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“设而不求”是数学解题中的一种有效手段，在计算繁杂、或数量关系不明，而致使思路受阻时，采用“设而不求”的策略，能避免盲目推演而造成无益的循环运算、时间资源的流失。采用“设而不求”这一策略，往往能化繁为简，优化过程，从而达到准确、明快、简捷的解题效果。以下列举几例，以供借鉴与参巧。
一、“设而不求”，结果自显
在解题中，巧设一些末知数字母来参与题中的已知条件的推算。使运算互相抵消，因而结果直现，使问题化难为简。
例1：计算（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）—（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）
分析与解答：此题若通分计算，实为无法办到。若用字母代替，则十分简单。
设 + +……+ =A + +……+ =B
则原式=（1+A）×B—（1+B）×A
=B+AB—A-AB
=B-A
=
例2：甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面 20 米处，如果两人各自的速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？
分析与解答：此题只告诉了路程总量，无论是先求速度还是求时间都很难办到，如果用字母代替时间，解答易如反掌。
假设甲跑完100 米要用a 秒，则甲的速度为 ，乙的速度为 = 。
现在要使使甲、乙两人同时到达终点，则乙要跑的路程为 100米，他所用的时间为 100 ÷ = ，也是甲跑的时间。所以甲要跑的路程为： × =125（米）。
故起跑线应比原来起跑线后移125—100=25（米）。
二、“设而不求”在分数中有末知数的问题
例3：要使 为可约分的分数，则自然数n的最小值是多少？
分析与解答：此题若用列举法很难办到，不妨设分子、分母有公因数a，显然应有a>1，K为自然数。并且设：分子n-13=aK1
分母5n+6=aK2
由得n=aK1+13 ，将之代入得：5（13+aK1）+6=aK2
所以a（K2-5K1）=71
由于71是質数，且a>1，所以a=71。那么
n=aK1+13=84。
例4：等差数列a 的前n项和为Sn，若Sm=m，Sn=n（m≠n）
求Sm+n
分析與解答：此题通过巧妙转换、恒等变形，设置一些与问题有关的元素、即可迎刃而解。
na + d=n
ma + d=m
由-得a + （n+m-1）d=-1
故Sm+n=（m+n）a + d=（m+n）（a + d）
将代入Sm+n=-（m+n）
三、“设而不求”，挖关系、寻依据
例4：一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水，若只开甲、丙两管，甲管注人18 吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注人 27 吨水时，水箱才满，又知乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，则该水箱最多可容多少吨水？
分析与解：假设甲管每分注水量为 a吨，丙每分注水量为b 吨，则乙每分注水量为 2a 吨。
甲、丙两管同时注水时，甲管所用的时间可以表示为 ，那么在这同一时间里丙管注水量为：b × = 。
乙、丙两管同时注水时，乙管所用的时间可以表示 ，那么在这同一时间里丙管注水量为： b× =
根据两次注水量相等，列方程得： +18=27+
b=2a
由此说明丙每分注水量和乙每分注水量相同。当乙、丙两管合注满水池时，乙管注入了 27 吨水，同时也说明丙管注入了27 吨水，所以该水箱最多可容27+27=54（ 吨 ）水。
四、设而不求，列方程求解
这类问题通常要设多个末知数来列方程，但无需求出每个末知数的值。
例5：小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次的平均分少 2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？
分析与解：设小明第三次测验成绩为a分，第四次测验成绩为b分，则有：
小明第一、第二次的平均分为 一2，第五 、第六次的平均分为 +2。
根据后三次平均分比前三次平均分多3 分，列方程，得：
— =3
— =3
=3
即b-a=1
所以第四次测验成绩比第三次多得1分。
故“设而不求”，在数学解题中已广泛应用。特别应用在繁杂的数学难题，通过全面分析、不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标。经过巧妙构造，活用性质，力求使问题解答完整严密，可直达目标。
一、“设而不求”，结果自显
在解题中，巧设一些末知数字母来参与题中的已知条件的推算。使运算互相抵消，因而结果直现，使问题化难为简。
例1：计算（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）—（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）
分析与解答：此题若通分计算，实为无法办到。若用字母代替，则十分简单。
设 + +……+ =A + +……+ =B
则原式=（1+A）×B—（1+B）×A
=B+AB—A-AB
=B-A
=
例2：甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面 20 米处，如果两人各自的速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？
分析与解答：此题只告诉了路程总量，无论是先求速度还是求时间都很难办到，如果用字母代替时间，解答易如反掌。
假设甲跑完100 米要用a 秒，则甲的速度为 ，乙的速度为 = 。
现在要使使甲、乙两人同时到达终点，则乙要跑的路程为 100米，他所用的时间为 100 ÷ = ，也是甲跑的时间。所以甲要跑的路程为： × =125（米）。
故起跑线应比原来起跑线后移125—100=25（米）。
二、“设而不求”在分数中有末知数的问题
例3：要使 为可约分的分数，则自然数n的最小值是多少？
分析与解答：此题若用列举法很难办到，不妨设分子、分母有公因数a，显然应有a>1，K为自然数。并且设：分子n-13=aK1
分母5n+6=aK2
由得n=aK1+13 ，将之代入得：5（13+aK1）+6=aK2
所以a（K2-5K1）=71
由于71是質数，且a>1，所以a=71。那么
n=aK1+13=84。
例4：等差数列a 的前n项和为Sn，若Sm=m，Sn=n（m≠n）
求Sm+n
分析與解答：此题通过巧妙转换、恒等变形，设置一些与问题有关的元素、即可迎刃而解。
na + d=n
ma + d=m
由-得a + （n+m-1）d=-1
故Sm+n=（m+n）a + d=（m+n）（a + d）
将代入Sm+n=-（m+n）
三、“设而不求”，挖关系、寻依据
例4：一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水，若只开甲、丙两管，甲管注人18 吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注人 27 吨水时，水箱才满，又知乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，则该水箱最多可容多少吨水？
分析与解：假设甲管每分注水量为 a吨，丙每分注水量为b 吨，则乙每分注水量为 2a 吨。
甲、丙两管同时注水时，甲管所用的时间可以表示为 ，那么在这同一时间里丙管注水量为：b × = 。
乙、丙两管同时注水时，乙管所用的时间可以表示 ，那么在这同一时间里丙管注水量为： b× =
根据两次注水量相等，列方程得： +18=27+
b=2a
由此说明丙每分注水量和乙每分注水量相同。当乙、丙两管合注满水池时，乙管注入了 27 吨水，同时也说明丙管注入了27 吨水，所以该水箱最多可容27+27=54（ 吨 ）水。
四、设而不求，列方程求解
这类问题通常要设多个末知数来列方程，但无需求出每个末知数的值。
例5：小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次的平均分少 2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？
分析与解：设小明第三次测验成绩为a分，第四次测验成绩为b分，则有：
小明第一、第二次的平均分为 一2，第五 、第六次的平均分为 +2。
根据后三次平均分比前三次平均分多3 分，列方程，得：
— =3
— =3
=3
即b-a=1
所以第四次测验成绩比第三次多得1分。
故“设而不求”，在数学解题中已广泛应用。特别应用在繁杂的数学难题，通过全面分析、不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标。经过巧妙构造，活用性质，力求使问题解答完整严密，可直达目标。