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函数的对称性是函数的基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性等，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系。进入高中我们学习了函数的奇偶性，我们知道奇函数关于原点对称，偶函数是关于y轴对称的，这就是最基本的中心对称和轴对称，由此我们联想能否有类似的其他对称的一些结论，下面我们由此做一下初步的探讨。
一、轴对称
我们知道对于函数y=f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数，且关于x=0（ y轴）对称。由此我们联想问题，已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(5+x)=f(5-x)，问：它的图像是不是轴对称图形？对称轴是x=5吗？为了准确地回答上述问题，必须探讨以下结论：
结论1：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)，那么y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
证明：设点P(x0,y0)是y=f(x)的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为(2a-x0,y0)。
因为点P(x0,y0)在y=f(x)的图像上，所以f(x0)=y0
于是f(2a-x0)=f［a+(a-x0)］=f［a-(a-x0)］=f(x0)=y0
所以点Q(2a-x0,y0)也在y=f(x)的图像上。
由P点的任意性知，y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
由结论1中，易得函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)（T为常数）的充要条件是y=f(x)的图象关于直线对称。
结论2：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(b-x)，那么y=f(x)的图像关于直线x=a+b2的对称。
证明：（略）（证明同结论1）
二、中心对称
我们知道对于函数y=f(x)(x∈R)满足f(-x)-f(x)，则该函数为奇函数且关于点（0，0）对称，由此我们联想 关于点（5，0）对称吗? 为了准确地回答上述问题，必须探讨以下结论：
结论3：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=-f(a-x)那么，y=f(x)的图像关于点（a,0）对称。
证明：类似结论1
结论4。如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=-f(b-x)，那么，y=f(x)的图像关于点（a+b2，0）对称。
三、两个易混的问题
1、在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x) (b>a)则关于直线x=b-a2（证明也类似结论一）
2、对称性和周期性间易混。
如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
证明：令x-a=x'，则x=x'+a，x+a=x'+2a
代入已知条件f(x+a)=f(x-a)
得：f(x'+2a)+f(x')
根据周期函数的定义知，y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)是以a+b为周期的周期函数。
四、应用
例1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=-x，则f(8.6)=（第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；
又∵f(1+x)=f(1-x) ∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例2：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数
(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例3（2009全国高考11题）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则
(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是奇函数
(C)(D)f(x)=f(x+2)f(x+3)是奇函数
解：有奇函数性质易得f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x)=-f(2-x)有上面结论得f(x)关于(1.0)点对称，同理可得f(x)=-f(-2-x)，f(x)关于(-1.0)点对称，有以上两式得f(2-x)=f(-2-x)即一个周期是4，也关于(3.0)点对称所以选(D)
学习数学就要有一个研究问题的态度，从特殊到一般总结出结论，这给我们的解题带来方便，同时也培养了同学探究能力。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、轴对称
我们知道对于函数y=f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数，且关于x=0（ y轴）对称。由此我们联想问题，已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(5+x)=f(5-x)，问：它的图像是不是轴对称图形？对称轴是x=5吗？为了准确地回答上述问题，必须探讨以下结论：
结论1：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)，那么y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
证明：设点P(x0,y0)是y=f(x)的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为(2a-x0,y0)。
因为点P(x0,y0)在y=f(x)的图像上，所以f(x0)=y0
于是f(2a-x0)=f［a+(a-x0)］=f［a-(a-x0)］=f(x0)=y0
所以点Q(2a-x0,y0)也在y=f(x)的图像上。
由P点的任意性知，y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
由结论1中，易得函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)（T为常数）的充要条件是y=f(x)的图象关于直线对称。
结论2：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(b-x)，那么y=f(x)的图像关于直线x=a+b2的对称。
证明：（略）（证明同结论1）
二、中心对称
我们知道对于函数y=f(x)(x∈R)满足f(-x)-f(x)，则该函数为奇函数且关于点（0，0）对称，由此我们联想 关于点（5，0）对称吗? 为了准确地回答上述问题，必须探讨以下结论：
结论3：如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=-f(a-x)那么，y=f(x)的图像关于点（a,0）对称。
证明：类似结论1
结论4。如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=-f(b-x)，那么，y=f(x)的图像关于点（a+b2，0）对称。
三、两个易混的问题
1、在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x) (b>a)则关于直线x=b-a2（证明也类似结论一）
2、对称性和周期性间易混。
如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
证明：令x-a=x'，则x=x'+a，x+a=x'+2a
代入已知条件f(x+a)=f(x-a)
得：f(x'+2a)+f(x')
根据周期函数的定义知，y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)是以a+b为周期的周期函数。
四、应用
例1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=-x，则f(8.6)=（第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；
又∵f(1+x)=f(1-x) ∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例2：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数
(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例3（2009全国高考11题）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则
(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是奇函数
(C)(D)f(x)=f(x+2)f(x+3)是奇函数
解：有奇函数性质易得f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x)=-f(2-x)有上面结论得f(x)关于(1.0)点对称，同理可得f(x)=-f(-2-x)，f(x)关于(-1.0)点对称，有以上两式得f(2-x)=f(-2-x)即一个周期是4，也关于(3.0)点对称所以选(D)
学习数学就要有一个研究问题的态度，从特殊到一般总结出结论，这给我们的解题带来方便，同时也培养了同学探究能力。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文