思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。数学思维品质则反映了个体间数学思维发展水平的差异，是衡量数学思维的优劣，判断数学能力高低的主要指标。它包括思维的广阔性、严密性、灵活性、敏捷性、深刻性、批判性和创造性等品质。
　　函数作为高中数学的一根主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的概念，定义域，值域，解析式是函数的基础，也是高考的热点。其中，函数的定义域是函数存在的基础，是进一步研究函数值域、奇偶性、单调性、周期性等性质的前提。然而在教学过程中我发现很多学生在解题时对定义域经常不加以注意，不是漏了考虑就是考虑错误，从而在解题过程中出现各种各样的错误。所以我们在教学中一定要强调定义域对解题结论的作用与影响，这不仅能提高学生解题能力，更对提高学生的数学思维品质提供帮助。
　　一、 培养学生数学思维的广阔性
　　思维的广阔性又成为思维的发散性，它包括善于运用多方面知识和经验，从多角度、多层次、全方位考虑问题的思维品质。
　　函数的定义域是指自变量的允许值范围，函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
　　例1：求函数y=x+的值域
　　法1：通常此类问题可用判别式求解：
　　原函数变形为：（y-x）2=（2-x） x2-2xy+y2-2+x=0
　　由关于x的二次方程：x2+（1-2y）·x+y2-2=0有解
　　△=（1-2y）2-4×1×（y2-2）≥0
　　解得：y≤即函数y的值域为（-∞， ]
　　法2：我们换个角度思考问题，换元法是数学中的一大通法，无处不在，考虑到根号的问题可以设t= （x≤2）
　　∴x=2-t2 （t≥0） （这里要注意到t的取值范围）
　　于是：y=2-t2+t= -（ t- ）2+（t≥0）
　　显然：当t= ∈[0、+∞]时，y有最大值
　　∴y∈（-∞， ]
　　从这个例题可以看出，数学教学中对学生思维广阔性的培养，一般做法是以问题解决为核心，启迪学生多层次观察、多方位联想、多角度探索、多途径获解。具体而言，逆向思维训练、横向思维训练、以及一题多解和一题多变等作为培养思维广阔性的重要手段，用一题多解培养学生思维的广阔性。
　　二、培养学生数学思维的严密性
　　数学思维的严密性是指思考问题符合逻辑且严密、准确，数学运算准确无误。
　　函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
　　例2：学校计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
　　解：设矩形的长为x米，则宽为（100-x）米，由题意得：
　　S=x（100-x）
　　故函数关系式为：.S=x（100-x）
　　如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于100的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为负数或零，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0　　即：函数关系式为： S=x（100-x）（0　　这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
　　三、培养学生数学思维的灵活性
　　思维的灵活性是指对所学的知识、方法的灵活运用。数学思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能根据客观条件的变化及时地改变和调整固有的思维形式，摆脱思维定势的影响，从多方面、多角度寻找解决问题的途径。
　　函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
　　例3：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值.
　　解：∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4
　　∴ 当x-1时，ymin=-4
　　初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。其实这个结论只是对二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：对称轴 x=
　　⑴ 当-　　⑵ 当->q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数； f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）
　　⑶ 当p≤≤q时，f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）上最值情况是：
　　f（x）min=f（-）=
　　f（x）min=max{f（p），f（q）}
　　即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。
　　故本题还要继续做下去：
　　∵ -2<1<5
　　∴ 函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。
　　学生产生这种错误的根源在于：老师在数学教学中，过分强调解题过程的模式化，就容易使学生形成思维定势，学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
　　四、培养学生数学思维的敏捷性
　　数学思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性，表现为思考问题时的敏锐快速反应、善于运用直觉思维、善于把问题转换化、善于使用数学模式。
　　判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如： 　　若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
　　如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
　　错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
　　五、培养学生数学思维品质的深刻性
　　数学思维的深刻性，是指在分析问题、解决问题的过程中，能够探求所研究问题的实质，以及问题之间的相互联系。它主要体现在主体善于从复杂的现象中把握事物的本质及规律；善于探索事物间的联系与差异；善于将已有事实变更、推广为更深刻的结果等。
　　函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
　　从上面的例题可以发现，在做题时很多学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，这说明学生对函数单调性的概念一知半解，因而在做练习或作业时，只是对题型套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
　　六、培养学生数学思维品质的批判性
　　思维的批判性是指思维严谨而不疏漏，能准确觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活。数学思维的批判性是指思维活动中，善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的品质。批判性思维是一种实事求是、周到、缜密的思维。
　　例6：求函数 的定义域。
　　解：要使函数有意义，则必须且只须满足：
　　∴所求定义域为ф。
　　评点：根据中学数学课本中函数的定义，定义域要求为非空数集。因此，以上例题根本不构成一个函数。
　　一个不具科学性的题目，可能会使学生误入歧途，不利于逻辑思维能力的形成和发展，但只要教师处理得当，及时评点，也能获得良好的教学效果。使学生形成严谨的科学治学态度，而且有助于培养思维的批判性。
　　七、培养学生数学思维的创造性
　　思维的创造性是指利用学过的知识去发现已有知识之间的新关系。数学思维的创造性，是指思维的结果相对于已有的认识成果来说，具有独创性和新颖性。教师可以通过培养学生对数学知识的综合应用、灵活运用的能力来培养思维的创造性。
　　例7、设a，b，c∈且它们的绝对值都不大于1，求证Ab+bc+ca≥-1。
　　分析：本题直接证明无从下手，想到构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。
　　证明：构造函数F（a）=ab+bc+ca+1=（b+c）a+bc+1，a∈[-1，1]， ∵b，c∈[-1，1]，故有F（-1）=-（b+c）+bc+1=（1-c）（1-b） ≥0，∴f（a）在定义域[-1，1]上恒为非负，即f（a） ≥0恒成立。∴ab+bc+ca≥-1。
　　本题求解，若不注意定义域的导向作用，很难下手，定义域为我们指点了解题迷津。
　　运用函数的定义域定向，思路清晰，方法巧妙。巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
　　学生的各种思维品质是一个相辅相成，彼此渗透、互相促进、互为补充的整体。在教学过程中，教师应将它们有机地结合起来，有目的有计划地强化思维训练，培养学生良好的数学思维品质。只有这样，我们才能在真正意义上适应素质教育对数学教学的要求，使学生的思维品质在数学学习中得到充分的培养。
　　苏霍姆林斯基说，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者、研究者、探索者，而在学生的精神世界中这种需要特别强烈。我们的教学过程如果能够拉长学生思维爬坡的过程，使得思维在更加复杂的情境中得到细腻的省察、从容的舒展、脚踏实地的进步，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，才是真正培养了学生的思维能力，进而能够不断提高学生思维能力，最终达到培养学生思维的创造性和探索性的目的。