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“2，5的倍数的特征”是苏教版五年级下册第三单元的学习内容。这是一节相对简单的课，无论是教师的教，还是学生的学，困难都不大，但笔者却将其上成了一节复杂的课。
【课堂呈现】
教学片段1：让学生确定探究起点，初次探究
师：今天，我们一起来研究“一个数的倍数的特征”。你们打算先研究哪个数的倍数的特征呢？
生：我打算先研究1的倍数的特征。
生：1的倍数的特征不需要研究，因为所有的自然数都是1的倍数。
生：那就先研究2的倍数的特征吧！
师：好！请大家自己研究，看看2的倍数有什么特征。
（学生独立探究）
师：发现2的倍数的特征了吗？
生：我按顺序写了一些2的倍数，发现它们的个位上都是2，4，6，8，0。
师：2的倍数，个位上一定都是2，4，6，8，0吗？
生：一定是。
师：2的倍数有无数个，你们才研究了很少的一部分，怎么就能确定所有2的倍数个位上都是2，4，6，8，0呢？
生：好像还不能确定。
師：老师给大家准备了百数表，请大家先在百数表中圈出所有2的倍数，再根据圈的结果想一想这个问题。
（学生在百数表中圈2的倍数）
师：现在能确定2的倍数的特征吗？
生：能。在百数表中，2的倍数都在个位是2，4，6，8，0的这五列，如果把所有自然数都按照百数表中的排列方式一直排列下去，所有2的倍数必然都在这五列。所以我能确定，2的倍数，个位上一定都是2，4，6，8，0。
师：2的倍数的特征我们知道了，反过来，个位上是2，4，6，8，0的数，一定是2的倍数吗？
生：是的。在百数表中，我们看到个位上是2，4，6，8，0的数都是2的倍数，继续排列下去也是如此。
师：得到这个结论有什么用呢？
生：有了这个结论，我们在判断一个数是不是2的倍数时，就不需要用这个数除以2，只需要看个位上的数就行了。
师：是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
（思考：课始教师没有直接让学生在百数表中研究“2，5的倍数的特征”，而是把探究的主动权交给学生，让学生决定研究的方向。学生在明白1的倍数的特征不需要研究后，继而开始研究2的倍数的特征，并且通过一一列举很快发现其特征。接着，教师引导学生展开理性思考，并利用百数表帮助学生确认了“2的倍数的特征”。最后，将“2的倍数的特征”反过来叙述就得到了其逆命题，学生再次借助百数表感悟到逆命题的确定性，从而得到2的倍数的判断方法，并体会到研究一个数的倍数的特征的价值。）
教学片段2：按照学生的研究思路，再次探究
师：2的倍数的特征我们知道了，接下来，你们打算研究哪个数的倍数的特征？
生：我打算研究3的倍数的特征。
生：我打算研究4的倍数的特征。
生：我打算研究5的倍数的特征。
……
师：按照你们的想法，我们来研究3，4，5这三个数的倍数的特征吧。
（学生先独立研究，再在小组内交流）
师：你们研究得到3的倍数的特征了吗？
生：3的倍数，个位上什么数都有，所以从个位上看不出3的倍数的特征。
师：看来，3的倍数的特征还不能确定啊！4的倍数呢？
生：4的倍数，个位上都是4，8，2，6，0。
师：这跟2的倍数的特征一样啊！
生：不一样，它们的顺序不一样。
师：根据这个结果，能判断一个数是不是4的倍数吗？
生：不能。个位上是2，4，6，8，0的数不都是4的倍数。
生：4的倍数的特征还需要进一步研究。
师：你们研究得到5的倍数的特征了吗？
生：5的倍数，个位上一定都是5或0。
师：这么肯定？
生：在百数表中，5的倍数都在个位是5或0的这两列，继续排列下去也是如此。
师：能依据这个特征判断一个数是5的倍数吗？
生：能。在百数表中，我们看到个位上是5或0的数都是5的倍数，继续排列下去也是如此。
师：通过刚才的研究，我们不仅得到了5的倍数的特征，还得到了5的倍数的判断方法。
（思考：学生在选择接下来研究什么数的倍数的特征时，因为不知道2，5的倍数的特征之间的联系，所以很自然地想要按顺序研究3，4，5这些数的倍数的特征。百数表在这里起到了重要的作用。借助百数表，学生不仅确认了5的倍数的特征，而且确定了其逆命题。让学生分别研究3，4，5的倍数的特征看似烦琐费时，但这些研究结果却为学生进一步探究2，5的倍数的特征之间的本质联系提供了对比的材料。）
教学片段3：依据学生自己的疑问，深入探究
生：老师，我有一个疑问，为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只看个位就行了？而3或4的倍数却不行呢？
师：好问题！他提出了两个问题，我们先来看第一个问题，为什么判断一个数是不是2，5的倍数，除个位以外的其他数位上的数可以不看呢？
生：我举个例子说明一下。432百位上的4表示4个100，因为100是2和5的倍数，4个100当然也是2和5的倍数，十位上的3表示3个10，10是2和5的倍数，3个10当然也是2和5的倍数，所以判断432是不是2或5的倍数只看个位上的2就行了。
生：因为10，100，1000等都是2和5的倍数，所以不论十位、百位、千位等数位上的数是多少，所表示的数一定都是2和5的倍数，所以判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位就行了。 生：还可以这样想，任何一个多位数都可以看成若干个10加个位上的数，因为10是2和5的倍数，若干个10也一定是2和5的倍数，所以判断一个数是不是2 或5的倍数，只看个位就行了。
师：第一个问题解决了，再看第二个问题，为什么判断一个数是不是3，4的倍数，不能只看个位呢？
生：因为10，100，1000等数不是3或4的倍数，所以不能只看个位上的数判断一个数是不是3或4的倍数。
生：你说的不对，10不是4的倍数，但100，1000等数都是4的倍数啊！
生：我想到判断一个数是不是4的倍数，可以只看这个数最后两位上的数。
师：你是怎么想的？
生：任何一个多位数都可以看成若干个100加上最后两位上的数，因为100是4的倍数，若干个100也是4的倍数，所以判断一个数是不是4的倍数只要看最后两位上的数就行了。
生：我还想到判断一个数是不是25的倍数，也可以只看后两位上的数，因为100也是25的倍数。
生：我还想到，判断一个数是不是8或125的倍数只要看后三位上的数就行了，因为1000是8和125的倍数。
师：通过今天的研究，我们不仅知道了2，5的倍数的特征，我们还知道了4，25，8，125等数的倍数的特征，这些数的倍数之所以有这样的特征，都与十进制计数法有关。
（思考：学生在按顺序探究了2，3，4，5这四个数的倍数的特征后，因为运用同样的探究方法却得到了不同的结论，必然会产生疑问。在解释疑问的过程中，学生不仅理解了“2，5的倍数的特征”与十进制计数法的本质联系，还得到了4的倍数的判断方法，并且还运用类比推理得到了25，8，125等数的倍数的判断方法。通过这样的学习过程，学生不仅获得了数学知识，而且积累了数学活动经验，发展了思维能力。）
【课后思考】
教师在教学简单的数学内容时，一般会将课也上得简单，但有时简单会让学生失去很多的感悟与体验，因此不妨将简单的课上得“复杂”一些。
一、将简单的课上“复杂”，是为了激发学生的学习需要
内在的学习需要是激励学生持续、深入学习的动力。对于高年级学生来说，那些开放的、具有适度挑战性的、落在最近发展区的学习任务更能激发他们的学习需要。
本课最简单、高效的教法是直接让学生在百数表中研究2，5的倍数的特征，但这样的学习任务是封闭的，对学生来说过于简单。笔者在本课的教学中并没有直入主题，而是将研究的主题改变为研究“一个数的倍数的特征”，并让学生自己决定研究的方向及研究的方法，这样开放的学习任务让学生获得了探究的自主性，他們的学习需要被充分激发。在探究过程中，当学生有序地研究完2，3，4，5这四个数的倍数的特征后，因为用同样的研究方法进行研究，却得到了不一样的研究结果，所以他们自发地产生了疑问，进一步激发了学习需要。
二、将简单的课上“复杂”，是为了帮助学生积累活动经验
数学活动的教学不仅要让学生获得数学知识，更要帮助学生积累数学学习活动经验。这样才能让学生由“学会”变为“会学”。为了让学生获得可迁移的数学活动经验，需要让学生经历完整的探究过程。
因为2，5的倍数的特征有着相同的数学本质，所以教材将它们放在一课中研究，而跳过了3，4的倍数的特征的研究。这样的探究活动虽然简单，但失去了探究的有序性、完整性，学生难以从此过程中获得完整的探究经验。笔者将探究的主动权交给学生，学生自发地按照数的顺序有序地进行探究，确定探究方向，提出探究问题，选择探究方法，并在探究过程中引发认知冲突，触发深度思考。整个探究活动都是由学生自己在推动。他们真正积累了活动经验，发展了思维能力。
三、将简单的课上“复杂”，是为了培养学生的理性思维
数学学科最重要的育人价值是培养学生的理性精神，而这可以通过培养学生的理性思维来实现。数学探究活动的教学不仅要让学生获得数学知识、积累数学活动经验，同时也应注重学生理性思维能力的培养。
本课教学中，笔者将百数表的功能由教材中的发现规律调整为验证、确定规律，这样的调整让学生直观地明白了2，5的倍数的特征的原命题及逆命题一定成立的道理，培养了学生的理性思维能力。在有序探究2，3，4，5这四个数的倍数特征后，笔者先让学生思考2，5的倍数为什么有相似的特征，在深入思考中学生明白了2，5的倍数的特征之间的本质联系。随后笔者让学生思考3，4的倍数为什么没有类似的特征，在思考中学生发现了4的倍数的特征，并通过类比推理得到了25，8，125等数的倍数的特征。在深入探理的过程中，学生的理性精神得到了进一步的培养。
（江苏省高邮实验小学东校区
【课堂呈现】
教学片段1：让学生确定探究起点，初次探究
师：今天，我们一起来研究“一个数的倍数的特征”。你们打算先研究哪个数的倍数的特征呢？
生：我打算先研究1的倍数的特征。
生：1的倍数的特征不需要研究，因为所有的自然数都是1的倍数。
生：那就先研究2的倍数的特征吧！
师：好！请大家自己研究，看看2的倍数有什么特征。
（学生独立探究）
师：发现2的倍数的特征了吗？
生：我按顺序写了一些2的倍数，发现它们的个位上都是2，4，6，8，0。
师：2的倍数，个位上一定都是2，4，6，8，0吗？
生：一定是。
师：2的倍数有无数个，你们才研究了很少的一部分，怎么就能确定所有2的倍数个位上都是2，4，6，8，0呢？
生：好像还不能确定。
師：老师给大家准备了百数表，请大家先在百数表中圈出所有2的倍数，再根据圈的结果想一想这个问题。
（学生在百数表中圈2的倍数）
师：现在能确定2的倍数的特征吗？
生：能。在百数表中，2的倍数都在个位是2，4，6，8，0的这五列，如果把所有自然数都按照百数表中的排列方式一直排列下去，所有2的倍数必然都在这五列。所以我能确定，2的倍数，个位上一定都是2，4，6，8，0。
师：2的倍数的特征我们知道了，反过来，个位上是2，4，6，8，0的数，一定是2的倍数吗？
生：是的。在百数表中，我们看到个位上是2，4，6，8，0的数都是2的倍数，继续排列下去也是如此。
师：得到这个结论有什么用呢？
生：有了这个结论，我们在判断一个数是不是2的倍数时，就不需要用这个数除以2，只需要看个位上的数就行了。
师：是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
（思考：课始教师没有直接让学生在百数表中研究“2，5的倍数的特征”，而是把探究的主动权交给学生，让学生决定研究的方向。学生在明白1的倍数的特征不需要研究后，继而开始研究2的倍数的特征，并且通过一一列举很快发现其特征。接着，教师引导学生展开理性思考，并利用百数表帮助学生确认了“2的倍数的特征”。最后，将“2的倍数的特征”反过来叙述就得到了其逆命题，学生再次借助百数表感悟到逆命题的确定性，从而得到2的倍数的判断方法，并体会到研究一个数的倍数的特征的价值。）
教学片段2：按照学生的研究思路，再次探究
师：2的倍数的特征我们知道了，接下来，你们打算研究哪个数的倍数的特征？
生：我打算研究3的倍数的特征。
生：我打算研究4的倍数的特征。
生：我打算研究5的倍数的特征。
……
师：按照你们的想法，我们来研究3，4，5这三个数的倍数的特征吧。
（学生先独立研究，再在小组内交流）
师：你们研究得到3的倍数的特征了吗？
生：3的倍数，个位上什么数都有，所以从个位上看不出3的倍数的特征。
师：看来，3的倍数的特征还不能确定啊！4的倍数呢？
生：4的倍数，个位上都是4，8，2，6，0。
师：这跟2的倍数的特征一样啊！
生：不一样，它们的顺序不一样。
师：根据这个结果，能判断一个数是不是4的倍数吗？
生：不能。个位上是2，4，6，8，0的数不都是4的倍数。
生：4的倍数的特征还需要进一步研究。
师：你们研究得到5的倍数的特征了吗？
生：5的倍数，个位上一定都是5或0。
师：这么肯定？
生：在百数表中，5的倍数都在个位是5或0的这两列，继续排列下去也是如此。
师：能依据这个特征判断一个数是5的倍数吗？
生：能。在百数表中，我们看到个位上是5或0的数都是5的倍数，继续排列下去也是如此。
师：通过刚才的研究，我们不仅得到了5的倍数的特征，还得到了5的倍数的判断方法。
（思考：学生在选择接下来研究什么数的倍数的特征时，因为不知道2，5的倍数的特征之间的联系，所以很自然地想要按顺序研究3，4，5这些数的倍数的特征。百数表在这里起到了重要的作用。借助百数表，学生不仅确认了5的倍数的特征，而且确定了其逆命题。让学生分别研究3，4，5的倍数的特征看似烦琐费时，但这些研究结果却为学生进一步探究2，5的倍数的特征之间的本质联系提供了对比的材料。）
教学片段3：依据学生自己的疑问，深入探究
生：老师，我有一个疑问，为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只看个位就行了？而3或4的倍数却不行呢？
师：好问题！他提出了两个问题，我们先来看第一个问题，为什么判断一个数是不是2，5的倍数，除个位以外的其他数位上的数可以不看呢？
生：我举个例子说明一下。432百位上的4表示4个100，因为100是2和5的倍数，4个100当然也是2和5的倍数，十位上的3表示3个10，10是2和5的倍数，3个10当然也是2和5的倍数，所以判断432是不是2或5的倍数只看个位上的2就行了。
生：因为10，100，1000等都是2和5的倍数，所以不论十位、百位、千位等数位上的数是多少，所表示的数一定都是2和5的倍数，所以判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位就行了。 生：还可以这样想，任何一个多位数都可以看成若干个10加个位上的数，因为10是2和5的倍数，若干个10也一定是2和5的倍数，所以判断一个数是不是2 或5的倍数，只看个位就行了。
师：第一个问题解决了，再看第二个问题，为什么判断一个数是不是3，4的倍数，不能只看个位呢？
生：因为10，100，1000等数不是3或4的倍数，所以不能只看个位上的数判断一个数是不是3或4的倍数。
生：你说的不对，10不是4的倍数，但100，1000等数都是4的倍数啊！
生：我想到判断一个数是不是4的倍数，可以只看这个数最后两位上的数。
师：你是怎么想的？
生：任何一个多位数都可以看成若干个100加上最后两位上的数，因为100是4的倍数，若干个100也是4的倍数，所以判断一个数是不是4的倍数只要看最后两位上的数就行了。
生：我还想到判断一个数是不是25的倍数，也可以只看后两位上的数，因为100也是25的倍数。
生：我还想到，判断一个数是不是8或125的倍数只要看后三位上的数就行了，因为1000是8和125的倍数。
师：通过今天的研究，我们不仅知道了2，5的倍数的特征，我们还知道了4，25，8，125等数的倍数的特征，这些数的倍数之所以有这样的特征，都与十进制计数法有关。
（思考：学生在按顺序探究了2，3，4，5这四个数的倍数的特征后，因为运用同样的探究方法却得到了不同的结论，必然会产生疑问。在解释疑问的过程中，学生不仅理解了“2，5的倍数的特征”与十进制计数法的本质联系，还得到了4的倍数的判断方法，并且还运用类比推理得到了25，8，125等数的倍数的判断方法。通过这样的学习过程，学生不仅获得了数学知识，而且积累了数学活动经验，发展了思维能力。）
【课后思考】
教师在教学简单的数学内容时，一般会将课也上得简单，但有时简单会让学生失去很多的感悟与体验，因此不妨将简单的课上得“复杂”一些。
一、将简单的课上“复杂”，是为了激发学生的学习需要
内在的学习需要是激励学生持续、深入学习的动力。对于高年级学生来说，那些开放的、具有适度挑战性的、落在最近发展区的学习任务更能激发他们的学习需要。
本课最简单、高效的教法是直接让学生在百数表中研究2，5的倍数的特征，但这样的学习任务是封闭的，对学生来说过于简单。笔者在本课的教学中并没有直入主题，而是将研究的主题改变为研究“一个数的倍数的特征”，并让学生自己决定研究的方向及研究的方法，这样开放的学习任务让学生获得了探究的自主性，他們的学习需要被充分激发。在探究过程中，当学生有序地研究完2，3，4，5这四个数的倍数的特征后，因为用同样的研究方法进行研究，却得到了不一样的研究结果，所以他们自发地产生了疑问，进一步激发了学习需要。
二、将简单的课上“复杂”，是为了帮助学生积累活动经验
数学活动的教学不仅要让学生获得数学知识，更要帮助学生积累数学学习活动经验。这样才能让学生由“学会”变为“会学”。为了让学生获得可迁移的数学活动经验，需要让学生经历完整的探究过程。
因为2，5的倍数的特征有着相同的数学本质，所以教材将它们放在一课中研究，而跳过了3，4的倍数的特征的研究。这样的探究活动虽然简单，但失去了探究的有序性、完整性，学生难以从此过程中获得完整的探究经验。笔者将探究的主动权交给学生，学生自发地按照数的顺序有序地进行探究，确定探究方向，提出探究问题，选择探究方法，并在探究过程中引发认知冲突，触发深度思考。整个探究活动都是由学生自己在推动。他们真正积累了活动经验，发展了思维能力。
三、将简单的课上“复杂”，是为了培养学生的理性思维
数学学科最重要的育人价值是培养学生的理性精神，而这可以通过培养学生的理性思维来实现。数学探究活动的教学不仅要让学生获得数学知识、积累数学活动经验，同时也应注重学生理性思维能力的培养。
本课教学中，笔者将百数表的功能由教材中的发现规律调整为验证、确定规律，这样的调整让学生直观地明白了2，5的倍数的特征的原命题及逆命题一定成立的道理，培养了学生的理性思维能力。在有序探究2，3，4，5这四个数的倍数特征后，笔者先让学生思考2，5的倍数为什么有相似的特征，在深入思考中学生明白了2，5的倍数的特征之间的本质联系。随后笔者让学生思考3，4的倍数为什么没有类似的特征，在思考中学生发现了4的倍数的特征，并通过类比推理得到了25，8，125等数的倍数的特征。在深入探理的过程中，学生的理性精神得到了进一步的培养。
（江苏省高邮实验小学东校区