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在五年级下册“分数的意义”教学后，经常会出现这样的填空题：3米长的绳子平均分成7段，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。意在考查学生对分数意义的理解以及能否用分数表示计算结果的能力。对于此类题目，我們分别收集了近两年4个不同时期的数据：五年级第二学期期中、期末、六年级第一学期期末以及七年级入学第一周的学情调研抽测，错误率分别是51.7%、34.5%、36.2%和38%。可以发现，虽然较初学时错误率降低不少，但都在35%左右，即超过三分之一的学生做不对，很有必要对此进行研究。
我们对五年级部分出错的学生进行了访谈，整理后可以将错因归为两类：（1）由于题中两个问题非常相似，学生分不清哪个是求具体数量，哪个是求部分与整体的关系，要么都当成量，要么都当成率，或者思维混乱，分不清谁除以谁。也就是老师常说的“量”“率”不分。（2）学生受到思维定势的影响。低年级求份数时，总数大于份数并且能够被份数整除。但到了五、六年级，学生的思维还停留在原来的水平上，遇到份数比总数大或结果不能用整数表示时，感觉无从下手，凭感觉行事。
读懂了学生的错误，教学研究就能有的放矢。老师们围绕“区分量和率，学生的困难在哪里？”“针对学生的困难如何改进教学？”进行了研讨。首先从学习内容本身来分析，分数既可以表示实际数量，还可以表示部分与整体的关系，这是分数所具有的“量”和“率”的双重功能，与学生之前熟悉的整数、小数都不同，学生在建构上会存在困难。其次，从教材编排顺序来分析，学生在三年级初步认识分数时，只理解到分数表示部分与整体的关系，即“率”；四年级结合小数的认识，教材中出现了带单位的分数；五年级再次学习分数的意义时，结合分数与除法的关系让学生理解用分数表示的具体量。因此，在五年级学习分数的时候，学生会受到“先入为主”的负迁移影响，习惯性地把分数都看作“率”。第三，在学完“分数的意义”后，学生做“每份是总数的几分之几”这类题时，正确率很高；在学完“分数与除法的关系”后，学生做“每份是多少”这类题目正确率也很高，但当两个问题综合在一起时就出现大量的错误。这说明学生对如何根据题意区分两类问题缺少方法。教师在教学时往往只关注了本节课的重点，忽视了知识之间的联系，不重视指导学生从整体上把握知识结构。随着知识难度的增加，题目综合性的增强，原本隐藏的问题就会逐渐暴露出来。
如何改进教学呢？我们认为可以从以下三个方面分阶段解决。第一阶段，克服思维定势，重视对分数具体量的认识，帮助学生将其纳入知识结构中。在学完分数与除法的关系后，可以设计这样的题组练习：
8米长的绳子平均分成4段，每段是多少米？
8米长的绳子平均分成5段，每段是多少米？
8米长的绳子平均分成9段，每段是多少米？
让学生通过比较发现：三个问题的数量关系是一样的，但是有的结果是整数，有的结果不是整数，这时可以用小数或分数来表示。因为除不尽时，用分数表示既准确又方便。这样设计有利于沟通整数、小数、分数之间的联系，让学生领悟到：分数和整数、小数一样可以带上单位表示具体数量；在解决具体量的问题时，分数和整数、小数的数量关系是一样的。
第二阶段，重视在变化和比较中使学生抽象出分数的本质。在后续练习课中可以设计如下练习：
把3米长的铁丝平均分成4份，每份占全长的几分之几？
先变换总量，再变换份数，然后提出问题：什么变了？什么没有变？你发现了什么？让学生归纳概括：求“每份占全长的几分之几”，不管总量是多少都看作单位“1”，只需看“平均分成了多少份”。列式：“1”÷份数。
第三阶段，加强对比练习，指导学生区分问题。可以设计如下练习：
把3米长的铁丝平均分成4份，每份长（ ）米，每份占全长的（ ）。
量、率出现在同一题中，可以变换前后位置，着重引导学生从叙述方式上区分两个问题，并比较解题方法的异同：两个问题都要用除法计算；“求每份占总量的几分之一”只需把单位“1”平均分了多少份，和具体数量无关；而“求每份的数量”必须用具体的总数量除以份数。
为使学生熟练掌握，在后续练习课中可以多次出现，灵活进行变式，以加深理解，巩固解题方法。如，量、率出现在同一题中，叙述方式发生变化：每份占（ ），每份长（ ）或其中2份占全长的（ ）等；还可以增强综合性，如，对折再对折，每份占全长的（ ）。
教师在实施改进措施后，随堂测试统计，错误率下降至13.8%。
综上所述，学生的学习过程就是一个不断出错和改错的过程，教师要善于读懂学生的错误，养成深度反思的习惯，及时做出合理有效的教学改进。
参考文献：
[1]冷凤义.浅谈小学数学的简单应用题教学[J].好家长，2015（37）.
[2]高丽.分数应用题教学中数学基本思想的渗透[J].江西教育，2015（9）.
注：本文系2015年度河南省基础教育教学研究项目重点课题《小学数学五年级典型错例分析及教学改进研究》（立项号：JCJYB
150405060）阶段研究成果。
编辑 高 琼
我们对五年级部分出错的学生进行了访谈，整理后可以将错因归为两类：（1）由于题中两个问题非常相似，学生分不清哪个是求具体数量，哪个是求部分与整体的关系，要么都当成量，要么都当成率，或者思维混乱，分不清谁除以谁。也就是老师常说的“量”“率”不分。（2）学生受到思维定势的影响。低年级求份数时，总数大于份数并且能够被份数整除。但到了五、六年级，学生的思维还停留在原来的水平上，遇到份数比总数大或结果不能用整数表示时，感觉无从下手，凭感觉行事。
读懂了学生的错误，教学研究就能有的放矢。老师们围绕“区分量和率，学生的困难在哪里？”“针对学生的困难如何改进教学？”进行了研讨。首先从学习内容本身来分析，分数既可以表示实际数量，还可以表示部分与整体的关系，这是分数所具有的“量”和“率”的双重功能，与学生之前熟悉的整数、小数都不同，学生在建构上会存在困难。其次，从教材编排顺序来分析，学生在三年级初步认识分数时，只理解到分数表示部分与整体的关系，即“率”；四年级结合小数的认识，教材中出现了带单位的分数；五年级再次学习分数的意义时，结合分数与除法的关系让学生理解用分数表示的具体量。因此，在五年级学习分数的时候，学生会受到“先入为主”的负迁移影响，习惯性地把分数都看作“率”。第三，在学完“分数的意义”后，学生做“每份是总数的几分之几”这类题时，正确率很高；在学完“分数与除法的关系”后，学生做“每份是多少”这类题目正确率也很高，但当两个问题综合在一起时就出现大量的错误。这说明学生对如何根据题意区分两类问题缺少方法。教师在教学时往往只关注了本节课的重点，忽视了知识之间的联系，不重视指导学生从整体上把握知识结构。随着知识难度的增加，题目综合性的增强，原本隐藏的问题就会逐渐暴露出来。
如何改进教学呢？我们认为可以从以下三个方面分阶段解决。第一阶段，克服思维定势，重视对分数具体量的认识，帮助学生将其纳入知识结构中。在学完分数与除法的关系后，可以设计这样的题组练习：
8米长的绳子平均分成4段，每段是多少米？
8米长的绳子平均分成5段，每段是多少米？
8米长的绳子平均分成9段，每段是多少米？
让学生通过比较发现：三个问题的数量关系是一样的，但是有的结果是整数，有的结果不是整数，这时可以用小数或分数来表示。因为除不尽时，用分数表示既准确又方便。这样设计有利于沟通整数、小数、分数之间的联系，让学生领悟到：分数和整数、小数一样可以带上单位表示具体数量；在解决具体量的问题时，分数和整数、小数的数量关系是一样的。
第二阶段，重视在变化和比较中使学生抽象出分数的本质。在后续练习课中可以设计如下练习：
把3米长的铁丝平均分成4份，每份占全长的几分之几？
先变换总量，再变换份数，然后提出问题：什么变了？什么没有变？你发现了什么？让学生归纳概括：求“每份占全长的几分之几”，不管总量是多少都看作单位“1”，只需看“平均分成了多少份”。列式：“1”÷份数。
第三阶段，加强对比练习，指导学生区分问题。可以设计如下练习：
把3米长的铁丝平均分成4份，每份长（ ）米，每份占全长的（ ）。
量、率出现在同一题中，可以变换前后位置，着重引导学生从叙述方式上区分两个问题，并比较解题方法的异同：两个问题都要用除法计算；“求每份占总量的几分之一”只需把单位“1”平均分了多少份，和具体数量无关；而“求每份的数量”必须用具体的总数量除以份数。
为使学生熟练掌握，在后续练习课中可以多次出现，灵活进行变式，以加深理解，巩固解题方法。如，量、率出现在同一题中，叙述方式发生变化：每份占（ ），每份长（ ）或其中2份占全长的（ ）等；还可以增强综合性，如，对折再对折，每份占全长的（ ）。
教师在实施改进措施后，随堂测试统计，错误率下降至13.8%。
综上所述，学生的学习过程就是一个不断出错和改错的过程，教师要善于读懂学生的错误，养成深度反思的习惯，及时做出合理有效的教学改进。
参考文献：
[1]冷凤义.浅谈小学数学的简单应用题教学[J].好家长，2015（37）.
[2]高丽.分数应用题教学中数学基本思想的渗透[J].江西教育，2015（9）.
注：本文系2015年度河南省基础教育教学研究项目重点课题《小学数学五年级典型错例分析及教学改进研究》（立项号：JCJYB
150405060）阶段研究成果。
编辑 高 琼