论文部分内容阅读
【摘 要】数学问题解决教学设计要求教师不能将自己的解题思维不加变动地呈现给学生，而是必须促进学生产生整理与组织信息的行为活动，启发学生通过对信息的处理过程，自行地萌生（数学）观念，在观念指导下发生有意识、有目的的行为。这样的教学过程实现了理解数学知识，生成数学观念，产生数学猜想，形成解题能力，落实核心素养，萌生数学情感等教育价值。
【关键词】数学问题解决;教学设计;以行致知;由知导行
【作者简介】杨经验，高级教师，淮北市濉溪县教育科学研究室中学数学教研员，主要研究方向为数学教育研究;张昆，高级教师，博士，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史等。
美国数学家哈尔莫斯说，问题是数学的心脏，是展开思维的动力。数学问题解决是巩固数学知识、发展数学能力、萌发数学观念、产生数学猜想（想象）、养成核心素养的重要途径;数学问题解决是体验创造精神、激发学习兴趣的前提;数学问题解决是将形成的数学能力与经验迁移到新情境（超过数学的范围）的关键。本文通过探究“以行致知”与“由知导行”统一的数学问题解决的创新教学设计，实现数学问题解决的教育价值。
一、数学问题解决教学设计创新实践示例
数学问题解决对促进学生理解教材（特定数学知识）起到了重要的作用。那么，促进学生理解数学知识的最有成效的数学问题是什么？教师应通过何种途径将教材所提供的练习题转化为富有成效的数学问题？这些都是在数学问题解决教学设计中，教師必须要考虑的问题。因为数学问题解决的教学价值具有等级层次性，除了取决于数学问题自身的性质与特点，教师的教学设计及其课堂实施方式也起到重要作用。笔者在听了一位教师的一节“三角形内角和定理”公开课后，就数学问题解决的教学设计做一些探讨。
例题 已知：如图1，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求证：∠CAD=∠CBA。
师：记∠ADC=∠BAC ①，∠CAD=∠CBA ②。用不同标识标示图1中①②这两个对等角。
生1：线段AD分割条件①中的∠BAC，因为图形重叠会影响探索问题的思路，所以先解决重叠问题，使我们更容易看清图形的本质。
师：请你动手试一试。
（学生活动关键环节：把图1中的△ADC平移出来，得到了图2与图4，根据已知条件①和要证明的结论②，把图2变换成图3的位置形态。教师相机板书作图，学生用不同标识标示出图1中①②两个对等角。）
师：对比图3与图4，大家有什么新发现吗？
生2：比较图3与图4中的两个三角形的相关角得：
已知条件是∠ADC=∠BAC ①，所求结论是∠CAD=∠CBA ②，公共角是∠ACD=∠BCA ③。
生3：①和③成立，要求证的结论②应该也成立。
师：还有其他想法吗？
生4：应用三角形的内角和等于180°进行解题。
师：如何应用？
生5：①②③式左边的三个角分别是△DAC三个内角，①②③式右边的三个角分别是△ABC三个内角。把这三个等式左、右两边分别相加，得到这两个三角形的内角和等于180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。
师：下一步该怎么办呢？
生6：两个等式右边都是180°，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB ④。只要将④的左、右两边分别减去①③的左、右两边，得到结论②成立。[1]
师：下面请同学们写出完整的证明过程。
（学生板书）
该课例无论是教学设计还是课堂实施，都有独到之处，蕴含了数学教学设计及其课堂实施的创新思想。为了探寻课例的深层价值，为今后的教学提供借鉴，笔者从理论内涵与实践内涵做进一步分析。
二、课例的理论内涵
课例展示的师生活动过程所提供的信息，能够抽象出某种程度上的理论意蕴，这对于发展时代教学理念，指导教师的教学设计及其课堂实施的行为具有重要作用。下文以“以行致知”与“由知导行”辩证统一的关系，探索数学问题解决的一般思维活动环节。
在真实的数学问题解决中，发现问题思路的关键性环节是理解与把握问题的条件信息。如果解题主体不知道条件信息所隐含的意义，那就不能解决问题（这是某种程度上的“以行致知”的活动过程）。解题主体用自己的解题经验，使条件信息进行合适的关联，组成正确率比较高的脉络轮廓，由这个脉络轮廓决定选择利用某个与它相似的具体知识结构（这是“由知导行”的活动过程）。“以行致知”与“由知导行”统一其实就是解题主体从题设信息所得到的脉络轮廓与他已经掌握的数学知识结构互相磨合、调适的过程;任何数学问题，只有经由这两者统一的过程，才能获得解决问题的思路[2]。
“以行致知”与“由知导行”的统一过程可以简单地概述为解题主体辨别条件信息的具体特点，抽绎出支点信息，抽绎的心理活动是由条件信息与学习掌握的数学知识结构之间互相吸引、相互诱导、互相渗透、相互调整的产物;基于支点信息与外围信息组织成具体数学知识结构的信息脉络轮廓;由脉络轮廓提示解题者选择具体的数学知识结构;当信息脉络轮廓与数学知识结构相统一时，问题便得以解决[3]（如图5）。
关于“以行致知”与“由知导行”的统一过程，笔者将其称为数学知识结构封装外在数学化信息的过程，简称“信息封装”的过程。因为解题主体在对条件信息（经由肢体或心智）的操作活动中，形成解题主体起承转合的心智活动与肢体活动相互配合、相互验证、相互促进的作用，从而萌生出一系列数学观念，这些数学观念指导解题主体的解题活动，这是“以行致知”与“由知导行”统一的重要标识。它为教师在数学问题解决中提供启发式教学设计的方向。 数学问题解决教学设计及其课堂实施创新的重要心理意向在于，当学生面对外在条件信息时，教师不是将其获得的解题思路的关键环节和盘托出呈现给学生，而是应该启发学生确定支点信息，并以其为“凝聚核”吸收外围信息，形成信息脉络轮廓，由信息轮廓的特点选择封装它的具体数学知识，最终以这个数学知识结构为蓝本对信息脉络轮廓加以检验，实现“信息封装”。在教学设计及其课堂实施中，教师要做足功课，重在启发学生不断地生成数学观念，用以指导他们发现解题思路的一系列活动，这正是数学问题解决教学设计及其课堂实施创新的主旨所在。
数学问题解决不是解题主体行为活动的直接结果，因为只有当主体依据解题的目的产生有意识的行为时，才会对问题解决发生作用。而这种目的是由主体已经掌握好的知识与观念提供的。当主体目前还不具备这样的观念时，教师要想方设法启发学生萌生出数学观念，而不是直接向学生发出具体行动的观念指令，这正是形成主体创造性思维的重要环节。当主体将信息组织成脉络轮廓时，如果发现与决定这一脉络轮廓的知识结构存在差异时，例如，脉络轮廓中缺少知识结构所要求的某些环节的信息元素，或者信息元素的位置难以调适成知识结构所要求的形态时，这就为解题主体寻求隐含条件提供动力。此时，猜想与想象的作用就应运而生了，由此可以提高解题主体洞幽察微的信息处理能力。
数学问题解决也不是主体已经拥有的知识结构的直接应用（因为主体所掌握的知识结构不同于客观知识），而是已经由人的数学观念系统赋予某种程度上的能动性。因为虽然主体意识结构中的知识结构本身具有客观性，但不能自动地适应问题所提供的信息。数学问题解决的过程必须在知识结构的引导下，主体通过活动探究信息的可能组成脉络轮廓，然后以知识结构为范式对所形成的信息脉络轮廓加以检验。在此过程中，知识结构首先转化观念形态，由观念的携载，调动它作用于信息的脉络轮廓。因此，这个课例的理论内涵就是数学问题解决的教学设计必须帮助学生实现“以行致知”与“由知导行”相统一的过程。
三、课例的实践内涵
这一课例源于某位教师的一节数学公开课，这位教师选择这道练习题作为“三角形内角和定理”教学内容的例题，目的是为了巩固“三角形内角和定理及其推论”这节新授课的知识。该教师利用多媒体呈现了问题，通过讲授法，向学生阐释分析过程。因为∠BAC=∠CAD+∠BAD，∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAD为公共角，于是，通过观察发现，为了证明结论∠CAD=∠CBA成立，只要证明∠BAC=∠ADC就达到目的了，而∠BAC=∠ADC是已知条件，显然成立。接着，该授课教师利用多媒体展示了证明过程，整个教学过程一气呵成。
在听课中，笔者观察到有少数学生就是如此直接发现解题思路的，说明这样的课堂实施方式确实具有一定的适应性基础。同时笔者还发现，大多数学生虽然能听得懂教师讲授的结论，但是对如此迅捷地获得解题思路感到非常突然。因为图形比较复杂，如果教师没有对分析过程进行提示，学生很难想到这样的解题思路。由于整个教学过程都是通过多媒体呈现，学生没有通过自行探究形成自己的解题思路，这种教学方式比较难以启发学生萌生指令行为活动的数学观念，学生体悟不到“信息封装”的过程。
从某种程度上说，这样的证明书写过程只是对发现过程做比较精致的整理和记录而已，如果将这种“记录”直接地呈现给学生，那就削弱了数学解题的教学价值[4]。
因此，教师应通过反思这种“记录”的心理来源，认识到获得解题思路的诸多环节的思维活动过程至关重要。教师在教学设计及其课堂实施中，应力求将“记录”的结果还原为这种结果的生成过程，即从分析信息要素，确定支点信息，萌生信息脉络，选择知识框架，实现“信息封装”，从而启发学生历经整个探究问题思路的心理过程，如此，才能发挥数学解题教学的价值，实现解题教学目标。
在整个教学过程，笔者只用寥寥数语来启发学生从操作外在数学化信息着手，引导学生从行动出发，要求学生标示出题设（图形）中的相等的角，促进学生感悟信息、组织信息，再将学生找到的条件经由选择合适的表征，使信息组织成信息轮廓，即板书①②③所产生的表征，由此表征启发学生萌生选择三角形内角和定理来“封装信息”的数学观念，这是解决数学问题的“顿悟”的过程（“以行致知”），它是培养学生创造性思维的基石。
比较这位教师与笔者的教学设计及其课堂实施过程发现，授课教师采用的是讲授法教学方式，而笔者采用的启发式教学方式。显然，这两种教学方式所产生的教学价值不同，实现的教学目标层次也不同。前者重在要求学生记住分析过程（其实只是“由知导行”，而没有“以行致知”这个环节），而后者着重培养学生自己分析条件信息，并从中获得信息脉络轮廓（“以行致知”），然后选择知识框架进行信息封装（“由知导行”）。笔者在教学设计及其课堂实施中实现了“以行致知”与“由知导行”的辩证统一，从而最大限度地发挥例题的教学价值。
四、结语
这是一个数学问题解决教学设计的创新实践课例，它基于“以行致知”与“由知导行”统一的教学过程，说明了为实现数学解题教学的价值，教师不能将自己发现的解题思维不加变动地呈现给学生，而是应该促进学生产生整理与组织信息的行为活动，启发学生通过对信息的操作过程，自行地萌生（数学）观念，在观念指导下发生有意识、有目的的行为，从而帮助学生实现理解数学知识，生成数学观念，形成解题能力，产生数学想象，养成数学素养，萌生数学情感等教育价值。
参考文献：
[1]张昆.整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中國教育学刊，2011（6）：52-55.
[2]郑毓信.传统应用题教学之当代重建（上）[J].中小学课堂教学研究，2020（1）：3-7.
[3]张昆，罗增儒.数学解题教学设计的实践探索：透过将解题形态转化为教学形态的视点[J].中小学课堂教学研究，2019（2）：16-19.
[4]张昆.潜心教学研究 实现专业成长：例析提升数学教师教学水平的心路历程[J].中学数学（高中版），2016（4）：48-52.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】数学问题解决;教学设计;以行致知;由知导行
【作者简介】杨经验，高级教师，淮北市濉溪县教育科学研究室中学数学教研员，主要研究方向为数学教育研究;张昆，高级教师，博士，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史等。
美国数学家哈尔莫斯说，问题是数学的心脏，是展开思维的动力。数学问题解决是巩固数学知识、发展数学能力、萌发数学观念、产生数学猜想（想象）、养成核心素养的重要途径;数学问题解决是体验创造精神、激发学习兴趣的前提;数学问题解决是将形成的数学能力与经验迁移到新情境（超过数学的范围）的关键。本文通过探究“以行致知”与“由知导行”统一的数学问题解决的创新教学设计，实现数学问题解决的教育价值。
一、数学问题解决教学设计创新实践示例
数学问题解决对促进学生理解教材（特定数学知识）起到了重要的作用。那么，促进学生理解数学知识的最有成效的数学问题是什么？教师应通过何种途径将教材所提供的练习题转化为富有成效的数学问题？这些都是在数学问题解决教学设计中，教師必须要考虑的问题。因为数学问题解决的教学价值具有等级层次性，除了取决于数学问题自身的性质与特点，教师的教学设计及其课堂实施方式也起到重要作用。笔者在听了一位教师的一节“三角形内角和定理”公开课后，就数学问题解决的教学设计做一些探讨。
例题 已知：如图1，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求证：∠CAD=∠CBA。
师：记∠ADC=∠BAC ①，∠CAD=∠CBA ②。用不同标识标示图1中①②这两个对等角。
生1：线段AD分割条件①中的∠BAC，因为图形重叠会影响探索问题的思路，所以先解决重叠问题，使我们更容易看清图形的本质。
师：请你动手试一试。
（学生活动关键环节：把图1中的△ADC平移出来，得到了图2与图4，根据已知条件①和要证明的结论②，把图2变换成图3的位置形态。教师相机板书作图，学生用不同标识标示出图1中①②两个对等角。）
师：对比图3与图4，大家有什么新发现吗？
生2：比较图3与图4中的两个三角形的相关角得：
已知条件是∠ADC=∠BAC ①，所求结论是∠CAD=∠CBA ②，公共角是∠ACD=∠BCA ③。
生3：①和③成立，要求证的结论②应该也成立。
师：还有其他想法吗？
生4：应用三角形的内角和等于180°进行解题。
师：如何应用？
生5：①②③式左边的三个角分别是△DAC三个内角，①②③式右边的三个角分别是△ABC三个内角。把这三个等式左、右两边分别相加，得到这两个三角形的内角和等于180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。
师：下一步该怎么办呢？
生6：两个等式右边都是180°，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB ④。只要将④的左、右两边分别减去①③的左、右两边，得到结论②成立。[1]
师：下面请同学们写出完整的证明过程。
（学生板书）
该课例无论是教学设计还是课堂实施，都有独到之处，蕴含了数学教学设计及其课堂实施的创新思想。为了探寻课例的深层价值，为今后的教学提供借鉴，笔者从理论内涵与实践内涵做进一步分析。
二、课例的理论内涵
课例展示的师生活动过程所提供的信息，能够抽象出某种程度上的理论意蕴，这对于发展时代教学理念，指导教师的教学设计及其课堂实施的行为具有重要作用。下文以“以行致知”与“由知导行”辩证统一的关系，探索数学问题解决的一般思维活动环节。
在真实的数学问题解决中，发现问题思路的关键性环节是理解与把握问题的条件信息。如果解题主体不知道条件信息所隐含的意义，那就不能解决问题（这是某种程度上的“以行致知”的活动过程）。解题主体用自己的解题经验，使条件信息进行合适的关联，组成正确率比较高的脉络轮廓，由这个脉络轮廓决定选择利用某个与它相似的具体知识结构（这是“由知导行”的活动过程）。“以行致知”与“由知导行”统一其实就是解题主体从题设信息所得到的脉络轮廓与他已经掌握的数学知识结构互相磨合、调适的过程;任何数学问题，只有经由这两者统一的过程，才能获得解决问题的思路[2]。
“以行致知”与“由知导行”的统一过程可以简单地概述为解题主体辨别条件信息的具体特点，抽绎出支点信息，抽绎的心理活动是由条件信息与学习掌握的数学知识结构之间互相吸引、相互诱导、互相渗透、相互调整的产物;基于支点信息与外围信息组织成具体数学知识结构的信息脉络轮廓;由脉络轮廓提示解题者选择具体的数学知识结构;当信息脉络轮廓与数学知识结构相统一时，问题便得以解决[3]（如图5）。
关于“以行致知”与“由知导行”的统一过程，笔者将其称为数学知识结构封装外在数学化信息的过程，简称“信息封装”的过程。因为解题主体在对条件信息（经由肢体或心智）的操作活动中，形成解题主体起承转合的心智活动与肢体活动相互配合、相互验证、相互促进的作用，从而萌生出一系列数学观念，这些数学观念指导解题主体的解题活动，这是“以行致知”与“由知导行”统一的重要标识。它为教师在数学问题解决中提供启发式教学设计的方向。 数学问题解决教学设计及其课堂实施创新的重要心理意向在于，当学生面对外在条件信息时，教师不是将其获得的解题思路的关键环节和盘托出呈现给学生，而是应该启发学生确定支点信息，并以其为“凝聚核”吸收外围信息，形成信息脉络轮廓，由信息轮廓的特点选择封装它的具体数学知识，最终以这个数学知识结构为蓝本对信息脉络轮廓加以检验，实现“信息封装”。在教学设计及其课堂实施中，教师要做足功课，重在启发学生不断地生成数学观念，用以指导他们发现解题思路的一系列活动，这正是数学问题解决教学设计及其课堂实施创新的主旨所在。
数学问题解决不是解题主体行为活动的直接结果，因为只有当主体依据解题的目的产生有意识的行为时，才会对问题解决发生作用。而这种目的是由主体已经掌握好的知识与观念提供的。当主体目前还不具备这样的观念时，教师要想方设法启发学生萌生出数学观念，而不是直接向学生发出具体行动的观念指令，这正是形成主体创造性思维的重要环节。当主体将信息组织成脉络轮廓时，如果发现与决定这一脉络轮廓的知识结构存在差异时，例如，脉络轮廓中缺少知识结构所要求的某些环节的信息元素，或者信息元素的位置难以调适成知识结构所要求的形态时，这就为解题主体寻求隐含条件提供动力。此时，猜想与想象的作用就应运而生了，由此可以提高解题主体洞幽察微的信息处理能力。
数学问题解决也不是主体已经拥有的知识结构的直接应用（因为主体所掌握的知识结构不同于客观知识），而是已经由人的数学观念系统赋予某种程度上的能动性。因为虽然主体意识结构中的知识结构本身具有客观性，但不能自动地适应问题所提供的信息。数学问题解决的过程必须在知识结构的引导下，主体通过活动探究信息的可能组成脉络轮廓，然后以知识结构为范式对所形成的信息脉络轮廓加以检验。在此过程中，知识结构首先转化观念形态，由观念的携载，调动它作用于信息的脉络轮廓。因此，这个课例的理论内涵就是数学问题解决的教学设计必须帮助学生实现“以行致知”与“由知导行”相统一的过程。
三、课例的实践内涵
这一课例源于某位教师的一节数学公开课，这位教师选择这道练习题作为“三角形内角和定理”教学内容的例题，目的是为了巩固“三角形内角和定理及其推论”这节新授课的知识。该教师利用多媒体呈现了问题，通过讲授法，向学生阐释分析过程。因为∠BAC=∠CAD+∠BAD，∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAD为公共角，于是，通过观察发现，为了证明结论∠CAD=∠CBA成立，只要证明∠BAC=∠ADC就达到目的了，而∠BAC=∠ADC是已知条件，显然成立。接着，该授课教师利用多媒体展示了证明过程，整个教学过程一气呵成。
在听课中，笔者观察到有少数学生就是如此直接发现解题思路的，说明这样的课堂实施方式确实具有一定的适应性基础。同时笔者还发现，大多数学生虽然能听得懂教师讲授的结论，但是对如此迅捷地获得解题思路感到非常突然。因为图形比较复杂，如果教师没有对分析过程进行提示，学生很难想到这样的解题思路。由于整个教学过程都是通过多媒体呈现，学生没有通过自行探究形成自己的解题思路，这种教学方式比较难以启发学生萌生指令行为活动的数学观念，学生体悟不到“信息封装”的过程。
从某种程度上说，这样的证明书写过程只是对发现过程做比较精致的整理和记录而已，如果将这种“记录”直接地呈现给学生，那就削弱了数学解题的教学价值[4]。
因此，教师应通过反思这种“记录”的心理来源，认识到获得解题思路的诸多环节的思维活动过程至关重要。教师在教学设计及其课堂实施中，应力求将“记录”的结果还原为这种结果的生成过程，即从分析信息要素，确定支点信息，萌生信息脉络，选择知识框架，实现“信息封装”，从而启发学生历经整个探究问题思路的心理过程，如此，才能发挥数学解题教学的价值，实现解题教学目标。
在整个教学过程，笔者只用寥寥数语来启发学生从操作外在数学化信息着手，引导学生从行动出发，要求学生标示出题设（图形）中的相等的角，促进学生感悟信息、组织信息，再将学生找到的条件经由选择合适的表征，使信息组织成信息轮廓，即板书①②③所产生的表征，由此表征启发学生萌生选择三角形内角和定理来“封装信息”的数学观念，这是解决数学问题的“顿悟”的过程（“以行致知”），它是培养学生创造性思维的基石。
比较这位教师与笔者的教学设计及其课堂实施过程发现，授课教师采用的是讲授法教学方式，而笔者采用的启发式教学方式。显然，这两种教学方式所产生的教学价值不同，实现的教学目标层次也不同。前者重在要求学生记住分析过程（其实只是“由知导行”，而没有“以行致知”这个环节），而后者着重培养学生自己分析条件信息，并从中获得信息脉络轮廓（“以行致知”），然后选择知识框架进行信息封装（“由知导行”）。笔者在教学设计及其课堂实施中实现了“以行致知”与“由知导行”的辩证统一，从而最大限度地发挥例题的教学价值。
四、结语
这是一个数学问题解决教学设计的创新实践课例，它基于“以行致知”与“由知导行”统一的教学过程，说明了为实现数学解题教学的价值，教师不能将自己发现的解题思维不加变动地呈现给学生，而是应该促进学生产生整理与组织信息的行为活动，启发学生通过对信息的操作过程，自行地萌生（数学）观念，在观念指导下发生有意识、有目的的行为，从而帮助学生实现理解数学知识，生成数学观念，形成解题能力，产生数学想象，养成数学素养，萌生数学情感等教育价值。
参考文献：
[1]张昆.整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中國教育学刊，2011（6）：52-55.
[2]郑毓信.传统应用题教学之当代重建（上）[J].中小学课堂教学研究，2020（1）：3-7.
[3]张昆，罗增儒.数学解题教学设计的实践探索：透过将解题形态转化为教学形态的视点[J].中小学课堂教学研究，2019（2）：16-19.
[4]张昆.潜心教学研究 实现专业成长：例析提升数学教师教学水平的心路历程[J].中学数学（高中版），2016（4）：48-52.
（责任编辑：陆顺演）