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【教学内容】数学拓展课五年级上册“图形的密铺”。
【教材解读】
“密铺”原系人教版实验稿教材五年级上册的内容，安排在学生学习了平行四边形、三角形、梯形的面积之后综合实践板块的内容，题为《铺一铺》。这一课最大的价值不在于学生是否能发现数学内涵、数学本质的内容，而是能够围绕着“密铺”这一并不熟悉的话题从了解、理解、思考的过程中，不断产生问题，经历问题解决的过程，继而在思维碰撞中产生新的问题，如此循环往复，不正是课标目标中“两能”到“四能”的最好体现吗？
【教学目标】
1.通过欣赏和观察生活中的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义，感悟数学美，体验参与数学学习活动的乐趣。
2.经历探索平面图形密铺的活动，初步了解一些平面图形可以密铺的道理。
3.通过猜想、操作等活动发展学生质疑能力、空间想象能力、逻辑推理和动手实践能力，学会数学思考方法。
【教学过程】
1.生活中的密铺现象。
课件出示：
师：有印象不？我们可以用这些拼出不同的图案。怎么样，好玩吗？
生：好玩。
3.艺术中的密铺现象。
师：是呀，其实密铺不仅好玩，有人还研究出了艺术品呢！
课件出示埃舍尔艺术作品。
师：这些图形都能密铺吗？
生（一致）：圆肯定不能密铺。
师：像圆这样确定能或者不能的图形还有吗？
生：长方形、正方形是肯定能的，就像刚才的地板、墙面。
师：那么剩下来的图形呢？
生：平行四边形也能密铺，跟长方形、正方形一样拼就好了。
生：兩个同样的三角形可以拼成平行四边形。既然平行四边形能密铺，三角形也能密铺。
师：思路非常清晰。
生：梯形也一样。两个同样的梯形可以拼成平行四边形。
师：同学们真了不起，通过转化这一想法把三角形、梯形都转化成平行四边形了。平行四边形能密铺，那么这些图案就都能密铺。
【设计意图】从学生最熟悉的基本图形开始研究，遵循从易到难的研究规律。同时由于学生刚刚学完多边形面积的计算，对于同样两个三角形、两个梯形可以拼成平行四边形印象清晰、深刻，因此对于基本图形的探究，完全可以放手让学生通过说理解释，达成“能否密铺”这一目标。 2.研究过程中再次质疑。
师：同学们，像这样的三角形可以密铺的，像长方形、正方形、平行四边形及梯形这样特殊的四边形也可以密铺。现在你有什么新的想法或疑问产生吗？
生：普通的四边形能密铺吗？
生：三角形都能密铺吗？
生：是不是只要是直的边的图形就能密铺？有弧线的就不能？
生：五边形、六边形能密铺吗？
师：同学们真了不起，在研究过程中又产生了不少的问题。
师：有同学问，三角形都能密铺吗？你们觉得呢？
生：三角形肯定都能密铺，因为两个相同的三角形就可以拼成平行四边形。
师：是呀！马上就把这个问题解决了。
【设计意图】学贵有疑。如果说学生之前的提问是学生针对课题所期望展开的问题，从某种程度而言还是具有一定的程式化、表面性，那么在学习过程中的提问则是学生在交流、思考、体验过程中因思维碰撞而再次产生的新疑问，这样的问题是弥足珍贵的。它更具思维的深刻性，更具有探索的价值。
3.研究一般四边形的密铺。
师：有同学问，普通的四边形能密铺吗？你们觉得呢？
学生意见有争议，有认为行的，有认为不行的。
师：那我们该怎么办呢？
生：随便画一个四边形试试看。
生：画一个可能不行的四边形试试看。
师：是啊，看来这回光凭想象不能解决问题了。那老师给你们准备了一个普通的四边形，你们小组合作，试试看。
学生操作。而后照片呈现学生的作品，讨论交流。
师：现在你们有结论了吗，一般的四边形能密铺吗？
生：能密铺。
师：通过刚才的操作活动，你们有什么发现或者窍门吗？
生：我发现要将边一样长的拼一起。
生：我发现角度拼起来刚好是360度。
师：你们有这样的感觉吗？（学生表示认同）
师：那我们一起再来试试看，是不是真如刚才同学所说的那样。
学生口述，教师在电脑中直接进行四边形的密铺。
返回：平行四边形、三角形、梯形这些图形的密铺，是否也具有同样的特点。
由此小结：原来密铺的时候同样长的边拼在一起，而且角度恰好是一个周角。
【设计意图】对于一般四边形的密铺，显然通过说理已经不能说明问题，于是果断选择动手操作。儿童的智慧出自指尖。动手操作实现让学生从具象的角度去验证自己的猜想。在实践过程中，学生有了“密铺好像要相同的边重合起来”“密铺好像和角度也有关系”的体验，多媒体演示一般四边形密铺的全过程，让学生多種感官共同参与，加深认识。
师：通过刚才的讨论，我们知道了一般的四边形也是能够密铺的。那你们还有进一步值得研究的问题吗？
生：刚才还有一个问题“是不是只要是直的边就能密铺呢”还没有解决。
师：对哦！还有五边形、六边形能密铺吗？
生：我在想这两种图形的密铺又会是怎样的？
师：是啊，我们还有很多问题没能够解决。那怎么办？
生：可以回去后拼一拼、试一试。
师：是呀，密铺的学问相当深，一节课肯定是解决不了的。但我们可以用这样研究的办法回去再实践，再验证。
【设计意图】学生学习数学的过程就是不断地发现和提出问题并加以解决的过程。学生对于密铺从陌生到有些了解、再到熟悉，但研究并没有结束，密铺的学问很深。因此课的最后再试着让学生提出进一步思考的问题或者尚未解决的问题，让学生带着问题出教室，继续研究，这才是真正的学习。
（浙江省桐乡市实验小学教育集团振东小学 314500）
【教材解读】
“密铺”原系人教版实验稿教材五年级上册的内容，安排在学生学习了平行四边形、三角形、梯形的面积之后综合实践板块的内容，题为《铺一铺》。这一课最大的价值不在于学生是否能发现数学内涵、数学本质的内容，而是能够围绕着“密铺”这一并不熟悉的话题从了解、理解、思考的过程中，不断产生问题，经历问题解决的过程，继而在思维碰撞中产生新的问题，如此循环往复，不正是课标目标中“两能”到“四能”的最好体现吗？
【教学目标】
1.通过欣赏和观察生活中的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义，感悟数学美，体验参与数学学习活动的乐趣。
2.经历探索平面图形密铺的活动，初步了解一些平面图形可以密铺的道理。
3.通过猜想、操作等活动发展学生质疑能力、空间想象能力、逻辑推理和动手实践能力，学会数学思考方法。
【教学过程】
一、观察感知，理解含义
1.生活中的密铺现象。
课件出示：
师：有印象不？我们可以用这些拼出不同的图案。怎么样，好玩吗？
生：好玩。
3.艺术中的密铺现象。
师：是呀，其实密铺不仅好玩，有人还研究出了艺术品呢！
课件出示埃舍尔艺术作品。
师：这些图形都能密铺吗？
生（一致）：圆肯定不能密铺。
师：像圆这样确定能或者不能的图形还有吗？
生：长方形、正方形是肯定能的，就像刚才的地板、墙面。
师：那么剩下来的图形呢？
生：平行四边形也能密铺，跟长方形、正方形一样拼就好了。
生：兩个同样的三角形可以拼成平行四边形。既然平行四边形能密铺，三角形也能密铺。
师：思路非常清晰。
生：梯形也一样。两个同样的梯形可以拼成平行四边形。
师：同学们真了不起，通过转化这一想法把三角形、梯形都转化成平行四边形了。平行四边形能密铺，那么这些图案就都能密铺。
【设计意图】从学生最熟悉的基本图形开始研究，遵循从易到难的研究规律。同时由于学生刚刚学完多边形面积的计算，对于同样两个三角形、两个梯形可以拼成平行四边形印象清晰、深刻，因此对于基本图形的探究，完全可以放手让学生通过说理解释，达成“能否密铺”这一目标。 2.研究过程中再次质疑。
师：同学们，像这样的三角形可以密铺的，像长方形、正方形、平行四边形及梯形这样特殊的四边形也可以密铺。现在你有什么新的想法或疑问产生吗？
生：普通的四边形能密铺吗？
生：三角形都能密铺吗？
生：是不是只要是直的边的图形就能密铺？有弧线的就不能？
生：五边形、六边形能密铺吗？
师：同学们真了不起，在研究过程中又产生了不少的问题。
师：有同学问，三角形都能密铺吗？你们觉得呢？
生：三角形肯定都能密铺，因为两个相同的三角形就可以拼成平行四边形。
师：是呀！马上就把这个问题解决了。
【设计意图】学贵有疑。如果说学生之前的提问是学生针对课题所期望展开的问题，从某种程度而言还是具有一定的程式化、表面性，那么在学习过程中的提问则是学生在交流、思考、体验过程中因思维碰撞而再次产生的新疑问，这样的问题是弥足珍贵的。它更具思维的深刻性，更具有探索的价值。
3.研究一般四边形的密铺。
师：有同学问，普通的四边形能密铺吗？你们觉得呢？
学生意见有争议，有认为行的，有认为不行的。
师：那我们该怎么办呢？
生：随便画一个四边形试试看。
生：画一个可能不行的四边形试试看。
师：是啊，看来这回光凭想象不能解决问题了。那老师给你们准备了一个普通的四边形，你们小组合作，试试看。
学生操作。而后照片呈现学生的作品，讨论交流。
师：现在你们有结论了吗，一般的四边形能密铺吗？
生：能密铺。
师：通过刚才的操作活动，你们有什么发现或者窍门吗？
生：我发现要将边一样长的拼一起。
生：我发现角度拼起来刚好是360度。
师：你们有这样的感觉吗？（学生表示认同）
师：那我们一起再来试试看，是不是真如刚才同学所说的那样。
学生口述，教师在电脑中直接进行四边形的密铺。
返回：平行四边形、三角形、梯形这些图形的密铺，是否也具有同样的特点。
由此小结：原来密铺的时候同样长的边拼在一起，而且角度恰好是一个周角。
【设计意图】对于一般四边形的密铺，显然通过说理已经不能说明问题，于是果断选择动手操作。儿童的智慧出自指尖。动手操作实现让学生从具象的角度去验证自己的猜想。在实践过程中，学生有了“密铺好像要相同的边重合起来”“密铺好像和角度也有关系”的体验，多媒体演示一般四边形密铺的全过程，让学生多種感官共同参与，加深认识。
四、问题延续，思维不止
师：通过刚才的讨论，我们知道了一般的四边形也是能够密铺的。那你们还有进一步值得研究的问题吗？
生：刚才还有一个问题“是不是只要是直的边就能密铺呢”还没有解决。
师：对哦！还有五边形、六边形能密铺吗？
生：我在想这两种图形的密铺又会是怎样的？
师：是啊，我们还有很多问题没能够解决。那怎么办？
生：可以回去后拼一拼、试一试。
师：是呀，密铺的学问相当深，一节课肯定是解决不了的。但我们可以用这样研究的办法回去再实践，再验证。
【设计意图】学生学习数学的过程就是不断地发现和提出问题并加以解决的过程。学生对于密铺从陌生到有些了解、再到熟悉，但研究并没有结束，密铺的学问很深。因此课的最后再试着让学生提出进一步思考的问题或者尚未解决的问题，让学生带着问题出教室，继续研究，这才是真正的学习。
（浙江省桐乡市实验小学教育集团振东小学 314500）