论文部分内容阅读
[摘要]本文主要从四个方面对近七年的广东省数学试题中的立体几何部分进行了分析，并针对高三备考提出了一些建议。
[关键词]广东 高考 立体几何 命题特点 对策
从2004年开始，广东高考步入自主命题行列(其中近4年是实施新课程标准的内容考查)。整体来看，试卷结构不断趋于合理，难度把握适中，比较符合目前广东高中学生数学学习的现状，同时继续保持创新的精神。立体几何作为支撑高中数学知识体系的重要知识模块之一，是历年高考必考的重点内容。七年过去了，立体几何的命题有什么特点？是否有一定的规律？本文旨在这方面做一些肤浅的分析。
一、考情掠影
下面是对从2004年至2010年的近七年广东高考考查的立体几何内容做简要的统计：
二、特点分析
从以上表格的统计分析可看出，近几年广东高考立体几何试题的主要特点是——“遵循考纲要求，深化课标理念，坚持稳中求新”。
1.保持平稳
广东高考立体几何题彰显课标理念，突出空间想象能力的考查，试题特点和态势可大致归纳为以下六点：
（1）试题难度总体定位在中、低档，其解答题往往在前三题的位置，是学生的主要得分点之一。07、08年的理科立体几何解答题的位置虽然作了一些新的尝试，分别放到了第四、第五道，但09、10年最终又回到了第三道的位置。从07年起新课标对立体几何的要求有所下降,考查难度也随之下降，文科难度下降更加明显。
（2）命题形式以大（解答题）小（选择题和填空题）搭配最为常见，其结构特点符合立体几何在高中数学中的课时比例。前三年高考中立体几何所占的分值为22～24分；随着新课程内容的变化，后四年高考中立体几何所占的分值有所下降，为17～19分；题量也由原来的”两小一大”变为”一小一大”。
（3）考查内容：选择填空题重点考查基础知识，如空间线面位置（尤其平行与垂直）关系的判断，简单的空间角、体积、面积的计算等；解答题重点考察立体几何中的综合问题，如平行与垂直关系的推理论证，夹角、几何体体积和面积的计算等；其中二面角（理科）的求解是热点中的炙点；解答题一般由二至三个小问题构成，它是空间几何与函数、三角、向量等知识的整合，着重考察学生的空间概念、分析与判断、推理与证明以及代数运算的能力，设问由浅入深，得分容易，但也需要一定量的过手训练才能完成。
（4）注重文理差异，从07年起文科以位置关系判断和体积（面积）计算为重点，理科以位置关系和角度计算为重点，兼顾综合法与向量法。难度方面文科属基本题，理科属中等难度试题。文科试题比较稳定，侧重三视图，基本的推理以及面积、体积、线段等计算，对空间各种角不要求。理科试题比文科试题要求要高，理科试题注重空间线、面关系的考查，以及各种角的计算，对于距离的要求不高。
（5）紧扣新课标，新增内容是热点，大、小题都有考，但都以容易题出现，如三视图；被删掉或降低要求的内容也相应地不再出现或降低了要求，如三垂线定理、推理论证等。
（6）注重平面几何知识的渗透运用。07年文科渗透等腰三角形性质的应用，理科以平面图形翻折为背景，考查线段的比例关系以及几何量的可变性和不变性；08年将平面几何知识与立体几何知识有机整合，以数量关系反映位置关系；10年文、理科都增多了用平面几何知识进行计算的步骤。
2.注重创新
创新是高考命题永恒不变的旋律，主要体现在以下几点：
（1）构图新颖。04、05年图形为长方体、四面体，06年的图形类似台体上下均为圆；07年文科以三视图为背景，理科以平面图形（等腰三角形）翻折为背景；08年选择题考查了非规则几何体的三视图，解答题以四棱锥为背景，其底面为圆的内接四边形；09年文科以“安全标识墩”为背景，结合“三视图”，理科以正方体为载体，结合投影；10年的图形类似三棱锥底面为半圆。
（2）理科不是很稳定。04年是长方体中的角度计算问题（可以建系）；05年不好建系，锥体，发现直角很难；06年类似台体上下均为圆，方法多样，能建系；07不需建系，08可以建系但不简单，并且前所未有地排到了第20题；09能建系，10不需建系。虽然在不断地变化，但都坚持了“对立体几何内容的考查重在空间想象能力，理科试题兼顾几何和向量方法”的做法。
（3）题型设计新颖
“归纳、类比”的视角：立体几何是考查学生思维能力和空间想像能力的绝好素材，归纳、类比是思维能力的重要组成部分，因此立体几何便成为类比创新型试题的最佳载体。04年的第15题、07年理科的第12题，这两道试题都体现了由“低维”向“高维”的类比模式，即由平面几何的性质推广到空间立体几何的相关性质。它们有效地考查了学生合情推理能力，对考查学生的创新能力起到了积极的推动作用。
“大跨度组合”的视角：“组合即创造”，艺术和科学上的许多事实都印证了这一点。高考强调在知识的交汇处设计试题，这就使实现大跨度组合成为了可能。07年理科试题为折叠问题中的最值问题，先建立函数关系式，再用导数求解，第三问为用向量方法求异面直线所成的角。这题集折叠问题、最值问题和导数为一体，体现了函数思想，淡化了推理论证，符合新课标对立体几何处理的思想。
三、命题趋势
从2007至2010年的考试大纲与考试说明数学科目基本没有变动，这一特点说明我省数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。从以上分析可预计2011年立体几何的命题有如下几个显著特点：
（1）高考题型：一小一大命题，分值在14分左右。
（2）难易程度：小题均为基础题，且文理没有区别；解答题的位置在第三道左右，以中等偏易试题为主。（3）高考热点：三视图仍然是热点，另外证明线线、线面、面面平行与垂直，求解空间角等重点内容也会重点得考查。预测三视图的考查方式为：①考查对三视图的理解；②与有关的计算问题联系起来进行考查。
（4）文理要求差异明显：文科常考点是利用三视图，通过识图、辨图、画图及对线面平行与垂直的判定与性质定理三种语言的转换来考察学生的空间想象能力，通过证明线线、线面、面面平行与垂直来考查学生的逻辑推理能力，通过求几何体的面积与体积来考查学生的计算能力。理科在此基础上要求会更高些，以空间位置关系判断和空间角计算为重点，兼顾综合法与向量法，且逐步淡化向量方法在立体几何中的工具作用；在知识网络的交汇点处设计命题仍然是2011年高考数学命题的主旋律，如立体几何与函数、导数、三角函数等知识的综合运用。
四、备考对策
1、立足课本，控制难度
课本例题具有紧扣教材、简明扼要、难度适中、方法典型、符合“通性通法”的特点，在复习中，注意回归课本整合习题资源进行变式教学，并且控制好题目的难度，不出偏题、怪题。
2、完备网络，突出主干
立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，并牢固树立以下的思维脉络：证面面垂直（平行）转化为证线面垂直（平行），再转化为证线线垂直（平行）。以下是笔者在备考过程中帮助学生归纳的一些方法：
判定“线∥线”的方法：（1）初中知识：三角形的中位线平行于第三边；平行四边形的两组对边分别平行。（2）平行于同一条直线的两条直线平行。（3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（5）垂直于同一个平面的两条直线平行。
判定“线∥面”的方法：（1）定义：直线与平面没有公共点。（2）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个面。
判定“面∥面”的方法：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）平行于同一个平面的两个平面平行。（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
判定“线⊥线”的方法：（1）初中知识：勾股定理的逆定理；在圆中直径所对的圆周角是直角；菱形、正方形的对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合。（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
判定“线⊥面”的方法：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。（4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。
判定“面⊥面”的方法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
所有的定义、定理、公理除了能熟练口述外，还要能用符号及图形语言准确描述。
3、重视想象，识图画图
立体几何的考查重在空间想象能力．对三视图、与三视图结合的计算以及简单的推理论证必须重视．加强对三视图的训练，尤其是加大对识图、辨图及画图训练（包括三视图与直观图的转换），培养学生的空间感。告诉学生要重视模型意识，善于利用身边现有的纸、笔、教室空间帮助想象。理科还要关注通过平面图形的翻折考查空间想象能力的题型，会把非标准图形转化为标准图形。
4、研究课标考纲，把握方向
认真学习研究课程标准与考试大纲要求，强化基础知识基本技能。做到：
（1）删减的内容不补充，淡化的内容不加强。如：三垂线定理；推理论证的难度；空间中的距离；理科不要过分强调向量这一工具作用；文科对空间角、距离都不做要求。
（2）对传统重点知识要重点复习，对新增知识要加强基础训练。如：几何体的面积与体积计算；并且在椎体体积计算中必须指导学生形成等体积的观念，先找高后确定底面。
（3）不要忽视课标、考纲中有要求但近年高考没有出现的内容。如：要求“会用斜二测画法画出它们的直观图”，斜二测画法中的平行于y轴的位置、长度关系不容忽略。
（作者单位：广东省佛山市禅城实验高级中学）
[关键词]广东 高考 立体几何 命题特点 对策
从2004年开始，广东高考步入自主命题行列(其中近4年是实施新课程标准的内容考查)。整体来看，试卷结构不断趋于合理，难度把握适中，比较符合目前广东高中学生数学学习的现状，同时继续保持创新的精神。立体几何作为支撑高中数学知识体系的重要知识模块之一，是历年高考必考的重点内容。七年过去了，立体几何的命题有什么特点？是否有一定的规律？本文旨在这方面做一些肤浅的分析。
一、考情掠影
下面是对从2004年至2010年的近七年广东高考考查的立体几何内容做简要的统计：
二、特点分析
从以上表格的统计分析可看出，近几年广东高考立体几何试题的主要特点是——“遵循考纲要求，深化课标理念，坚持稳中求新”。
1.保持平稳
广东高考立体几何题彰显课标理念，突出空间想象能力的考查，试题特点和态势可大致归纳为以下六点：
（1）试题难度总体定位在中、低档，其解答题往往在前三题的位置，是学生的主要得分点之一。07、08年的理科立体几何解答题的位置虽然作了一些新的尝试，分别放到了第四、第五道，但09、10年最终又回到了第三道的位置。从07年起新课标对立体几何的要求有所下降,考查难度也随之下降，文科难度下降更加明显。
（2）命题形式以大（解答题）小（选择题和填空题）搭配最为常见，其结构特点符合立体几何在高中数学中的课时比例。前三年高考中立体几何所占的分值为22～24分；随着新课程内容的变化，后四年高考中立体几何所占的分值有所下降，为17～19分；题量也由原来的”两小一大”变为”一小一大”。
（3）考查内容：选择填空题重点考查基础知识，如空间线面位置（尤其平行与垂直）关系的判断，简单的空间角、体积、面积的计算等；解答题重点考察立体几何中的综合问题，如平行与垂直关系的推理论证，夹角、几何体体积和面积的计算等；其中二面角（理科）的求解是热点中的炙点；解答题一般由二至三个小问题构成，它是空间几何与函数、三角、向量等知识的整合，着重考察学生的空间概念、分析与判断、推理与证明以及代数运算的能力，设问由浅入深，得分容易，但也需要一定量的过手训练才能完成。
（4）注重文理差异，从07年起文科以位置关系判断和体积（面积）计算为重点，理科以位置关系和角度计算为重点，兼顾综合法与向量法。难度方面文科属基本题，理科属中等难度试题。文科试题比较稳定，侧重三视图，基本的推理以及面积、体积、线段等计算，对空间各种角不要求。理科试题比文科试题要求要高，理科试题注重空间线、面关系的考查，以及各种角的计算，对于距离的要求不高。
（5）紧扣新课标，新增内容是热点，大、小题都有考，但都以容易题出现，如三视图；被删掉或降低要求的内容也相应地不再出现或降低了要求，如三垂线定理、推理论证等。
（6）注重平面几何知识的渗透运用。07年文科渗透等腰三角形性质的应用，理科以平面图形翻折为背景，考查线段的比例关系以及几何量的可变性和不变性；08年将平面几何知识与立体几何知识有机整合，以数量关系反映位置关系；10年文、理科都增多了用平面几何知识进行计算的步骤。
2.注重创新
创新是高考命题永恒不变的旋律，主要体现在以下几点：
（1）构图新颖。04、05年图形为长方体、四面体，06年的图形类似台体上下均为圆；07年文科以三视图为背景，理科以平面图形（等腰三角形）翻折为背景；08年选择题考查了非规则几何体的三视图，解答题以四棱锥为背景，其底面为圆的内接四边形；09年文科以“安全标识墩”为背景，结合“三视图”，理科以正方体为载体，结合投影；10年的图形类似三棱锥底面为半圆。
（2）理科不是很稳定。04年是长方体中的角度计算问题（可以建系）；05年不好建系，锥体，发现直角很难；06年类似台体上下均为圆，方法多样，能建系；07不需建系，08可以建系但不简单，并且前所未有地排到了第20题；09能建系，10不需建系。虽然在不断地变化，但都坚持了“对立体几何内容的考查重在空间想象能力，理科试题兼顾几何和向量方法”的做法。
（3）题型设计新颖
“归纳、类比”的视角：立体几何是考查学生思维能力和空间想像能力的绝好素材，归纳、类比是思维能力的重要组成部分，因此立体几何便成为类比创新型试题的最佳载体。04年的第15题、07年理科的第12题，这两道试题都体现了由“低维”向“高维”的类比模式，即由平面几何的性质推广到空间立体几何的相关性质。它们有效地考查了学生合情推理能力，对考查学生的创新能力起到了积极的推动作用。
“大跨度组合”的视角：“组合即创造”，艺术和科学上的许多事实都印证了这一点。高考强调在知识的交汇处设计试题，这就使实现大跨度组合成为了可能。07年理科试题为折叠问题中的最值问题，先建立函数关系式，再用导数求解，第三问为用向量方法求异面直线所成的角。这题集折叠问题、最值问题和导数为一体，体现了函数思想，淡化了推理论证，符合新课标对立体几何处理的思想。
三、命题趋势
从2007至2010年的考试大纲与考试说明数学科目基本没有变动，这一特点说明我省数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。从以上分析可预计2011年立体几何的命题有如下几个显著特点：
（1）高考题型：一小一大命题，分值在14分左右。
（2）难易程度：小题均为基础题，且文理没有区别；解答题的位置在第三道左右，以中等偏易试题为主。（3）高考热点：三视图仍然是热点，另外证明线线、线面、面面平行与垂直，求解空间角等重点内容也会重点得考查。预测三视图的考查方式为：①考查对三视图的理解；②与有关的计算问题联系起来进行考查。
（4）文理要求差异明显：文科常考点是利用三视图，通过识图、辨图、画图及对线面平行与垂直的判定与性质定理三种语言的转换来考察学生的空间想象能力，通过证明线线、线面、面面平行与垂直来考查学生的逻辑推理能力，通过求几何体的面积与体积来考查学生的计算能力。理科在此基础上要求会更高些，以空间位置关系判断和空间角计算为重点，兼顾综合法与向量法，且逐步淡化向量方法在立体几何中的工具作用；在知识网络的交汇点处设计命题仍然是2011年高考数学命题的主旋律，如立体几何与函数、导数、三角函数等知识的综合运用。
四、备考对策
1、立足课本，控制难度
课本例题具有紧扣教材、简明扼要、难度适中、方法典型、符合“通性通法”的特点，在复习中，注意回归课本整合习题资源进行变式教学，并且控制好题目的难度，不出偏题、怪题。
2、完备网络，突出主干
立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，并牢固树立以下的思维脉络：证面面垂直（平行）转化为证线面垂直（平行），再转化为证线线垂直（平行）。以下是笔者在备考过程中帮助学生归纳的一些方法：
判定“线∥线”的方法：（1）初中知识：三角形的中位线平行于第三边；平行四边形的两组对边分别平行。（2）平行于同一条直线的两条直线平行。（3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（5）垂直于同一个平面的两条直线平行。
判定“线∥面”的方法：（1）定义：直线与平面没有公共点。（2）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个面。
判定“面∥面”的方法：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）平行于同一个平面的两个平面平行。（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
判定“线⊥线”的方法：（1）初中知识：勾股定理的逆定理；在圆中直径所对的圆周角是直角；菱形、正方形的对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合。（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
判定“线⊥面”的方法：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。（4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。
判定“面⊥面”的方法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
所有的定义、定理、公理除了能熟练口述外，还要能用符号及图形语言准确描述。
3、重视想象，识图画图
立体几何的考查重在空间想象能力．对三视图、与三视图结合的计算以及简单的推理论证必须重视．加强对三视图的训练，尤其是加大对识图、辨图及画图训练（包括三视图与直观图的转换），培养学生的空间感。告诉学生要重视模型意识，善于利用身边现有的纸、笔、教室空间帮助想象。理科还要关注通过平面图形的翻折考查空间想象能力的题型，会把非标准图形转化为标准图形。
4、研究课标考纲，把握方向
认真学习研究课程标准与考试大纲要求，强化基础知识基本技能。做到：
（1）删减的内容不补充，淡化的内容不加强。如：三垂线定理；推理论证的难度；空间中的距离；理科不要过分强调向量这一工具作用；文科对空间角、距离都不做要求。
（2）对传统重点知识要重点复习，对新增知识要加强基础训练。如：几何体的面积与体积计算；并且在椎体体积计算中必须指导学生形成等体积的观念，先找高后确定底面。
（3）不要忽视课标、考纲中有要求但近年高考没有出现的内容。如：要求“会用斜二测画法画出它们的直观图”，斜二测画法中的平行于y轴的位置、长度关系不容忽略。
（作者单位：广东省佛山市禅城实验高级中学）