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【摘 要】数学学科知识具有结构化的特点，数学教学可以借用结构主义的观点来思考、设计并实施。引导学生从知识前后的内在联系出发，感悟和探寻知识之间的内在逻辑联系，可以帮助学生建立完整、清晰的知识结构。教师运用知识主题结构化的设计，并以自身对教材教学内容的整体关联和把握为基础，引领学生感受知识结点间的逻辑关系，从而发展学生的数学结构化思维。
【关键词】知识主题 结构化设计 结构化思维
结构化的观点最早是由心理学家提出的，他们认为人的认知是有结构的。我们知道，数学作为一门基础性、普适性及工具性学科，其知识内部有着严密的逻辑，具有极强的结构化特点。就小学数学教材而言，其中的每个知识点都是数学逻辑结构上的一个结点，在其不同方位上都有与之相紧密关联的知识结点，因此，数学教学也可以借用结构化的观点来设计组织。
最近，笔者以“除法的初步认识”一课为例在区域内做课堂教学示范展示，试图运用知识主题结构化设计，尝试从结构化视角设计课时教学，在教学中引领学生感受知识结点间的逻辑关系，同时更好地发展学生数学结构化思维，变革数学课堂结构，推进我区“两新”素养课堂教学改革的创新实践。以下具体阐述本课教学的背景理念、设计意图和实践成效。
一、復习旧知，引入新课
（1）同学们，一年级咱们学习了加法和减法（板书：加法 减法），把两部分合起来用哪种运算？从总数里面去掉一部分呢？加法和减法有怎样的关系？（板书：相反，并在加法和减法之间用连线表示它们互为逆运算）
（2）这学期，我们在加减法的基础上又学习了什么？（板书：乘法）
出示：小朋友坐，每车坐2人，3车一共坐
（ ）人。
提问：6是怎么来的？（板书：2×3=6）2×3可以表示什么？（板书：3个2）
（3）我们一起回想一下：乘法是从什么运算转换而来的？（加法）什么样的加法可以转换成乘法？（求几个相同加数的和）求“几个几”的加法可以转换成乘法（在乘法和加法之间用连线表示它们相互转化的关系）。
【设计意图】本环节重在以学生原有知识经验为学习基础，通过“部分数+部分数=总数”的模型得出加法与减法之间的互逆关系，再通过“求几个相同加数的和”可以转化成“几个几”，即几和几相乘，建立乘法和加法的联系，让学生初步感受到加法、减法和乘法三种运算之间的结构关系，为后续学习感悟运算本质、体验和理解四则运算之间的关系做好方法和认知上的准备。
二、对比理解，教学新课
（一）教学教材第48页的例5
（1）理解题意：今天我们继续来学习一种新的运算方法。
出示：6个小朋友坐，每车坐2人，要坐
（ ）车。
一起读题，提问：这一次它告诉了我们什么？求什么？和刚才的问题还一样吗？（刚才是告诉我们每车坐2人，坐3车，求一共多少人;这里告诉我们有6人，每车坐2人，求坐几车）刚才告诉我们的现在变成了什么？（问题）刚才要求的问题现在变成了什么？（告诉我们的条件）条件和问题被怎么样了？（告诉我们的条件和要求的问题调换了位置）
【设计意图】除法运算在求解模型上与乘法是互逆的。为了让学生对这一本质有真切的感受，教师引导学生从实际问题入手，并与例前的练习加以对比，对比分析两题中告诉我们的信息和要求的问题有什么关系。这是一个很好的教学策略。
（2）认识含义：那我们一起来看，这里要把6个小朋友怎么样？就是按每2个分成一份。几被分了？（板书：6）用几去分？（板书：2）用2去分几？（用2去分6）就是“按每2个分成一份”，也就是每份都是几个？（2个）每份分得同样多，这样的分法叫什么？（板书：平均分）谁能完整说一说：这里是把6个小朋友怎样平均分？（板书：把6按每2个分成一份平均分）问要坐几车，就是求什么？（板书：分成几份）
【设计意图】无论是平均分两种分法中的哪一种分法，其实质都是“一个数被另一个数分了”或者“用一个数去分另一个数”，也就是数学上的“除以”和“除”的含义，笔者有意将“按每2个分成一份”的平均分这一含义与除法含义的本质性表达相沟通，有利于学生更加准确、深刻地认识除法的含义。
（3）认识除法：把6按每2个分成一份，求分成几份，还能用原来学习的乘法来算出结果吗？（不能）那就需要一种新的运算方法——除法，在数学上求平均分的结果就用除法计算。在这里：把6按每2个分成一份，是几被分了？6被几分了？6 被2分就写成什么？（板书：6÷2）反过来看，6÷2也表示“用2去分6”，意思是一样的。把6按每2个分成一份，分成了几份？（板书：=3）。
【设计意图】当学习一种新的知识成为学生解决真实问题的强烈需要时，学生对它的认识就会更主动、更有效，对它的认识也就更深刻。同时笔者通过追问将除法的本质含义和算式书写有机融合，从而使学生能从书写形式上进一步认识除法的含义。
（4）认识除号：6和2中间的这个符号就是除号。（板书：除号）怎样书写除号？（点，横，点）教师示范书写。除号就读作“除以”，学生跟读：除以。从左往右读作“6除以2”，学生读算式。
（5）操作验证：用除法计算的结果对不对，我们一起来检验一下，拿出6根小棒表示6个小朋友，按每几个一份平均分？你准备怎样分？（去掉一个几，看有没有分完？继续去掉一个几，直到分完）看，6被2分了，分成了几份？6除以2等于3，对不对？
【设计意图】一种新的运算若能解决新遇到的问题，在二年级学生看来是十分有意义的。因此，笔者设计了操作验证的环节，不仅能让学生更加直观地感受到平均分第一种分法的方法和过程，而且能够清楚地看到分得的结果，同时还检验了除法计算所得与操作结果的一致性，真切体会到除法运算的应用价值，体会到学习的意义。
（6）揭示课题：这就是我们今天要认识的运算方法——除法。（板书：除法的初步认识） 小结：像这样把一个数按每几个一份的平均分，求分成几份，就用除法计算。
（二）教學教材第49页的例6
（1）理解题意：把一个数按每几个一份平均分，求分成几份，可以用除法计算。那我们来看看下面这个问题。
出示：6个小朋友植树，平均分成3组，每组（ ）人。
读题，提问：这是平均分吗？这里是把6怎样平均分？几被分了？（板书：6）用几去分6？（板书：3）
（2）认识含义：把6个小朋友平均分成3组，求每组几人。我们请6个小朋友来演示一下：一个一个平均分成3组继续第二次，直到分完为止。现在我们来看一看：每组几人？（板书：2）
【设计意图】平均分第二种分法与第一种分法是不同的，如何让学生很好地进行区分一直是本课教学的一个重难点。以学生亲自参与的小活动让学生加以直观体验，再次感受又一种平均分的过程，且它需要重复多次，直到分完为止，最后看“每份是几”，即“每份数”，亲切中又不失真实。
同学们，像这样把6平均分成3组（份），求每份是几，可以用什么方法计算呢？（除法）因为它也是怎样分的？（板书：平均分成3份）求什么？（板书：每份是几）这里也是求平均分的结果，所以也用除法来计算，算式可以写成什么？（板书：6÷3=2）它表示什么含义？
（3）认识名称：刚才我们已经认识了“除号”，那除号前后的数可以叫什么呢？（出示：被除数，除数，商）你觉得被除数就是怎样的数？（被分掉的那个数）除数呢？（是用它去分的那个数）商就是？（平均分的结果）
【设计意图】涉及算式中各部分名称的规定，虽是一种约定俗成，但又不乏其合情合理性，而且它也是算式含义的另一种存在形式，除法算式中各部分名称尤其如此。因此，笔者通过提问让学生主动将名称和除法模型中各部分建立联系，也为在学生头脑里形成乘、除法“每份数、份数、总数”之间的基本模型埋下可以生长的种子。
小结：现在我们知道，把一个数平均分成几份，求每份是几，也可以用除法计算。
（三）对比例题
（1）明确分法：同学们，刚才这些平均分的问题，都用除法计算，但它们一样吗？
（2）区别分法：这两种分法有什么不同？一种是把一个数按每几个一份平均分，求份数;另一种是把一个数平均分成几份，求每份数。它们相同的是什么？（都是平均分，求平均分的结果都可以用除法计算）
【设计意图】本环节的关键在于两道例题的对比，是平均分两种分法的对比，也是对除法两种含义的对比，通过比较能让学生认识其不同之处，即按不同的分法平均分，分别可以求出“份数”和“每份数”，同时为接下来学生对除法的两种含义以及之间联系的理解感悟打下扎实的认识基础。
三、加强认识，巩固练习
同学们，刚才我们通过对平均分两种分法的理解，共同研究认识了除法，像这样把一个数按每几个分成一份，求每份是几，就是求份数，可以用除法计算;像这样把一个数平均分成几份，求每份是几，就是求每份数，也用除法计算。那你现在能用新学到的知识来解决一些实际问题吗？
（1）请完成教材第50页“想想做做”的第3题（如图1所示），观察图中15本书，认真读题，想一想，然后完成计算。
图1
汇报，交流。你的算式是什么？你是怎样思考的？
对比：同一幅图，为什么列出了不同的除法算式？（分法不一样，含义也就不一样）观察算式，你还发现什么？（两个问题的条件和问题互换了位置，两个除法算式之间也是有联系的）
小结：同学们，我们发现在除法内部有着联系。
（2）提问：同学们，你能根据这幅图编一道乘法的实际问题吗？图中一共多少本书？（板书：3×5=15）
对比上面的除法算式和乘法算式，你发现了什么？（求每份数或求份数用除法，告诉我们每份数和份数求总数用乘法）
小结：原来除法和我们之前学习的乘法有着那么紧密的联系，就是因为知识与知识之间的相互联系，才让我们学到的知识越来越牢固地联结在一起，我们解决问题的能力也就变得越来越强。
【设计意图】如果说“部分数+部分数=总数”模型沟通了加减法之间的互逆关系，那么“每份数×份数=总数”就是除法和乘法之间互逆关系的基本模型，在解决任何与该模型一致的实际问题时，或基于基本模型的变式实际问题时，通过转化即可灵活选择运算方法解决问题，这种提前预伏渗透式的教学不仅让当下的学习更加有效，而且还能不断发展学生结构化的数学思维，提高学生解决问题的能力。
四、全课总结，建立结构
同学们，回顾一下，今天你学到了什么？对于今天的这节课你还感受到了什么？
到现在为止，我们一共学习了几种运算？（四种，分别是加法、减法、乘法、除法）这四种运算相互之间都是有联系的。正因为有着联系，才让我们学习的知识更加紧密地联系在了一起，这对我们今后的学习有什么启发和帮助吗？
布鲁姆说过：“不论我们选教什么学科， 务必使学生理解该学科的基本结构。”当然，即使是数学学科一个课时的教学也不例外，除了组成本课时的知识、技能本身的结构元素外， 还勾连着与构成元素相近的联系点， 如果在教学中能够引导学生主动地建构起这种联系，那么就能帮助学生形成“结构化”的数学思维。这就需要教师在教学前有统领教材的整体意识， 以数学知识脉络的本源为线索， 有效整合知识单元主题。如本课属于“加、减、乘、除四则运算”知识单元主题，可运用知识单元主题结构化的教学设计和实施策略，将课时教学置于知识单元主题中，整体架构单个课时的教学，立足本阶段学生的思维水平， 在教学实施过程中， 以思维结构化为导向， 在互逆、转换、相关联中寻求纵横联系， 树立起系统学习的教学观念， 从知识的整体性和系统性的高度出发，把结构化的教学转化为学生结构化的学习，达到学生数学思维的结构化，让教师的“教”为学生的“学”提供更优质的服务，让“学”增效增值， 也更有利于发展学生的数学核心素养。
【参考文献】
[1]杨柳. 浅谈结构化教学 [J]. 读天下，2018（12）.
[2]夏玉英.结构化：一种必备的数学核心素养——结构化思维在小学数学教学中的应用及思考[J].数学学习与研究，2017（21）.
【关键词】知识主题 结构化设计 结构化思维
结构化的观点最早是由心理学家提出的，他们认为人的认知是有结构的。我们知道，数学作为一门基础性、普适性及工具性学科，其知识内部有着严密的逻辑，具有极强的结构化特点。就小学数学教材而言，其中的每个知识点都是数学逻辑结构上的一个结点，在其不同方位上都有与之相紧密关联的知识结点，因此，数学教学也可以借用结构化的观点来设计组织。
最近，笔者以“除法的初步认识”一课为例在区域内做课堂教学示范展示，试图运用知识主题结构化设计，尝试从结构化视角设计课时教学，在教学中引领学生感受知识结点间的逻辑关系，同时更好地发展学生数学结构化思维，变革数学课堂结构，推进我区“两新”素养课堂教学改革的创新实践。以下具体阐述本课教学的背景理念、设计意图和实践成效。
一、復习旧知，引入新课
（1）同学们，一年级咱们学习了加法和减法（板书：加法 减法），把两部分合起来用哪种运算？从总数里面去掉一部分呢？加法和减法有怎样的关系？（板书：相反，并在加法和减法之间用连线表示它们互为逆运算）
（2）这学期，我们在加减法的基础上又学习了什么？（板书：乘法）
出示：小朋友坐，每车坐2人，3车一共坐
（ ）人。
提问：6是怎么来的？（板书：2×3=6）2×3可以表示什么？（板书：3个2）
（3）我们一起回想一下：乘法是从什么运算转换而来的？（加法）什么样的加法可以转换成乘法？（求几个相同加数的和）求“几个几”的加法可以转换成乘法（在乘法和加法之间用连线表示它们相互转化的关系）。
【设计意图】本环节重在以学生原有知识经验为学习基础，通过“部分数+部分数=总数”的模型得出加法与减法之间的互逆关系，再通过“求几个相同加数的和”可以转化成“几个几”，即几和几相乘，建立乘法和加法的联系，让学生初步感受到加法、减法和乘法三种运算之间的结构关系，为后续学习感悟运算本质、体验和理解四则运算之间的关系做好方法和认知上的准备。
二、对比理解，教学新课
（一）教学教材第48页的例5
（1）理解题意：今天我们继续来学习一种新的运算方法。
出示：6个小朋友坐，每车坐2人，要坐
（ ）车。
一起读题，提问：这一次它告诉了我们什么？求什么？和刚才的问题还一样吗？（刚才是告诉我们每车坐2人，坐3车，求一共多少人;这里告诉我们有6人，每车坐2人，求坐几车）刚才告诉我们的现在变成了什么？（问题）刚才要求的问题现在变成了什么？（告诉我们的条件）条件和问题被怎么样了？（告诉我们的条件和要求的问题调换了位置）
【设计意图】除法运算在求解模型上与乘法是互逆的。为了让学生对这一本质有真切的感受，教师引导学生从实际问题入手，并与例前的练习加以对比，对比分析两题中告诉我们的信息和要求的问题有什么关系。这是一个很好的教学策略。
（2）认识含义：那我们一起来看，这里要把6个小朋友怎么样？就是按每2个分成一份。几被分了？（板书：6）用几去分？（板书：2）用2去分几？（用2去分6）就是“按每2个分成一份”，也就是每份都是几个？（2个）每份分得同样多，这样的分法叫什么？（板书：平均分）谁能完整说一说：这里是把6个小朋友怎样平均分？（板书：把6按每2个分成一份平均分）问要坐几车，就是求什么？（板书：分成几份）
【设计意图】无论是平均分两种分法中的哪一种分法，其实质都是“一个数被另一个数分了”或者“用一个数去分另一个数”，也就是数学上的“除以”和“除”的含义，笔者有意将“按每2个分成一份”的平均分这一含义与除法含义的本质性表达相沟通，有利于学生更加准确、深刻地认识除法的含义。
（3）认识除法：把6按每2个分成一份，求分成几份，还能用原来学习的乘法来算出结果吗？（不能）那就需要一种新的运算方法——除法，在数学上求平均分的结果就用除法计算。在这里：把6按每2个分成一份，是几被分了？6被几分了？6 被2分就写成什么？（板书：6÷2）反过来看，6÷2也表示“用2去分6”，意思是一样的。把6按每2个分成一份，分成了几份？（板书：=3）。
【设计意图】当学习一种新的知识成为学生解决真实问题的强烈需要时，学生对它的认识就会更主动、更有效，对它的认识也就更深刻。同时笔者通过追问将除法的本质含义和算式书写有机融合，从而使学生能从书写形式上进一步认识除法的含义。
（4）认识除号：6和2中间的这个符号就是除号。（板书：除号）怎样书写除号？（点，横，点）教师示范书写。除号就读作“除以”，学生跟读：除以。从左往右读作“6除以2”，学生读算式。
（5）操作验证：用除法计算的结果对不对，我们一起来检验一下，拿出6根小棒表示6个小朋友，按每几个一份平均分？你准备怎样分？（去掉一个几，看有没有分完？继续去掉一个几，直到分完）看，6被2分了，分成了几份？6除以2等于3，对不对？
【设计意图】一种新的运算若能解决新遇到的问题，在二年级学生看来是十分有意义的。因此，笔者设计了操作验证的环节，不仅能让学生更加直观地感受到平均分第一种分法的方法和过程，而且能够清楚地看到分得的结果，同时还检验了除法计算所得与操作结果的一致性，真切体会到除法运算的应用价值，体会到学习的意义。
（6）揭示课题：这就是我们今天要认识的运算方法——除法。（板书：除法的初步认识） 小结：像这样把一个数按每几个一份的平均分，求分成几份，就用除法计算。
（二）教學教材第49页的例6
（1）理解题意：把一个数按每几个一份平均分，求分成几份，可以用除法计算。那我们来看看下面这个问题。
出示：6个小朋友植树，平均分成3组，每组（ ）人。
读题，提问：这是平均分吗？这里是把6怎样平均分？几被分了？（板书：6）用几去分6？（板书：3）
（2）认识含义：把6个小朋友平均分成3组，求每组几人。我们请6个小朋友来演示一下：一个一个平均分成3组继续第二次，直到分完为止。现在我们来看一看：每组几人？（板书：2）
【设计意图】平均分第二种分法与第一种分法是不同的，如何让学生很好地进行区分一直是本课教学的一个重难点。以学生亲自参与的小活动让学生加以直观体验，再次感受又一种平均分的过程，且它需要重复多次，直到分完为止，最后看“每份是几”，即“每份数”，亲切中又不失真实。
同学们，像这样把6平均分成3组（份），求每份是几，可以用什么方法计算呢？（除法）因为它也是怎样分的？（板书：平均分成3份）求什么？（板书：每份是几）这里也是求平均分的结果，所以也用除法来计算，算式可以写成什么？（板书：6÷3=2）它表示什么含义？
（3）认识名称：刚才我们已经认识了“除号”，那除号前后的数可以叫什么呢？（出示：被除数，除数，商）你觉得被除数就是怎样的数？（被分掉的那个数）除数呢？（是用它去分的那个数）商就是？（平均分的结果）
【设计意图】涉及算式中各部分名称的规定，虽是一种约定俗成，但又不乏其合情合理性，而且它也是算式含义的另一种存在形式，除法算式中各部分名称尤其如此。因此，笔者通过提问让学生主动将名称和除法模型中各部分建立联系，也为在学生头脑里形成乘、除法“每份数、份数、总数”之间的基本模型埋下可以生长的种子。
小结：现在我们知道，把一个数平均分成几份，求每份是几，也可以用除法计算。
（三）对比例题
（1）明确分法：同学们，刚才这些平均分的问题，都用除法计算，但它们一样吗？
（2）区别分法：这两种分法有什么不同？一种是把一个数按每几个一份平均分，求份数;另一种是把一个数平均分成几份，求每份数。它们相同的是什么？（都是平均分，求平均分的结果都可以用除法计算）
【设计意图】本环节的关键在于两道例题的对比，是平均分两种分法的对比，也是对除法两种含义的对比，通过比较能让学生认识其不同之处，即按不同的分法平均分，分别可以求出“份数”和“每份数”，同时为接下来学生对除法的两种含义以及之间联系的理解感悟打下扎实的认识基础。
三、加强认识，巩固练习
同学们，刚才我们通过对平均分两种分法的理解，共同研究认识了除法，像这样把一个数按每几个分成一份，求每份是几，就是求份数，可以用除法计算;像这样把一个数平均分成几份，求每份是几，就是求每份数，也用除法计算。那你现在能用新学到的知识来解决一些实际问题吗？
（1）请完成教材第50页“想想做做”的第3题（如图1所示），观察图中15本书，认真读题，想一想，然后完成计算。
图1
汇报，交流。你的算式是什么？你是怎样思考的？
对比：同一幅图，为什么列出了不同的除法算式？（分法不一样，含义也就不一样）观察算式，你还发现什么？（两个问题的条件和问题互换了位置，两个除法算式之间也是有联系的）
小结：同学们，我们发现在除法内部有着联系。
（2）提问：同学们，你能根据这幅图编一道乘法的实际问题吗？图中一共多少本书？（板书：3×5=15）
对比上面的除法算式和乘法算式，你发现了什么？（求每份数或求份数用除法，告诉我们每份数和份数求总数用乘法）
小结：原来除法和我们之前学习的乘法有着那么紧密的联系，就是因为知识与知识之间的相互联系，才让我们学到的知识越来越牢固地联结在一起，我们解决问题的能力也就变得越来越强。
【设计意图】如果说“部分数+部分数=总数”模型沟通了加减法之间的互逆关系，那么“每份数×份数=总数”就是除法和乘法之间互逆关系的基本模型，在解决任何与该模型一致的实际问题时，或基于基本模型的变式实际问题时，通过转化即可灵活选择运算方法解决问题，这种提前预伏渗透式的教学不仅让当下的学习更加有效，而且还能不断发展学生结构化的数学思维，提高学生解决问题的能力。
四、全课总结，建立结构
同学们，回顾一下，今天你学到了什么？对于今天的这节课你还感受到了什么？
到现在为止，我们一共学习了几种运算？（四种，分别是加法、减法、乘法、除法）这四种运算相互之间都是有联系的。正因为有着联系，才让我们学习的知识更加紧密地联系在了一起，这对我们今后的学习有什么启发和帮助吗？
布鲁姆说过：“不论我们选教什么学科， 务必使学生理解该学科的基本结构。”当然，即使是数学学科一个课时的教学也不例外，除了组成本课时的知识、技能本身的结构元素外， 还勾连着与构成元素相近的联系点， 如果在教学中能够引导学生主动地建构起这种联系，那么就能帮助学生形成“结构化”的数学思维。这就需要教师在教学前有统领教材的整体意识， 以数学知识脉络的本源为线索， 有效整合知识单元主题。如本课属于“加、减、乘、除四则运算”知识单元主题，可运用知识单元主题结构化的教学设计和实施策略，将课时教学置于知识单元主题中，整体架构单个课时的教学，立足本阶段学生的思维水平， 在教学实施过程中， 以思维结构化为导向， 在互逆、转换、相关联中寻求纵横联系， 树立起系统学习的教学观念， 从知识的整体性和系统性的高度出发，把结构化的教学转化为学生结构化的学习，达到学生数学思维的结构化，让教师的“教”为学生的“学”提供更优质的服务，让“学”增效增值， 也更有利于发展学生的数学核心素养。
【参考文献】
[1]杨柳. 浅谈结构化教学 [J]. 读天下，2018（12）.
[2]夏玉英.结构化：一种必备的数学核心素养——结构化思维在小学数学教学中的应用及思考[J].数学学习与研究，2017（21）.