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数学是思维的体操，但思维的过程最终要通过恰当的途径外化，这就是数学语言表达内在思维的过程。因此，学生能正确运用数学语言来描述数学问题、讲述数学思维，应是数学教学追求的目标之一。
本期，我们重点探讨教学中数学语言的表达与运用。
数学语言是指用来表示数学知识和数学思维活动的专门语言，是储存、传递和加工数学知识信息的载体。离开数学语言，数学知识就成了“空中楼阁”。掌握数学语言，是学习数学知识的基础，也是数学教学的关键。
如何帮助学生掌握数学语言呢？笔者认为，在教师科学、规范地使用数学语言，为学生做好语言示范的前提下，教学中应注重“两心三度”，在变式比较、构建模型、动手操作、巧设陷阱、善用转换的过程中，帮助学生掌握数学语言。
一、提供变式比较，抓住数学语言的核心
小学生抽象思维和概括能力比较弱，对一些数学概念、名词术语等的理解往往不够深刻。因此，教师教学时除了强调概念、术语中的关键字词外，还要通过一系列的变式比较，引导学生把握其核心，领悟其本质，从而加深对数学语言的理解。
如在教学“梯形概念”时，学生对梯形概念中的“只有”一词理解并不深刻，于是笔者设计了一组图形让学生辨析：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
通过对比分析，学生最终判断出①②③④是梯形，而⑤是五边形，⑥有两组对边平行，它们都不是梯形。在这一过程中，学生深入理解了梯形概念的内涵和外延。虽然图①和图④的形状迥异，但它们都是梯形，因为它们都是只有一组对边平行的四边形。这样，利用图形辨析，经历思维的多次碰撞后，学生便能准确理解概念的本质特征，表述时自然就会少出偏差。
二、构建思考模型，突出数学语言的重心
数学语言不是简单的书面语言，也不同于生活语言，它具有较强的逻辑性。而小学生的语言组织能力比较弱，语言表达往往不够严密，缺乏逻辑性和完整性，这样就阻碍了他们对数学知识的正确表达。为此，帮助学生构建思考模型，规范数学语言就显得尤为重要。
计算教学中，学生往往满足于答案的得出，对于结果的由来则不感兴趣，所以，许多学生只会做题目而不理解算理。教学时，教师可以根据教学内容，提炼数学语言，突出思考重心，构建一个完整的模式，帮助学生借助这个比较具体的“台阶”去认识和理解算理。
教学《两位数加一位数的进位加法》时，教师应该多与学生交流每一题的思考过程，让学生头脑中有一个清晰的思考模式。以计算“24 9”为例，通过摆小棒，学生已明确有两种思考方法：第一种，把9分成6和3，先算24 6=30，再算30 3=33；第二种，把24分成20和4，先算4 9=13，再算20 13=33。在明白思考方法后，教师又为学生提供如下的阐明算理模型：把24（或9）分成（ ）和（ ），先算（ ） （ ）=（ ），再算（ ） （ ）=（ ）。
利用构建模型这种方法，有效化解了学生在语言表达中的困难，突出了数学语言的逻辑重心。
三、注重动手操作，提升数学语言的厚度
动手操作是促进学生手脑协调的学习活动，是培养和发展学生思维的有效手段。而语言是思维的外化，是思维的表现形式，两者相互促进，相生相长。只“做”不“说”或只“说”不“做”，都不利于知识的内化。因此，教学中要注重引导学生在动手操作的过程中理解数学语言、运用数学语言，让数学语言更有“厚度”。
在指导学生动手操作时，要注意多让学生用数学语言有条理地叙述操作过程，表述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑理解、动口表达有机地结合起来，促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深入理解数学语言的目的。
例如，教学《分数的初步认识》时，笔者设计了如下教学环节：
折：让学生用一张纸折成大小相等的四份。
看：引导学生观察——①多种不同的分法。②一共分成几份？③每一份的大小怎样？
涂：涂出四分之一、四分之二、四分之三。
想：出示涂色的纸，思考怎样用分数表示。
说：让学生用数学语言表述自己是怎样想的，分数表示的意义是什么。
在这个案例中，动手操作引发思维，数学语言表达思维，“做”与“说”和谐统一，“做”有理，“说”有据，学生对分数意义的理解全面而透彻。
鉴于此，帮助学生掌握好数学语言，教师要充分利用教材中的学具操作内容，指导学生在一次次的动手操作活动中感知、领悟所学知识，这样有利于学生用数学语言完整、有条理地表述自己的新思想、新发现，从而达到动脑、动手、动口“一体化”。
四、巧设错误陷阱，强化数学语言的精度
著名特级教师华应龙说过：一条缺少岔路的笔直大道，使我们的孩子失去了很多触类旁通、联结新意向的机会，由此也失去了来自失误和发现的快乐。
数学中用来表示定义、定理、性质等的语句，都是十分严谨和精练的，有时甚至多一个字、少一个字都不行。教师在教学中，不妨给学生设置一些易犯错的“陷阱”，在强化数学语言的精度上做文章，让学生对数学语言的理解更透彻，记忆更深刻。
例如，在学习“用数对表示数”时，由于受日常生活中习惯语言的影响，学生常常先说“行”的位置，再说“列”的位置。笔者顺水推舟，将错就错，将数对（2，3）板书在黑板上后，问：“也就是说，按照同学们的理解，这个数对表示物品所在的位置是第2行的第3列。同意这种说法的请举手！”毫无疑问，全班学生都跳进了笔者挖的“陷阱”中。答案揭晓，在惊讶声中，学生对怎样用数学语言准确地表示数对加深了印象。
再如，“除”和“除以”，一字之差，意义完全不同；“整除”与“除尽”，“数位”与“位数”，“增高到”与“增高了”不能混為一谈；“圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一”，忽略了“等底等高”这个条件即为错误……
诸如此类高精度的语言，学生在运用时经常会出现典型错误。此时，教师不妨“装一装糊涂”，“尝试犯错”也不失为帮助学生更深刻、更准确地理解数学语言的良策。
五、善用语言转换，发掘数学语言的深度
一般来说，数学思维用文字表达则生动，用符号表达则简练，用图形表达则直观形象。但有些问题用文字表达过于繁杂，用符号表达又嫌抽象，而图形表达有时又未必全面。在这种情况下，我们应善于对数学语言的多种形式进行转换，充分挖掘数学语言的深度，达到多层次理解数学语言的目的。
人教版《数学》一年级上册中有这样一道练习题：我前面有9人，后面有5人。这列队伍一共有多少人？多数学生习惯列出“9 5=14”。集体订正时，教师问学生，这个“我”有没有包括到9和5中去？然后强调正确算法“9 5 1=15”中的“1”就表示“我”。接着，再换一道类似的题：从前数起我排在第9个，从后数起我排在第5个。这列队伍一共有多少人？大部分学生又习惯地用9 5 1=15，可见学生并未真正理解题意。
此时，如果能将文字语言转换为图形语言，就会收到事半功倍的教学效果：“你能用两种不同的图形表示‘我’和其他人，把这两列队伍画出来吗？”在教师的引导下，学生很快画出了图。
集体汇报时，教师让学生把两幅图进行比较，让他们在辨析中进一步理解题目的意思，明白了什么时候“我”是没有数的，什么时候“我”是重复数的。
像上述案例这样，不同形式的语言转换，其实很重要的一点，就是它们提供或体现了对数学对象的不同理解方式。一方面，通过不同的理解方式可以达到对数学知识、方法和思想的深入认识；另一方面，理解方式的转换实际上意味着思维方式的转换，因此对多层次理解数学语言，培养学生良好的思维品质具有非常重要的意义。
综上所述，要使学生循序渐进地掌握好数学语言，教师科学“示范”是前提，教学中注重“两心三度”是途径，最终，帮助每一名学生架构沟通思维世界与现实世界的桥梁，学会用数学表达世界是我们孜孜以求的目标。
（作者单位：十堰市广东路小学）
本期，我们重点探讨教学中数学语言的表达与运用。
数学语言是指用来表示数学知识和数学思维活动的专门语言，是储存、传递和加工数学知识信息的载体。离开数学语言，数学知识就成了“空中楼阁”。掌握数学语言，是学习数学知识的基础，也是数学教学的关键。
如何帮助学生掌握数学语言呢？笔者认为，在教师科学、规范地使用数学语言，为学生做好语言示范的前提下，教学中应注重“两心三度”，在变式比较、构建模型、动手操作、巧设陷阱、善用转换的过程中，帮助学生掌握数学语言。
一、提供变式比较，抓住数学语言的核心
小学生抽象思维和概括能力比较弱，对一些数学概念、名词术语等的理解往往不够深刻。因此，教师教学时除了强调概念、术语中的关键字词外，还要通过一系列的变式比较，引导学生把握其核心，领悟其本质，从而加深对数学语言的理解。
如在教学“梯形概念”时，学生对梯形概念中的“只有”一词理解并不深刻，于是笔者设计了一组图形让学生辨析：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
通过对比分析，学生最终判断出①②③④是梯形，而⑤是五边形，⑥有两组对边平行，它们都不是梯形。在这一过程中，学生深入理解了梯形概念的内涵和外延。虽然图①和图④的形状迥异，但它们都是梯形，因为它们都是只有一组对边平行的四边形。这样，利用图形辨析，经历思维的多次碰撞后，学生便能准确理解概念的本质特征，表述时自然就会少出偏差。
二、构建思考模型，突出数学语言的重心
数学语言不是简单的书面语言，也不同于生活语言，它具有较强的逻辑性。而小学生的语言组织能力比较弱，语言表达往往不够严密，缺乏逻辑性和完整性，这样就阻碍了他们对数学知识的正确表达。为此，帮助学生构建思考模型，规范数学语言就显得尤为重要。
计算教学中，学生往往满足于答案的得出，对于结果的由来则不感兴趣，所以，许多学生只会做题目而不理解算理。教学时，教师可以根据教学内容，提炼数学语言，突出思考重心，构建一个完整的模式，帮助学生借助这个比较具体的“台阶”去认识和理解算理。
教学《两位数加一位数的进位加法》时，教师应该多与学生交流每一题的思考过程，让学生头脑中有一个清晰的思考模式。以计算“24 9”为例，通过摆小棒，学生已明确有两种思考方法：第一种，把9分成6和3，先算24 6=30，再算30 3=33；第二种，把24分成20和4，先算4 9=13，再算20 13=33。在明白思考方法后，教师又为学生提供如下的阐明算理模型：把24（或9）分成（ ）和（ ），先算（ ） （ ）=（ ），再算（ ） （ ）=（ ）。
利用构建模型这种方法，有效化解了学生在语言表达中的困难，突出了数学语言的逻辑重心。
三、注重动手操作，提升数学语言的厚度
动手操作是促进学生手脑协调的学习活动，是培养和发展学生思维的有效手段。而语言是思维的外化，是思维的表现形式，两者相互促进，相生相长。只“做”不“说”或只“说”不“做”，都不利于知识的内化。因此，教学中要注重引导学生在动手操作的过程中理解数学语言、运用数学语言，让数学语言更有“厚度”。
在指导学生动手操作时，要注意多让学生用数学语言有条理地叙述操作过程，表述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑理解、动口表达有机地结合起来，促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深入理解数学语言的目的。
例如，教学《分数的初步认识》时，笔者设计了如下教学环节：
折：让学生用一张纸折成大小相等的四份。
看：引导学生观察——①多种不同的分法。②一共分成几份？③每一份的大小怎样？
涂：涂出四分之一、四分之二、四分之三。
想：出示涂色的纸，思考怎样用分数表示。
说：让学生用数学语言表述自己是怎样想的，分数表示的意义是什么。
在这个案例中，动手操作引发思维，数学语言表达思维，“做”与“说”和谐统一，“做”有理，“说”有据，学生对分数意义的理解全面而透彻。
鉴于此，帮助学生掌握好数学语言，教师要充分利用教材中的学具操作内容，指导学生在一次次的动手操作活动中感知、领悟所学知识，这样有利于学生用数学语言完整、有条理地表述自己的新思想、新发现，从而达到动脑、动手、动口“一体化”。
四、巧设错误陷阱，强化数学语言的精度
著名特级教师华应龙说过：一条缺少岔路的笔直大道，使我们的孩子失去了很多触类旁通、联结新意向的机会，由此也失去了来自失误和发现的快乐。
数学中用来表示定义、定理、性质等的语句，都是十分严谨和精练的，有时甚至多一个字、少一个字都不行。教师在教学中，不妨给学生设置一些易犯错的“陷阱”，在强化数学语言的精度上做文章，让学生对数学语言的理解更透彻，记忆更深刻。
例如，在学习“用数对表示数”时，由于受日常生活中习惯语言的影响，学生常常先说“行”的位置，再说“列”的位置。笔者顺水推舟，将错就错，将数对（2，3）板书在黑板上后，问：“也就是说，按照同学们的理解，这个数对表示物品所在的位置是第2行的第3列。同意这种说法的请举手！”毫无疑问，全班学生都跳进了笔者挖的“陷阱”中。答案揭晓，在惊讶声中，学生对怎样用数学语言准确地表示数对加深了印象。
再如，“除”和“除以”，一字之差，意义完全不同；“整除”与“除尽”，“数位”与“位数”，“增高到”与“增高了”不能混為一谈；“圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一”，忽略了“等底等高”这个条件即为错误……
诸如此类高精度的语言，学生在运用时经常会出现典型错误。此时，教师不妨“装一装糊涂”，“尝试犯错”也不失为帮助学生更深刻、更准确地理解数学语言的良策。
五、善用语言转换，发掘数学语言的深度
一般来说，数学思维用文字表达则生动，用符号表达则简练，用图形表达则直观形象。但有些问题用文字表达过于繁杂，用符号表达又嫌抽象，而图形表达有时又未必全面。在这种情况下，我们应善于对数学语言的多种形式进行转换，充分挖掘数学语言的深度，达到多层次理解数学语言的目的。
人教版《数学》一年级上册中有这样一道练习题：我前面有9人，后面有5人。这列队伍一共有多少人？多数学生习惯列出“9 5=14”。集体订正时，教师问学生，这个“我”有没有包括到9和5中去？然后强调正确算法“9 5 1=15”中的“1”就表示“我”。接着，再换一道类似的题：从前数起我排在第9个，从后数起我排在第5个。这列队伍一共有多少人？大部分学生又习惯地用9 5 1=15，可见学生并未真正理解题意。
此时，如果能将文字语言转换为图形语言，就会收到事半功倍的教学效果：“你能用两种不同的图形表示‘我’和其他人，把这两列队伍画出来吗？”在教师的引导下，学生很快画出了图。
集体汇报时，教师让学生把两幅图进行比较，让他们在辨析中进一步理解题目的意思，明白了什么时候“我”是没有数的，什么时候“我”是重复数的。
像上述案例这样，不同形式的语言转换，其实很重要的一点，就是它们提供或体现了对数学对象的不同理解方式。一方面，通过不同的理解方式可以达到对数学知识、方法和思想的深入认识；另一方面，理解方式的转换实际上意味着思维方式的转换，因此对多层次理解数学语言，培养学生良好的思维品质具有非常重要的意义。
综上所述，要使学生循序渐进地掌握好数学语言，教师科学“示范”是前提，教学中注重“两心三度”是途径，最终，帮助每一名学生架构沟通思维世界与现实世界的桥梁，学会用数学表达世界是我们孜孜以求的目标。
（作者单位：十堰市广东路小学）