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摘 要：函数是高中数学的一个极其重要的内容，在高考和会考中占据着较大的比重，而函数值域的求法又是函数的重难点之一，本文结合了2011年全国各地高考真题及一些经典例题归纳总结了八种函数值域的求法，希望能给值域的求法带来方便，有路可循。
关键词：函数 值域 求法
集合和函数映射是中学数学的重点之一，而函数值域的求法又是函数的重点内容之一。函数值域在每年的高考中，都会有一两题关于函数值域的题重要的作用，而对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是学生感到头痛的问题，本文就结合了2011年全国各地高考真题及一些经典题目对高中数学内容所涉及到函数值域求法进行讨论。
一、根据函数的性质求值域
高中在初中的基础上又学习了指数函数、对数函数、三角函数等，并深入研究了函数的性质，如单调性、周期性、对称性、有界性等，因此在求某些函数的值域时，我们可以将函数化简成这些函数的复合式，并根据函数的性质来确定函数的值域。
例1.（2011年上海理科卷）函数y=sin（ +x）cos（ -x）的最大值为_____。
分析：可以利用三角函数的恒等公式将原式化简成一角一函数，然后利用三角函数的有界性，求出最值。
解:由原函数式可得：y=cosx·cos（ -x）
∴y=cosx·（ cosx＋ sinx）
∴y= cos2x+ sinxcosx
∴y= cos2x+ sin2x+
∴y= sin（2x+ ）+
∵-1≤sin（2x- ）≤1，
∴ymax=
二、换元法求值域
1．三角换元法。由于三角函数的有界性，对于某些函数，若能通过换元引入三角函数，再利用三角函数的恒等变形，可以将原函数化简成一角一函数的式子，这样就可以借助三角函数的有界性解决相关值域问题。
例2.（2011年浙江理科卷）设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______。
分析：4x2+y2+xy=1可变形为（ +y）2+ x2=1，类比圆的参数方程，可设 +y=rsinθ， x=rcosθ，进行三角换元后可利用三角恒等式的化简技巧转化成求三角函数的值域问题。
解：4x2+y2+xy=1配方化简得：（ +y）2+ x2=1
由圆的参数方程，可设 +y=rsinθ， x=rcosθ（其中r=1）
解以上的方程组得：y=sinθ- cosθ，x= cosθ
代入2x+y得：
2x+y= cosθ+sinθ= （ ）2+1sin（θ+α）（其中tanα= ）
∵-1≤sin（θ+α）≤1，
∴（2x+y）max= （ ）2+1=
小结：题型含有a2+b2=1的条件，类似于圆的参数方程，也类似于同角三角函数的平方关系，它们是构造三角函数的主要特征。
2.代数换元法。对于函数解析式含有根式的题型,可以通过简单的换元将原函数转化成值域容易确定的另一简单函数，从而求得函数的值域。
例3．求函数y=x+ x-1的值域。
解：令t= x-1，（t≥0）则x=t2+1,
∵y=t2+t+1=（t+ ）2＋ ，又t≥0，由二次函数的性质可知：
当t=0时，ymin=1，∴函数的值域为[１，+∞）。
小结：求形如y=axb+ cx+d（a，b，c，d均为常数）的函数值域，往往可以考虑选用代数换元法。
三、求导法
若函数f（x）在[a，b]上单调增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值。若函数f（x）在[a，b]上单调减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值。（设函数y=f（x）在某个区间内可导，若f`（x）>0，则f（x）为增函数；若f`（x）<0，则f（x）为减函数），此方法可看作是单调性法求函数值域在导数方面的拓展。
例4.（11年全国理科Ⅱ卷）设函数f（x）=1n（1+x）- ，证明:x>0时，f（x）<0。
分析：本题也是判断f(x)在（0，+∞）上的值域问题。
解：f`（x）= -4x-4= ，
∵x>0，f`（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴fmax=f（0）=1n（1+0）- =0，即函数值域为(-∞，0)
所以，x>0时，f（x）<0得证。
四、定义域法
例5.求函数y= （4 解：∵4＜x＜7,∴ 1＜x-3＜4,
∴ ＜ ＜1, ＜ ＜2,
∴函数的值域为（ ，2）。
五、反函数法
例6.求y= 的值域。
解：求出此函数的反函数为f-1(x)= ,其中x≠ ,
即原函数值域为[-∞， ]∪[ ，+∞]
六、分离常数法
例7.求y= 的值域。
解：原函数可化为y=1- ，∵2x>0，∴2x+1>1，∴0< <1。即函数值域为（0，1]。
注：类似于均适用此法，但这种类型的函数往往也可用反函数法求解。
七、判别式法
例8.求函数y= 的值域。
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)x2-x+4（y-1）=0
（1）当y≠1时，x∈R,
△=(-1)2-16(y-1)(y-1)≥0，解得： ≤y≤ 。
（2）当y=1时，x=0,而1∈[ ， ]，
∴函数的值域为[ ， ]。
小结：对于解析式分子分母都是二次的分式型函数，值域可选用判别式法。
八、数形结合法
例9.求函数y=|2x- 1-x2+3|的值域。
分析：令t= 1-x2，则y=|2x-t+3|= · 5把原函数看作半圆t= 1-t2的动点到直线2x-t+3=0的距离d的 5倍，由此可知：
dmin= -1，dmax= 5。
所以原函数值域为[3- 5，5]。
以上是求函数值域的十种方法，这些方法综合了高中数学的很多知识，在求某个函数总值域时，首先一定要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，这些方法的归纳总结，希望能给求值域带来方便，更多的解题方法还需要广大师生进一步探讨。
参考文献
[1]黄培铣 查鼎盛 余鑫晖《初等数学研究》[M].广西师范大学出版社，1991。
[2]陈俊鸣《高考命题趋向及解读》[M].机械工业出版社，2005年7月第五版。
[3]张志军 函数值域的求法例说.《中学生数理化》（高中版）[J]. 2005。
[4]罗时健 再谈求函数值域取值范围问题.《数学教学》[J].2005年第10期。
关键词：函数 值域 求法
集合和函数映射是中学数学的重点之一，而函数值域的求法又是函数的重点内容之一。函数值域在每年的高考中，都会有一两题关于函数值域的题重要的作用，而对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是学生感到头痛的问题，本文就结合了2011年全国各地高考真题及一些经典题目对高中数学内容所涉及到函数值域求法进行讨论。
一、根据函数的性质求值域
高中在初中的基础上又学习了指数函数、对数函数、三角函数等，并深入研究了函数的性质，如单调性、周期性、对称性、有界性等，因此在求某些函数的值域时，我们可以将函数化简成这些函数的复合式，并根据函数的性质来确定函数的值域。
例1.（2011年上海理科卷）函数y=sin（ +x）cos（ -x）的最大值为_____。
分析：可以利用三角函数的恒等公式将原式化简成一角一函数，然后利用三角函数的有界性，求出最值。
解:由原函数式可得：y=cosx·cos（ -x）
∴y=cosx·（ cosx＋ sinx）
∴y= cos2x+ sinxcosx
∴y= cos2x+ sin2x+
∴y= sin（2x+ ）+
∵-1≤sin（2x- ）≤1，
∴ymax=
二、换元法求值域
1．三角换元法。由于三角函数的有界性，对于某些函数，若能通过换元引入三角函数，再利用三角函数的恒等变形，可以将原函数化简成一角一函数的式子，这样就可以借助三角函数的有界性解决相关值域问题。
例2.（2011年浙江理科卷）设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______。
分析：4x2+y2+xy=1可变形为（ +y）2+ x2=1，类比圆的参数方程，可设 +y=rsinθ， x=rcosθ，进行三角换元后可利用三角恒等式的化简技巧转化成求三角函数的值域问题。
解：4x2+y2+xy=1配方化简得：（ +y）2+ x2=1
由圆的参数方程，可设 +y=rsinθ， x=rcosθ（其中r=1）
解以上的方程组得：y=sinθ- cosθ，x= cosθ
代入2x+y得：
2x+y= cosθ+sinθ= （ ）2+1sin（θ+α）（其中tanα= ）
∵-1≤sin（θ+α）≤1，
∴（2x+y）max= （ ）2+1=
小结：题型含有a2+b2=1的条件，类似于圆的参数方程，也类似于同角三角函数的平方关系，它们是构造三角函数的主要特征。
2.代数换元法。对于函数解析式含有根式的题型,可以通过简单的换元将原函数转化成值域容易确定的另一简单函数，从而求得函数的值域。
例3．求函数y=x+ x-1的值域。
解：令t= x-1，（t≥0）则x=t2+1,
∵y=t2+t+1=（t+ ）2＋ ，又t≥0，由二次函数的性质可知：
当t=0时，ymin=1，∴函数的值域为[１，+∞）。
小结：求形如y=axb+ cx+d（a，b，c，d均为常数）的函数值域，往往可以考虑选用代数换元法。
三、求导法
若函数f（x）在[a，b]上单调增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值。若函数f（x）在[a，b]上单调减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值。（设函数y=f（x）在某个区间内可导，若f`（x）>0，则f（x）为增函数；若f`（x）<0，则f（x）为减函数），此方法可看作是单调性法求函数值域在导数方面的拓展。
例4.（11年全国理科Ⅱ卷）设函数f（x）=1n（1+x）- ，证明:x>0时，f（x）<0。
分析：本题也是判断f(x)在（0，+∞）上的值域问题。
解：f`（x）= -4x-4= ，
∵x>0，f`（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴fmax=f（0）=1n（1+0）- =0，即函数值域为(-∞，0)
所以，x>0时，f（x）<0得证。
四、定义域法
例5.求函数y= （4
∴ ＜ ＜1, ＜ ＜2,
∴函数的值域为（ ，2）。
五、反函数法
例6.求y= 的值域。
解：求出此函数的反函数为f-1(x)= ,其中x≠ ,
即原函数值域为[-∞， ]∪[ ，+∞]
六、分离常数法
例7.求y= 的值域。
解：原函数可化为y=1- ，∵2x>0，∴2x+1>1，∴0< <1。即函数值域为（0，1]。
注：类似于均适用此法，但这种类型的函数往往也可用反函数法求解。
七、判别式法
例8.求函数y= 的值域。
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)x2-x+4（y-1）=0
（1）当y≠1时，x∈R,
△=(-1)2-16(y-1)(y-1)≥0，解得： ≤y≤ 。
（2）当y=1时，x=0,而1∈[ ， ]，
∴函数的值域为[ ， ]。
小结：对于解析式分子分母都是二次的分式型函数，值域可选用判别式法。
八、数形结合法
例9.求函数y=|2x- 1-x2+3|的值域。
分析：令t= 1-x2，则y=|2x-t+3|= · 5把原函数看作半圆t= 1-t2的动点到直线2x-t+3=0的距离d的 5倍，由此可知：
dmin= -1，dmax= 5。
所以原函数值域为[3- 5，5]。
以上是求函数值域的十种方法，这些方法综合了高中数学的很多知识，在求某个函数总值域时，首先一定要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，这些方法的归纳总结，希望能给求值域带来方便，更多的解题方法还需要广大师生进一步探讨。
参考文献
[1]黄培铣 查鼎盛 余鑫晖《初等数学研究》[M].广西师范大学出版社，1991。
[2]陈俊鸣《高考命题趋向及解读》[M].机械工业出版社，2005年7月第五版。
[3]张志军 函数值域的求法例说.《中学生数理化》（高中版）[J]. 2005。
[4]罗时健 再谈求函数值域取值范围问题.《数学教学》[J].2005年第10期。