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【摘要】本文结合八年级学生现阶段所掌握的知识，对一道几何习题进行变式探究.希望通过变式教学，培养学生在直观想象和逻辑推理等方面的核心素养。
【关键词】变式教学 核心素养
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】1992-7711（2020）14-021-02
一、原题导入
（一）原题及出处
新人教版《数学》教材八年级（下）P46例题3：如图，一ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形。
（二）分析与解答
1.背景分析：本题是一道平行四边形的性质与判定的典型综合题，有多种证法，考察学生灵活运用知识解决问题的能力。
2.思路分析：通过AE=AF，证明OE=OF，最后利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明。
3.解题过程：
4.考点分析：本题考察了平行四边形的性质与判定。
二、变式探析
【变式1】
1.思路分析：
（2）根据全等三角形的性质得AE=CF，由AE上BD，CF⊥BD得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明。
2.解题过程：
3.考点分析：本题考查全等三角形与平行四边形的性质和判定。
4.设计意图：
在第（2）问中，平行四边形的每一种判定都对应一种甚至多种证法，学生可在对比中找到较巧妙的证法。
【变式2】
如图，一ABCD的对角线AC、BD交于点o，E、F分别是AO、CO的中点，连接BE、DE、DF、BF
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形;
（2）求证：当AC=2BD时，四边形EBFD是矩形。
1.思路分析：
（1）由平行四边形的性质得OA=OC、OB=OD，因E、F为中点，得OE=OF，可证四边形EBFD为平行四边形。
（2）由条件得BD=EF，可证四边形EBFD为矩形。
2.解题过程：
（1）证明：在口ABCD中OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，∴OE=OF，
∴四边形EBFD为平行四边形;
（2）由（1）可知OE=1/2OA，OF=1/2OC，
∴OE OF=1/2AC，即EF=1/2AC，
∴AC=2EF. ∵AC=2BE. ∴EF=BD
∵EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是矩形。
3.考点分析：本题主要考查平行四边形的性质和判定及矩形的判定。
4.设计意图：
点E、F特殊化为AO、CO的中点，加入矩形判定知识点，考察了学生的几何直观、逻辑推理等核心素养。
【变式3】
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.
求证： （1） BE=DF; （2） AF∥CE
1.思路分析：
（1）由平行四边形的性质得∠5=∠3，∠AEB=∠4，再由全等三角形判定即可;
（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即得AF∥CE.
2.解题过程：
证明： （1）在 ABCD中AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB∵∠1=∠2
∴∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF （AAS），∴BE=DF;
（2）由（1）得△ABE≌△CDF
∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形∴AF∥CE.
3.考点分析：平行四边形、平行线、全等三角形的性质与判定。
4.设计意图：本题条件有别，但证明思路与原题类似。
【变式4】
在 ABCD中，點E、F分别从点A、C同时出发沿对角线运动，到达C、A后停止.它们的速度都为lcm/s，且在第3秒和第19秒时与B、D两点构成正方形，求 ABCD的面积。
1.思路与方法分析：
通过外角性质表示∠DBC和∠ECB，通过角平分线的性质得：∠DBC=2∠PBC，∠BCE-2∠PCB，即可得∠A和∠P的关系.
2.解题过程：
解：如图，当t=3s时，点E、F分别到达P、Q的位置，在正方形BPDQ中，BD上AC，OD=OB=OP=OQ，AP=CQ=3cm.当t=19s时，点E、F分别到达Q、P的位置，此时PQ=19-3=16cm
∴OD=OB=OP=OQ=8cm，
AO=OC-8 3=llcm.
∴SABCD=1/2AC. BD=1/2.22·16=176（cm2）.
3.考点分析：正方形的性质、菱形的面积公式。
4.设计意图：本题点E、F变为动点，学生需要考虑第3秒和第19秒点E、F的位置，综合运用正方形的性质和菱形的面积公式进行解题，培养了学生逻辑推理等核心素养。
三、变式小结
原题是一道经典的教材例习题，点E、F在对角线AC上与B、D构成平行四边形，本文通过特殊化点E、F的位置，构成了矩形、菱形以、正方形等特殊平行四边形，既综合复习了平行四边形、矩形、菱形及正方形的知识点，又提高了学生举一反三的能力，培养发展了学生的数学素养。
【参考文献】
[1]杨伟东，杨燕良活用教材，提升素养——以等腰直角三角形为载体的变式教学[J].中学数学，2020 （04）：3-4.
[2]李志平.基于核心素养的初中几何题变式教学策略及课例赏析[J].中学数学，2020 （04）：24-26.
【关键词】变式教学 核心素养
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】1992-7711（2020）14-021-02
一、原题导入
（一）原题及出处
新人教版《数学》教材八年级（下）P46例题3：如图，一ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形。
（二）分析与解答
1.背景分析：本题是一道平行四边形的性质与判定的典型综合题，有多种证法，考察学生灵活运用知识解决问题的能力。
2.思路分析：通过AE=AF，证明OE=OF，最后利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明。
3.解题过程：
4.考点分析：本题考察了平行四边形的性质与判定。
二、变式探析
【变式1】
1.思路分析：
（2）根据全等三角形的性质得AE=CF，由AE上BD，CF⊥BD得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明。
2.解题过程：
3.考点分析：本题考查全等三角形与平行四边形的性质和判定。
4.设计意图：
在第（2）问中，平行四边形的每一种判定都对应一种甚至多种证法，学生可在对比中找到较巧妙的证法。
【变式2】
如图，一ABCD的对角线AC、BD交于点o，E、F分别是AO、CO的中点，连接BE、DE、DF、BF
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形;
（2）求证：当AC=2BD时，四边形EBFD是矩形。
1.思路分析：
（1）由平行四边形的性质得OA=OC、OB=OD，因E、F为中点，得OE=OF，可证四边形EBFD为平行四边形。
（2）由条件得BD=EF，可证四边形EBFD为矩形。
2.解题过程：
（1）证明：在口ABCD中OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，∴OE=OF，
∴四边形EBFD为平行四边形;
（2）由（1）可知OE=1/2OA，OF=1/2OC，
∴OE OF=1/2AC，即EF=1/2AC，
∴AC=2EF. ∵AC=2BE. ∴EF=BD
∵EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是矩形。
3.考点分析：本题主要考查平行四边形的性质和判定及矩形的判定。
4.设计意图：
点E、F特殊化为AO、CO的中点，加入矩形判定知识点，考察了学生的几何直观、逻辑推理等核心素养。
【变式3】
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.
求证： （1） BE=DF; （2） AF∥CE
1.思路分析：
（1）由平行四边形的性质得∠5=∠3，∠AEB=∠4，再由全等三角形判定即可;
（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即得AF∥CE.
2.解题过程：
证明： （1）在 ABCD中AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB∵∠1=∠2
∴∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF （AAS），∴BE=DF;
（2）由（1）得△ABE≌△CDF
∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形∴AF∥CE.
3.考点分析：平行四边形、平行线、全等三角形的性质与判定。
4.设计意图：本题条件有别，但证明思路与原题类似。
【变式4】
在 ABCD中，點E、F分别从点A、C同时出发沿对角线运动，到达C、A后停止.它们的速度都为lcm/s，且在第3秒和第19秒时与B、D两点构成正方形，求 ABCD的面积。
1.思路与方法分析：
通过外角性质表示∠DBC和∠ECB，通过角平分线的性质得：∠DBC=2∠PBC，∠BCE-2∠PCB，即可得∠A和∠P的关系.
2.解题过程：
解：如图，当t=3s时，点E、F分别到达P、Q的位置，在正方形BPDQ中，BD上AC，OD=OB=OP=OQ，AP=CQ=3cm.当t=19s时，点E、F分别到达Q、P的位置，此时PQ=19-3=16cm
∴OD=OB=OP=OQ=8cm，
AO=OC-8 3=llcm.
∴SABCD=1/2AC. BD=1/2.22·16=176（cm2）.
3.考点分析：正方形的性质、菱形的面积公式。
4.设计意图：本题点E、F变为动点，学生需要考虑第3秒和第19秒点E、F的位置，综合运用正方形的性质和菱形的面积公式进行解题，培养了学生逻辑推理等核心素养。
三、变式小结
原题是一道经典的教材例习题，点E、F在对角线AC上与B、D构成平行四边形，本文通过特殊化点E、F的位置，构成了矩形、菱形以、正方形等特殊平行四边形，既综合复习了平行四边形、矩形、菱形及正方形的知识点，又提高了学生举一反三的能力，培养发展了学生的数学素养。
【参考文献】
[1]杨伟东，杨燕良活用教材，提升素养——以等腰直角三角形为载体的变式教学[J].中学数学，2020 （04）：3-4.
[2]李志平.基于核心素养的初中几何题变式教学策略及课例赏析[J].中学数学，2020 （04）：24-26.