验等，同时也可以通过巧妙设计练习，抓住时机也可以建立数学模型，渗透模型思想。教师的练习设计，从图→式，从式→图，从口算→笔算→验算→估算→建模→总结，多元巧设，理法合一。
四、 望：数学课堂“多元表征”学习方式应用的思考
（一）展现数学表征的过程使其更具科学性
近年来，随着认知心理学被引人数学教育研究领域，学习主体的内部心理结构及其变化规律的研究逐渐成为人们关注的话题。表征已经成为数学解题理论中的核心概念。寻找数学表征的基本规律已经成为提高学生数学能力的关键环节。因此合理展现信息表征的过程使其更具科学性需要进一步反思。
（二）优化数学表征的交流逐步提升其价值
在解决数学问题的过程中，表征能力能够优化问题结构，降低解决难度，使学生更好地理解数学问题。同时优化表征信息的方式，使其逐步拓展学生的抽象思维，帮助学生构建更加合理准确的数学问题解决的模型，提升数学学科学习的价值，培养学生的重要的数学能力，从而达到数学核心素养的培养。因此交流学生的表征，提高表征价值也需要數学教师不断地思考。
参考文献：
[1]斯苗儿.小学数学课堂教学案例透视[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011，50（1）：1-9.
作者简介：
阮丽华，浙江省杭州市，杭州市袁浦小学。