论文部分内容阅读
摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.本文介绍了分类讨论常见的四种诱因，以及在四大类型方面的应用。
关键词：分类讨论 数学思维 数学思想 数学方法
推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治波利亚說：“完善的思维方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。
一、 分类讨论的引入
思维是一种复杂的心理活动过程。钱学森说：“思维科学以及心理学和教育学才是智力开发的基础。”当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干个子集，在各个子集中分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。分类讨论思想的实质是根据要求，确定分类的标准，进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解。进行分类讨论时，应该注意的是：第一应该明确分类的对象，但由于数学问题的千差万别、形态各异，对具体问题中谁是分类的对象，有些很明显，有些则比较隐蔽，需要认真分析。对同一问题，不同的出发点和不同的思维方式所选择的划分对象也不尽相同，划分对象选择得好，解法就简单，否则就复杂，甚至会误入歧途。特别要注意分类对象的统一，不能一会儿以这个对象为标准，一会儿以另一个对象为标准。第二是选择分类的标准，划分的对象确定后，紧接就是分类的标准，而标准的确定，要根据题目要求及已有的知识，具体情况具体分析，虽没有统一模式，但必须遵循既不重复，又不遗漏，且每次分类都必须按同一标准进行的原则，并力求最简。
二、分类讨论的应用
进行分类讨论的关键是明确分类讨论的原则，认识为什么要分类讨论，以什么标准分类，只有明确讨论的原因，才能恰当的进行分类讨论，这类题目可分为以下几种类型。
（1）对含有参数的题目，要对参数的允许值进行全面分类讨论。题目中含有不确定的参数时，常因参数取值范围的不同，使运算、结论都有受到影响的可能，而遇到这类情况就必须分类讨论，对参数定界，使运算及结论成为确定的或某种条件下的运算或结果。
例1：解不等式 （a+1）x>a2-1。分析：针对x前的系数（a+1）既可以大于0，或等于0，也可以小于0。不同的情况下有不同的答案，故也需要分类讨论。①当a+1>0 即a>-1时，则x>（a2-1）/（a+1）=a–1；②当a+1=0，即a= -1时，原不等式为0·x>0，故不等式无解；③当a+1<0 即a<-1时，则x<（a2-1） / （a+1）=a-1。综合得：a>-1时，x>a-1；a=-1时，无解；a<-1时，x （2）由图形的不确定而引起的分类。有的题目在题设条件下图形可能有几种情形，因此要对每种情况进行分类讨论求解，否则就可能漏解，这类问题多在立体几何或平面解析几何中出现。例2：如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从点A出发沿AB边想向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？分析：根据对应线段成比例，以及对应线段所夹的角相等，可以判定两个三角形相似，但因为对应线段的不同，所以也应用分类讨论。解：设经过t秒后，△PBQ∽△ABC，根据对应边成比例：① BP：BA=BQ：BC，则（8-2t）/1=4t/2，解得，t=2；② BP：BC=BQ：BA，则（8-2t）/2=4t/1，解得t=0.8。综合得：经过2秒或0.8秒后，△PBQ和△ABC相似。
（3）由变形所受到的限制而引起的分类。解题过程实际是一种变形过程，而好多的变形是受条件限制的。如等式两边同除以一个代数式时，要考虑这代数式的值是否为0；解不等式时，当两边同乘（除）以一个代数式时，考虑该代数式是正还是负；解无理不等式时，去掉根号前要考虑两边是否都大于0等等.分类讨论作为一种重要的数学方法之一。一方面可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题，有利于问题的解决；另一方面，恰当的分类讨论，可避免以偏概全，余值漏解。
数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要不懈努力，并掌握科学的学习方法，每个人都能学好数学。“在做中学会思考，在思中用心领悟”这句话道出了数学学习的真谛，即学好数学的关键是领悟，因此养成勇于实践，勤于思考的习惯并掌握思考问题的基本方法对学好数学至关重要。
关键词：分类讨论 数学思维 数学思想 数学方法
推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治波利亚說：“完善的思维方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。
一、 分类讨论的引入
思维是一种复杂的心理活动过程。钱学森说：“思维科学以及心理学和教育学才是智力开发的基础。”当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干个子集，在各个子集中分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。分类讨论思想的实质是根据要求，确定分类的标准，进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解。进行分类讨论时，应该注意的是：第一应该明确分类的对象，但由于数学问题的千差万别、形态各异，对具体问题中谁是分类的对象，有些很明显，有些则比较隐蔽，需要认真分析。对同一问题，不同的出发点和不同的思维方式所选择的划分对象也不尽相同，划分对象选择得好，解法就简单，否则就复杂，甚至会误入歧途。特别要注意分类对象的统一，不能一会儿以这个对象为标准，一会儿以另一个对象为标准。第二是选择分类的标准，划分的对象确定后，紧接就是分类的标准，而标准的确定，要根据题目要求及已有的知识，具体情况具体分析，虽没有统一模式，但必须遵循既不重复，又不遗漏，且每次分类都必须按同一标准进行的原则，并力求最简。
二、分类讨论的应用
进行分类讨论的关键是明确分类讨论的原则，认识为什么要分类讨论，以什么标准分类，只有明确讨论的原因，才能恰当的进行分类讨论，这类题目可分为以下几种类型。
（1）对含有参数的题目，要对参数的允许值进行全面分类讨论。题目中含有不确定的参数时，常因参数取值范围的不同，使运算、结论都有受到影响的可能，而遇到这类情况就必须分类讨论，对参数定界，使运算及结论成为确定的或某种条件下的运算或结果。
例1：解不等式 （a+1）x>a2-1。分析：针对x前的系数（a+1）既可以大于0，或等于0，也可以小于0。不同的情况下有不同的答案，故也需要分类讨论。①当a+1>0 即a>-1时，则x>（a2-1）/（a+1）=a–1；②当a+1=0，即a= -1时，原不等式为0·x>0，故不等式无解；③当a+1<0 即a<-1时，则x<（a2-1） / （a+1）=a-1。综合得：a>-1时，x>a-1；a=-1时，无解；a<-1时，x
（3）由变形所受到的限制而引起的分类。解题过程实际是一种变形过程，而好多的变形是受条件限制的。如等式两边同除以一个代数式时，要考虑这代数式的值是否为0；解不等式时，当两边同乘（除）以一个代数式时，考虑该代数式是正还是负；解无理不等式时，去掉根号前要考虑两边是否都大于0等等.分类讨论作为一种重要的数学方法之一。一方面可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题，有利于问题的解决；另一方面，恰当的分类讨论，可避免以偏概全，余值漏解。
数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要不懈努力，并掌握科学的学习方法，每个人都能学好数学。“在做中学会思考，在思中用心领悟”这句话道出了数学学习的真谛，即学好数学的关键是领悟，因此养成勇于实践，勤于思考的习惯并掌握思考问题的基本方法对学好数学至关重要。