论文部分内容阅读
【摘要】简便运算在人们日常生活中应用广泛，也是小学数学运算教学的重中之重，但是由于运算方法的多样化和题型的千变万化导致教学时困难重重。本文以“乘法分配律”为例，从模型建构的角度探讨如何化解教学中的难点问题，希望以此为突破口，找到简便运算教学的基本方法模型。
【关键词】乘法分配律 模型建构 简便运算
简算在人们日常生活中应用非常广泛，也是整个小学运算教学的重中之重。新课标要求学生面对数学问题时，要能够从不同的角度利用掌握的知识和方法灵活解决问题，而简便运算就是运算策略多样化和最优化的集中体现，它要求学生能综合应用各项运算技巧，是计算题中最能够培养学生思维能力的一类题型。同时，由于简便运算的方法多样，题目类型千变万化，时常导致学生晕头转向、张冠李戴，简便运算的教学也往往成为运算教学中的老大难。学生弄不清到底什么样的题目该用简便方法，用怎样的简便方法。所以，每当在教学简便运算这部分内容的时候，学生和教师往往叫苦不迭，问题频出。而乘法分配律与其他的运算律相比，由于涉及两种不同的运算，所以更是成为整个简便运算教学中最难的部分。因此，如何科学有效地进行乘法分配律的教学，便成为教师们最迫切需要解决的问题。
新课标指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，有助于提高学生学习数学的兴趣和应用意识，而乘法分配律本身就是一种重要的数学模型，本文试图从模型建构的角度探讨如何化解乘法分配律教学中的难点问题。期待以此为突破口，找到简便运算教学的基本方法模型。
一、抓住生活之“形”
数学来源于生活，抽象的模型建构更要以丰富的生活背景为基础，让学生经历从具体到抽象的完整过程。
1.在问题情境中建模
数学课程标准强调要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并解释与应用的过程。因此，如何在乘法分配律的教学中，让学生充分经历模型建构的过程至关重要。创设问题情境能引导学生感知问题解决过程中的普遍规律，亲身经历将具有相同结构的现象不断数学化的过程，笔者分析了几套教材对乘法分配律的编排，发现都是从学生熟知的生活情境中提出数学问题，并通过解决实际问题，对算式进行观察、比较、分析，进而为抽象出乘法分配律的数学模型创造条件。
以“苏教版”的“领跳绳”情境为例：
学生在求“四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳，四五年级一共要领多少根跳绳？”时得出以下两种计算方法：
（1）先用（6 4）算出一共的班级数，再乘24就可以算出两个年级一共要领多少根跳绳，列式为（6 4）×24。
（2）先算四年级的跳绳根数，再算五年级的跳绳根数，然后把两个年级的跳绳根数合起来，列式为6×24 4×24。
学生发现无论是哪一种算法都能解决这个问题，进而发现两个算式的结果相等，中间可以用等号连接。通过这个实际问题的解决，教师可以借“领跳绳”的问题情境帮助学生建立乘法分配律的情境模型，即无论是两个年级一起领还是分开领，其计算结果是相等的。回归生活世界的问题情境能帮助学生理解乘法分配律的生活原理，加深对简算算理的理解，使新知的建构自然而有温度。
2.在数形结合中建模
在具体情境中解决数学问题是一种生活化的模型建构。然而，我们最终必将引导学生通过数学符号来建构数学模型，根据小学生的思维特点，从具体到抽象需要有一个逐步提升的过程，在乘法分配律的教学中用好“数形结合”可以帮助学生在数学模型建构之前首先建立一个清晰的几何模型轮廓，起到循序渐进的作用。例如，上述内容在北师大版例题情境下，教师可以适当加以引导和转化，将生活中的贴瓷砖问题转化成数学中的长方形的面积计算问题。
●贴了多少块瓷砖？说说你是怎样算的。
教师可以结合抽象的长方形图形，引导学生分别说一说“（4 6）×8、4×8 6×8、（5 3）×10、5×10 3×10”四道算式表示的具体意义，从而，又可以让学生在头脑中建立起“直接计算大长方形的面积和先分别计算两个小长方形的面积再相加，其结果是相等的”几何直观模型。
二、紧扣意义之“神”
无论是情境中建模时生活经验的激活，还是数形结合时几何直观的建立，其显著的特点都是在学生的头脑中建立形象、直观的模型，可谓抓住了生活的“形”。但数学的学习光有表面的直觀是远远不够的，还需着眼意义上的建构，紧扣意义之“神”，让学生“知其然”更“知其所以然”。因此，在教学中，教师还要引导学生从“乘法意义”的角度来理解乘法分配律，如结合等式（6 4）×24=6×24 4×24可以引导学生理解：等号左边表示有“（6 4）个24的和，即10个24的和”，等号右边表示“6个24的和加上4个24的和，也是10个24的和”，所以左边和右边相等。意义上的建构让学生既在形式上把握了乘法分配律的特点，又深层次地理解了本质意义。
而且，深层次意义的建构能较好地帮助学生化解易错题的困难，如学生经常把“98×25”这样的题算成“（98 2）×25”，“101×64”算成“100×64 1”，这样的错例在乘法分配律的学习过程中是很常见的，教师们也常常一筹莫展。其实，针对这样的错例，只要注重从乘法的意义来理解算式，问题就可以迎刃而解。如98×25，从意义上来理解可以先算100个25，再减去2个25，所以正确的计算应该是100×25-2×25，而101/64也就不难理解成应该将100个64的和与1个64合起来，所以应该写成100×64 64×1或100×64 64。
三、提炼数学之“魂”
生活中的充分感知和模型建构以及深层意义的理解为提炼乘法分配律的数学模型奠定了坚实的基础，若在此基础上能更好地组织学生进行等式特征的观察、符号模型的抽象和整理，则乘法分配律数学模型之“魂”呼之欲出，简便运算的教学之“难”便不攻自破。 1.观察等式特征
学生在解决实际问题的过程中，能初步感知到等式的特征，如果进一步观察对比就能发现等式的规律，再通过大量的举例验证，将会使学生更加熟悉乘法分配律的模型结构，也能帮助学生在理解乘法分配律的同时积累数学活动经验。
例如，在苏教版的例题教学后，教师就引导学生观察等式“（6 4）×24=6×24 4×24”，并说一说自己的发现，学生会从左右两边算式中数据、符号等特点进行表述：
生1：我发现这两道算式都是用同样的三个数写成的。
生2：左边的算式中“24”用了一次，右边的算式中“24”用了两次。
生3：左边是把6加4的和与24相乘，右边是把6和4分别与24相乘。
生4：我发现了左边是两个数的和与一个数相乘，右边是两个数分别与这个数相乘，再把积相加。
从上面可以看出，学生在观察、对比的基础上可以找到或接近等式最本质的特征。此时，关于乘法分配律的等式模型在交流的过程中已初见雏形，也为后面学生的自主举例验证做好铺垫。教师可适时启发：刚才大家的发现是不是一种巧合？你能不能再举一些例子来进行验证呢？通过对大量例子的再观察，学生建构的等式模型将更为清晰。
2.抽象符号模型
（1）个性化的语言表述
语言是思维的外衣，在学生认识了乘法分配律等式特征之后，教师要让学生充分、自由地用自己的语言试着表述“乘法分配律”，通过语言的表述能让学生加深对模型结构的理解，也能更好地发展学生的思维能力。人教版和苏教版的教材上都有语言阐述乘法运算律的完整表达，这也充分说明语言表述的重要性。
事实上，只要在课堂上充分放开，学生的表达是多元而生动的，如：“先算出两个数的和，再和另一个数相乘，就等于这两个数分别和另一个数相乘，再相加。”“括号中的两个数先加起来再乘一个数，等于将括号里的每一个数都去乘括号外面的这个数，再加起来。”值得注意的是，在鼓励个性化的语言表述的基础上教师也要关注表述的科学、规范、完整、简洁，真正帮助学生实现知识的内化。
（2）结构化的模型整理
建构符号模型是在学生对乘法分配律本质特征有了准确、充分认识的基础上进行的，它将使得前面具体形象的模型建构完整，这是建立乘法分配律数学模型的重要阶段，也是学生顺利建立符号模型，提升思维品质的过程。由于学生已经经历了加法运算律及乘法交换律的符号模型建构，并且对乘法分配律也已经有了充分的认识，所以其符号模型“（a b）×c=a×c b×c”的建构是顺理成章、呼之欲出的。此时，需要将乘法分配律放到整个运算律教学结构中，引导学生对所学的运算律进行适当的结构化的分类整理，明晰其中的联系和区别，形成完整的知识结构网络。
在学生自主整理后，会产生如下几种分类方法：
①a b=b a，（a b） c=a （b c）;a×b=b×a，（a×b）×c=a×（b×c），（a b）×c=a×c b×c（按加法运算律、乘法运算律分类）。
②a b=b a，a×b=b×a;（a b） c=a （b c），（a×b）×c=ax（b×c）;（a b）×c=a×c b×c（按交换律、结合律、分配律分类）。
③a b=b a，（a b） c=a （b c），a×b=b×a，（a×b），c=ax（b×c）;（a b）×c=a×c b×c（按同级运算、两级运算分类）……
从学生对运算律的整理来看，虽然方法不同，但大家都能根据特征有条理地整理，也提高了学生对运算律的认识水平。
四、夯实应用之“根”
学以致用，用所学知识解决实际问题是学习的根本目的。因此，在成功构建了乘法分配律的数学模型之后，教师要引导学生应用模型，在应用的过程中不仅能让学生体会到数学学习的意义，更能提高学生思维的灵活性、深刻性和创造性，强化已有的知識结构，真正夯实数学模型的应用根基。
在本节课的学习后，可以从模型的基础应用、变式应用、对比应用等角度来设计相应的练习：
1.基础应用：填一填。
（1）（25 3）×4=D×D D×□。
（2）8×（125 7）=□×□ □×□。
（3）7×59 3×59=（□ □）×□。
（4）15×6 6×5=（□ □）×□。
2.变式应用：算一算。
99×19 19 65×101
3.对比应用：想—想（用两种不同的简算方法计算下题）。
25×24
通过填一填、算一算、想一想的练习设计让学生灵活应用乘法分配律的数学模型，掌握模型的正、逆向的运用，对比乘法结合律和分配律在解决同一个问题时的解题过程，能更有效地促进知识的内化，同时也让学生体会到数学知识的应用价值。
乘法分配律是应用最广泛、最核心，学习难度最大的运算律，这就决定了数学教师要充分认识其本质特征，牢牢抓住教学要点，让模型思想深深扎根学生头脑之中。当然，任何事物都不是一成不变的，运算律的教学也随着时代的发展而要求我们不断创新教学思维和教学方法，但万变不离其宗，做足模型建构之“功”必定是运算律教学的根本。
【关键词】乘法分配律 模型建构 简便运算
简算在人们日常生活中应用非常广泛，也是整个小学运算教学的重中之重。新课标要求学生面对数学问题时，要能够从不同的角度利用掌握的知识和方法灵活解决问题，而简便运算就是运算策略多样化和最优化的集中体现，它要求学生能综合应用各项运算技巧，是计算题中最能够培养学生思维能力的一类题型。同时，由于简便运算的方法多样，题目类型千变万化，时常导致学生晕头转向、张冠李戴，简便运算的教学也往往成为运算教学中的老大难。学生弄不清到底什么样的题目该用简便方法，用怎样的简便方法。所以，每当在教学简便运算这部分内容的时候，学生和教师往往叫苦不迭，问题频出。而乘法分配律与其他的运算律相比，由于涉及两种不同的运算，所以更是成为整个简便运算教学中最难的部分。因此，如何科学有效地进行乘法分配律的教学，便成为教师们最迫切需要解决的问题。
新课标指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，有助于提高学生学习数学的兴趣和应用意识，而乘法分配律本身就是一种重要的数学模型，本文试图从模型建构的角度探讨如何化解乘法分配律教学中的难点问题。期待以此为突破口，找到简便运算教学的基本方法模型。
一、抓住生活之“形”
数学来源于生活，抽象的模型建构更要以丰富的生活背景为基础，让学生经历从具体到抽象的完整过程。
1.在问题情境中建模
数学课程标准强调要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并解释与应用的过程。因此，如何在乘法分配律的教学中，让学生充分经历模型建构的过程至关重要。创设问题情境能引导学生感知问题解决过程中的普遍规律，亲身经历将具有相同结构的现象不断数学化的过程，笔者分析了几套教材对乘法分配律的编排，发现都是从学生熟知的生活情境中提出数学问题，并通过解决实际问题，对算式进行观察、比较、分析，进而为抽象出乘法分配律的数学模型创造条件。
以“苏教版”的“领跳绳”情境为例：
学生在求“四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳，四五年级一共要领多少根跳绳？”时得出以下两种计算方法：
（1）先用（6 4）算出一共的班级数，再乘24就可以算出两个年级一共要领多少根跳绳，列式为（6 4）×24。
（2）先算四年级的跳绳根数，再算五年级的跳绳根数，然后把两个年级的跳绳根数合起来，列式为6×24 4×24。
学生发现无论是哪一种算法都能解决这个问题，进而发现两个算式的结果相等，中间可以用等号连接。通过这个实际问题的解决，教师可以借“领跳绳”的问题情境帮助学生建立乘法分配律的情境模型，即无论是两个年级一起领还是分开领，其计算结果是相等的。回归生活世界的问题情境能帮助学生理解乘法分配律的生活原理，加深对简算算理的理解，使新知的建构自然而有温度。
2.在数形结合中建模
在具体情境中解决数学问题是一种生活化的模型建构。然而，我们最终必将引导学生通过数学符号来建构数学模型，根据小学生的思维特点，从具体到抽象需要有一个逐步提升的过程，在乘法分配律的教学中用好“数形结合”可以帮助学生在数学模型建构之前首先建立一个清晰的几何模型轮廓，起到循序渐进的作用。例如，上述内容在北师大版例题情境下，教师可以适当加以引导和转化，将生活中的贴瓷砖问题转化成数学中的长方形的面积计算问题。
●贴了多少块瓷砖？说说你是怎样算的。
教师可以结合抽象的长方形图形，引导学生分别说一说“（4 6）×8、4×8 6×8、（5 3）×10、5×10 3×10”四道算式表示的具体意义，从而，又可以让学生在头脑中建立起“直接计算大长方形的面积和先分别计算两个小长方形的面积再相加，其结果是相等的”几何直观模型。
二、紧扣意义之“神”
无论是情境中建模时生活经验的激活，还是数形结合时几何直观的建立，其显著的特点都是在学生的头脑中建立形象、直观的模型，可谓抓住了生活的“形”。但数学的学习光有表面的直觀是远远不够的，还需着眼意义上的建构，紧扣意义之“神”，让学生“知其然”更“知其所以然”。因此，在教学中，教师还要引导学生从“乘法意义”的角度来理解乘法分配律，如结合等式（6 4）×24=6×24 4×24可以引导学生理解：等号左边表示有“（6 4）个24的和，即10个24的和”，等号右边表示“6个24的和加上4个24的和，也是10个24的和”，所以左边和右边相等。意义上的建构让学生既在形式上把握了乘法分配律的特点，又深层次地理解了本质意义。
而且，深层次意义的建构能较好地帮助学生化解易错题的困难，如学生经常把“98×25”这样的题算成“（98 2）×25”，“101×64”算成“100×64 1”，这样的错例在乘法分配律的学习过程中是很常见的，教师们也常常一筹莫展。其实，针对这样的错例，只要注重从乘法的意义来理解算式，问题就可以迎刃而解。如98×25，从意义上来理解可以先算100个25，再减去2个25，所以正确的计算应该是100×25-2×25，而101/64也就不难理解成应该将100个64的和与1个64合起来，所以应该写成100×64 64×1或100×64 64。
三、提炼数学之“魂”
生活中的充分感知和模型建构以及深层意义的理解为提炼乘法分配律的数学模型奠定了坚实的基础，若在此基础上能更好地组织学生进行等式特征的观察、符号模型的抽象和整理，则乘法分配律数学模型之“魂”呼之欲出，简便运算的教学之“难”便不攻自破。 1.观察等式特征
学生在解决实际问题的过程中，能初步感知到等式的特征，如果进一步观察对比就能发现等式的规律，再通过大量的举例验证，将会使学生更加熟悉乘法分配律的模型结构，也能帮助学生在理解乘法分配律的同时积累数学活动经验。
例如，在苏教版的例题教学后，教师就引导学生观察等式“（6 4）×24=6×24 4×24”，并说一说自己的发现，学生会从左右两边算式中数据、符号等特点进行表述：
生1：我发现这两道算式都是用同样的三个数写成的。
生2：左边的算式中“24”用了一次，右边的算式中“24”用了两次。
生3：左边是把6加4的和与24相乘，右边是把6和4分别与24相乘。
生4：我发现了左边是两个数的和与一个数相乘，右边是两个数分别与这个数相乘，再把积相加。
从上面可以看出，学生在观察、对比的基础上可以找到或接近等式最本质的特征。此时，关于乘法分配律的等式模型在交流的过程中已初见雏形，也为后面学生的自主举例验证做好铺垫。教师可适时启发：刚才大家的发现是不是一种巧合？你能不能再举一些例子来进行验证呢？通过对大量例子的再观察，学生建构的等式模型将更为清晰。
2.抽象符号模型
（1）个性化的语言表述
语言是思维的外衣，在学生认识了乘法分配律等式特征之后，教师要让学生充分、自由地用自己的语言试着表述“乘法分配律”，通过语言的表述能让学生加深对模型结构的理解，也能更好地发展学生的思维能力。人教版和苏教版的教材上都有语言阐述乘法运算律的完整表达，这也充分说明语言表述的重要性。
事实上，只要在课堂上充分放开，学生的表达是多元而生动的，如：“先算出两个数的和，再和另一个数相乘，就等于这两个数分别和另一个数相乘，再相加。”“括号中的两个数先加起来再乘一个数，等于将括号里的每一个数都去乘括号外面的这个数，再加起来。”值得注意的是，在鼓励个性化的语言表述的基础上教师也要关注表述的科学、规范、完整、简洁，真正帮助学生实现知识的内化。
（2）结构化的模型整理
建构符号模型是在学生对乘法分配律本质特征有了准确、充分认识的基础上进行的，它将使得前面具体形象的模型建构完整，这是建立乘法分配律数学模型的重要阶段，也是学生顺利建立符号模型，提升思维品质的过程。由于学生已经经历了加法运算律及乘法交换律的符号模型建构，并且对乘法分配律也已经有了充分的认识，所以其符号模型“（a b）×c=a×c b×c”的建构是顺理成章、呼之欲出的。此时，需要将乘法分配律放到整个运算律教学结构中，引导学生对所学的运算律进行适当的结构化的分类整理，明晰其中的联系和区别，形成完整的知识结构网络。
在学生自主整理后，会产生如下几种分类方法：
①a b=b a，（a b） c=a （b c）;a×b=b×a，（a×b）×c=a×（b×c），（a b）×c=a×c b×c（按加法运算律、乘法运算律分类）。
②a b=b a，a×b=b×a;（a b） c=a （b c），（a×b）×c=ax（b×c）;（a b）×c=a×c b×c（按交换律、结合律、分配律分类）。
③a b=b a，（a b） c=a （b c），a×b=b×a，（a×b），c=ax（b×c）;（a b）×c=a×c b×c（按同级运算、两级运算分类）……
从学生对运算律的整理来看，虽然方法不同，但大家都能根据特征有条理地整理，也提高了学生对运算律的认识水平。
四、夯实应用之“根”
学以致用，用所学知识解决实际问题是学习的根本目的。因此，在成功构建了乘法分配律的数学模型之后，教师要引导学生应用模型，在应用的过程中不仅能让学生体会到数学学习的意义，更能提高学生思维的灵活性、深刻性和创造性，强化已有的知識结构，真正夯实数学模型的应用根基。
在本节课的学习后，可以从模型的基础应用、变式应用、对比应用等角度来设计相应的练习：
1.基础应用：填一填。
（1）（25 3）×4=D×D D×□。
（2）8×（125 7）=□×□ □×□。
（3）7×59 3×59=（□ □）×□。
（4）15×6 6×5=（□ □）×□。
2.变式应用：算一算。
99×19 19 65×101
3.对比应用：想—想（用两种不同的简算方法计算下题）。
25×24
通过填一填、算一算、想一想的练习设计让学生灵活应用乘法分配律的数学模型，掌握模型的正、逆向的运用，对比乘法结合律和分配律在解决同一个问题时的解题过程，能更有效地促进知识的内化，同时也让学生体会到数学知识的应用价值。
乘法分配律是应用最广泛、最核心，学习难度最大的运算律，这就决定了数学教师要充分认识其本质特征，牢牢抓住教学要点，让模型思想深深扎根学生头脑之中。当然，任何事物都不是一成不变的，运算律的教学也随着时代的发展而要求我们不断创新教学思维和教学方法，但万变不离其宗，做足模型建构之“功”必定是运算律教学的根本。