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【摘要】当前地方高校的数学类专业几何学方向开设课程种类、难易程度参差不齐，笔者根据在本科生几何课程教学过程中的一些实践经验，给出了以“微分几何”为例的几何学课程教学和课程设置相关的建议和相对应问题的一些对策.
【关键词】微分几何;高等教育;数学教学
【基金项目】本课题的研究受到湖北大学2018年度本科生教学改革研究项目资助.
一、引 言
我国社会经济迅速发展，高等教育也随之高速发展，由精英式教育逐渐转为大众教育，接受高等教育的学生呈现井喷式增长.地方高校在本科教育上应着重培养学生知识应用和实践能力，以适应本科生目前严峻的就业形势.同时，地方高校也应着重培养研究型人才，加强专业知识的培养与引导，否则学生在研究生阶段的学习中会出现几何知识短缺、几何观念薄弱和几何思想贫乏的情况.
地方高校一般在大一开设“解析几何”，大二开设“高等几何”，大三开设“微分几何”，大四开设“微分流形初步”和“黎曼几何”，但大三、大四的几何课程一般作为选修类专业课开设，由于该类课程的复杂度和难度较高，学生通常望而却步，因此，地方高校要基于自身培养目标和方案，明确几何课程的教学定位.
“微分几何”作为数学类本科学生的一门重要的专业课程，是衔接经典“内蕴几何”和现代“微分流形”的纽带，也是本科期间几何课程和现代几何课程密切联系的桥梁，而且其以“数学分析”中微积分部分（主要是微分）为工具，探讨三维空间乃至n维空间中曲线、曲面的局部与整体性质，与此同时，可将其视为“数学分析”相关知识在几何学上的应用与探索、研究生阶段“微分几何”最基础的课程.地方高校开设的“微分几何”课程主要有两个原因：一是数学类本科阶段课程自身构建完整的知识体系的需要，“解析几何”“高等几何”将初高中简单的几何空间知识过渡到主要以初等数学的角度来探索三维或高维空间的曲线与曲面，“微分几何”则是借助微分工具以微积分（主要是微分）的视角研究空间曲线和曲面;二是针对部分学生在研究生阶段继续深造学习研究微分几何方向课程的需要，经典微分几何主要涉及曲面的内蕴几何，而现代几何的基础则是流形，“微分几何”课程是联系二者的枢纽.
二、现状分析
“微分几何”内容多、课时少，教师一般通过讲授法进行演绎推理，经过大量复杂计算以及严谨的推理才能够完成相关定理推论的证明与计算.因而，学生会感到生涩难懂，从而失去学习的兴趣，要么退选这门课，要么在这门课中见木不见林，思考较少，无法真正理解其具体内容和方法.由此可见，地方高校在开设“微分几何”这门课程还存在以下问题：
（一）教学内容有待优化
“微分几何”在教学内容上和大多数数学类基础课程一样都出现了相对陈旧的现象，主要表现在教材不能很好地反映几何学科的最新成果，在理论与方法上相对陈旧.
（二）传统教学方法需要更新
“微分几何”主要采用的“讲授法”中小学乃至地方高校在本科期间主要采用的方法，讲授法的主要优点是能够较快地讲授知识点，顺利地将教学大纲所规定内容传递给学生.然而，这种单一的教学方式也存在许多问题，不仅忽略了“微分几何”给予学生的直观教育，而且使学生丢失了在学习中参与者的身份.
（三）应用意识尚需提高
经典的“微分几何”不仅是微积分与线性代数的进一步应用、几何学研究性学习的基础，还可以广泛地应用于生活中，比如，线面设计、曲面磨光、公路桥梁设计和机器人研究等范畴.但是在本科教学过程中，微分几何更倾向于传统教学，侧重于理论，同时受到学校安排的课时、场地等因素的影响.在“微分几何”的教学中，教师对培养学生应用意识和能力方面缺少主动性.学生在学习“微分几何”时兴趣不足，所学知识不够，导致对“微分几何”的学习变得被动.因此，在教学内容的安排和教学方法的设计上，教师也应该做出相应的改变与思考.
三、地方高校微分几何本科教学在内容和教学方法的探索与实践
（一）教学方法
教师在“微分几何”课程的教学方法上，应该将讲授法、演示法、自主学习法等多种教学方法有效地结合起来，因材施教，激發学生思维，让学生将自主学习视为重点，增强学生的自学能力，使学生在学习过程中将抽象转化为形象，激发学生的学习热情，从而提高教学质量.在讲授该课程时，教师主动联系已有的几何、微分知识，开展启发式教学.采用多种教学方式最大限度地让学生参与课堂，参与学习，在引导启发式教学设计时，教师要遵从主体性、目标性、可行性、开放性，培养学生的动手能力与科研能力等，尝试新颖的教学模式与方法.笔者针对以上内容提出了以下几种具体措施：
1.适时、适当地设置小组活动的教学方式.小组合作与启发式提问相结合，教师可以根据学生的能力和水平组织学生通过小组活动的形式完成一些教学任务，比如，在教师教授了一部分理论知识后，留下1～3个问题让小组解决，通过小组全员讲授的方式让学生都参与进来.在课时不允许的情况下，改为以作业的形式上交教师，让每个小组成员都有所参与.这样的方式不仅能够活跃学习气氛，而且能够〖HJ1.5mm〗使问题细分化，让每名学生都能参与到课堂中.教师还可以采用主讲和学生参与讨论相结合的方式，让学生更进一步地融入教学过程中，将单一的讲授内容化解成一个个问题，让学生思维得到锻炼.这种方式不仅可以激发学生的学习兴趣，让学生在学习过程中获得成就感，而且有益于教师更有效、更及时地把握学生的学习状况，把握教学进度以及对教学的深度和难度进行及时的调整.
2.微课程教学组织模式.在新时代的教学模式下，教师可以有效地利用21世纪结合科技发展的新型教学方式，充分利用公共资源、共享资源、网络资源，让学生加入自主学习的行列.比如，大多数学校的超星图书馆里都有很多双一流学科的授课视频，教师可以让学生提前学习，掌握一定的知识内容，有效地缩短教师在课堂上单一讲授理论知识的时间，同时学生也可以吸收多种思维.这种多样化的学习方式，既可以培养学生的自学能力，又教会了学生学习途径. 3.在考核过程中，教师可以从单一的考核评价向多元评价过渡，把握过程评价、能力评价、目标评价相结合的综合评价方式，向多元化评价的教学方法改进.传统的考核方式是只记期末卷面成绩，这样就出现了学生“临时抱佛脚”、理论知识不踏实、知识系统不连贯的情况，虽然新时期地方高校的考核方式逐渐加入了平时成绩的考核，但是对平时成绩的细则并没有给出较多的方案，教师也只是单一地从平时交上的课后作业给予评价和计分，这种平时成绩加上期末卷面成绩的考核方式虽然改变了单一的期末考核方式，但是也并没有对学生是否掌握知识做出一个完整的评价.因此，教师可以在建立多种教学方式后，根据学生课堂的表现、解决问题的能力、学习态度等多种角度上考核学生，不仅能够拉近教师与学生的距离，也能够在考核方式上体现公平性.
4.分层答疑辅导.学生学习情况存在差异，并且由于在中高阶段学生出现的学习情况差异也比较明显，因此，教师可以安排合理的时段让助教教师为学生答疑解惑.以湖北大学为例，学校的每门课程都设有助教，助教既能减轻教师的教学负担，留给教师足够的时间进行科研活动，同时也可为学生答疑解惑，助教也可以通过作业的反馈，对学生进行分层答疑辅导，更好地使不同基础的学生获得最有效的学习效果.
（二）教学内容
在“微分几何”课程的教学内容上，地方高校很难实现教学内容上的及时更新，在选择教材时也很大程度上延续使用了传统的教材，一方面，是因为我国的高等教育体系还在不断改进和进步，另一方面，是为了大大减轻教师的负担，使教师将注意力更多地放在教学方法的改进上.为此，结合笔者的实际教学经历，以下的建议值得尝试：
1.教学内容命题化.在很多学科的教学上，教师一般都存在照本宣科、生搬硬套教材的问题，没有考虑学生对知识点的需要，一味地讲解与朗读，学生既失去了对“微分几何”的学习兴趣，又无法牢固掌握知识.因此，将教学内容命题化，结合小组活动的方式，有效地把数学定理目的化，数学问题细化，增强了学生对知识点的应用能力，讓学生真切感受到定理的证明、推论、例题间的相互关系与差异性.
2.教学内容连贯化.学科之间交叉时，学生并未感受到学科之间的联系，这就导致学生对某一门学科的忽视，因此，教师在教学过程中要注意学科间的相互影响和联系，在“微分几何”课程中，有大量内容都与微分、几何初等知识有联系，教师应考虑在课程导入或者教学过程中简单阐述知识之间的联系，不仅让学生明白学科的重要性，也感受到了数学的逻辑性.
3.教学内容深度化.教师可以根据学生的学习情况和学生自身能力做出相应的问题拓展，激发学生的学习兴趣，并对后面的“微分流形”“黎曼几何”等几何课程做铺垫，让学生能够感受到“微分几何”课程的用处，并且对几何学研究的现状有相应的了解，这不仅能够加深学生对“微分几何”这门课程的理解和掌握，同时对“微分几何”这门学科的发展也有重要的意义.
4.邀请学生参加“微分几何”方向的学术讲座，“微分几何”方向的学术讲座可以对本科生开放，教师邀请学生参与学术讲座，初步了解“微分几何”学科的新发现、新探索.对学生实行自愿鼓励的方式参与，培养对“微分几何”学科感兴趣的研究性人才.这不仅让其感受到了基础学科的魅力，增加学生对微分几何的兴趣，也让学生感受到微分几何的发展.
四、总 结
微分几何是现代数学的重要分支，是研究空间结构的探索，是探索宇宙的工具，如伟大的几何学家陈省身大师所说：“物理就是几何.”物理学上的一些理论和几何学上的一些公式定理殊途同归.因此，“微分几何”可以说是现代自然科学研究的一门重要基础学科，教师与学生对“微分几何”这门课程都应严谨对待.在新时期，如果教师不做出相应的改变和思考，极有可能导致学生忽视“微分几何”课程，严重影响国内几何学科的发展，使得后续的几何方向研究生教育出现一系列困难.〖WT〗
【参考文献】
[1]储亚伟，郝云力，康卫，李萍.创新人才培养模式下微分几何的教学改革探究[J].通化师范学院学报，2017（6）：73-76.
[2]王玉光，李亚男.《微分几何》教学的教改实践感受[J].科技视界，2016（4）：41.
[3]余静，潘瑰琦，王宏伟.“微分几何”教学中促进学生自主学习的一个灵活方法[J].科教文汇（上旬刊），2017（16）：31-33.
[4]宋帆，陈亮.《微分几何》课堂教学的导入技巧[J].昌吉学院学报，2018（6）：114-116.
[5]余静，王宏伟.《微分几何》课程中基于多元评价的教学方法改进[J].合肥师范学院学报，2017（3）：36-38.
[6]巨明杰，王三福.数学教师教育“三位一体”培养模式研究[J].课程教育研究，2016（22）：158-159.
[7]张先叶.浅析数学课程教学方法和评价的改革——以《微分几何》课程为例[J].渭南师范学院学报，2013（2）：20-22.
[8]刘德金.地方本科院校数学基础课研究性教学的探索与实践——以解析几何为例[J].山东轻工业学院学报（自然科学版），2011（4）：97-100.
【关键词】微分几何;高等教育;数学教学
【基金项目】本课题的研究受到湖北大学2018年度本科生教学改革研究项目资助.
一、引 言
我国社会经济迅速发展，高等教育也随之高速发展，由精英式教育逐渐转为大众教育，接受高等教育的学生呈现井喷式增长.地方高校在本科教育上应着重培养学生知识应用和实践能力，以适应本科生目前严峻的就业形势.同时，地方高校也应着重培养研究型人才，加强专业知识的培养与引导，否则学生在研究生阶段的学习中会出现几何知识短缺、几何观念薄弱和几何思想贫乏的情况.
地方高校一般在大一开设“解析几何”，大二开设“高等几何”，大三开设“微分几何”，大四开设“微分流形初步”和“黎曼几何”，但大三、大四的几何课程一般作为选修类专业课开设，由于该类课程的复杂度和难度较高，学生通常望而却步，因此，地方高校要基于自身培养目标和方案，明确几何课程的教学定位.
“微分几何”作为数学类本科学生的一门重要的专业课程，是衔接经典“内蕴几何”和现代“微分流形”的纽带，也是本科期间几何课程和现代几何课程密切联系的桥梁，而且其以“数学分析”中微积分部分（主要是微分）为工具，探讨三维空间乃至n维空间中曲线、曲面的局部与整体性质，与此同时，可将其视为“数学分析”相关知识在几何学上的应用与探索、研究生阶段“微分几何”最基础的课程.地方高校开设的“微分几何”课程主要有两个原因：一是数学类本科阶段课程自身构建完整的知识体系的需要，“解析几何”“高等几何”将初高中简单的几何空间知识过渡到主要以初等数学的角度来探索三维或高维空间的曲线与曲面，“微分几何”则是借助微分工具以微积分（主要是微分）的视角研究空间曲线和曲面;二是针对部分学生在研究生阶段继续深造学习研究微分几何方向课程的需要，经典微分几何主要涉及曲面的内蕴几何，而现代几何的基础则是流形，“微分几何”课程是联系二者的枢纽.
二、现状分析
“微分几何”内容多、课时少，教师一般通过讲授法进行演绎推理，经过大量复杂计算以及严谨的推理才能够完成相关定理推论的证明与计算.因而，学生会感到生涩难懂，从而失去学习的兴趣，要么退选这门课，要么在这门课中见木不见林，思考较少，无法真正理解其具体内容和方法.由此可见，地方高校在开设“微分几何”这门课程还存在以下问题：
（一）教学内容有待优化
“微分几何”在教学内容上和大多数数学类基础课程一样都出现了相对陈旧的现象，主要表现在教材不能很好地反映几何学科的最新成果，在理论与方法上相对陈旧.
（二）传统教学方法需要更新
“微分几何”主要采用的“讲授法”中小学乃至地方高校在本科期间主要采用的方法，讲授法的主要优点是能够较快地讲授知识点，顺利地将教学大纲所规定内容传递给学生.然而，这种单一的教学方式也存在许多问题，不仅忽略了“微分几何”给予学生的直观教育，而且使学生丢失了在学习中参与者的身份.
（三）应用意识尚需提高
经典的“微分几何”不仅是微积分与线性代数的进一步应用、几何学研究性学习的基础，还可以广泛地应用于生活中，比如，线面设计、曲面磨光、公路桥梁设计和机器人研究等范畴.但是在本科教学过程中，微分几何更倾向于传统教学，侧重于理论，同时受到学校安排的课时、场地等因素的影响.在“微分几何”的教学中，教师对培养学生应用意识和能力方面缺少主动性.学生在学习“微分几何”时兴趣不足，所学知识不够，导致对“微分几何”的学习变得被动.因此，在教学内容的安排和教学方法的设计上，教师也应该做出相应的改变与思考.
三、地方高校微分几何本科教学在内容和教学方法的探索与实践
（一）教学方法
教师在“微分几何”课程的教学方法上，应该将讲授法、演示法、自主学习法等多种教学方法有效地结合起来，因材施教，激發学生思维，让学生将自主学习视为重点，增强学生的自学能力，使学生在学习过程中将抽象转化为形象，激发学生的学习热情，从而提高教学质量.在讲授该课程时，教师主动联系已有的几何、微分知识，开展启发式教学.采用多种教学方式最大限度地让学生参与课堂，参与学习，在引导启发式教学设计时，教师要遵从主体性、目标性、可行性、开放性，培养学生的动手能力与科研能力等，尝试新颖的教学模式与方法.笔者针对以上内容提出了以下几种具体措施：
1.适时、适当地设置小组活动的教学方式.小组合作与启发式提问相结合，教师可以根据学生的能力和水平组织学生通过小组活动的形式完成一些教学任务，比如，在教师教授了一部分理论知识后，留下1～3个问题让小组解决，通过小组全员讲授的方式让学生都参与进来.在课时不允许的情况下，改为以作业的形式上交教师，让每个小组成员都有所参与.这样的方式不仅能够活跃学习气氛，而且能够〖HJ1.5mm〗使问题细分化，让每名学生都能参与到课堂中.教师还可以采用主讲和学生参与讨论相结合的方式，让学生更进一步地融入教学过程中，将单一的讲授内容化解成一个个问题，让学生思维得到锻炼.这种方式不仅可以激发学生的学习兴趣，让学生在学习过程中获得成就感，而且有益于教师更有效、更及时地把握学生的学习状况，把握教学进度以及对教学的深度和难度进行及时的调整.
2.微课程教学组织模式.在新时代的教学模式下，教师可以有效地利用21世纪结合科技发展的新型教学方式，充分利用公共资源、共享资源、网络资源，让学生加入自主学习的行列.比如，大多数学校的超星图书馆里都有很多双一流学科的授课视频，教师可以让学生提前学习，掌握一定的知识内容，有效地缩短教师在课堂上单一讲授理论知识的时间，同时学生也可以吸收多种思维.这种多样化的学习方式，既可以培养学生的自学能力，又教会了学生学习途径. 3.在考核过程中，教师可以从单一的考核评价向多元评价过渡，把握过程评价、能力评价、目标评价相结合的综合评价方式，向多元化评价的教学方法改进.传统的考核方式是只记期末卷面成绩，这样就出现了学生“临时抱佛脚”、理论知识不踏实、知识系统不连贯的情况，虽然新时期地方高校的考核方式逐渐加入了平时成绩的考核，但是对平时成绩的细则并没有给出较多的方案，教师也只是单一地从平时交上的课后作业给予评价和计分，这种平时成绩加上期末卷面成绩的考核方式虽然改变了单一的期末考核方式，但是也并没有对学生是否掌握知识做出一个完整的评价.因此，教师可以在建立多种教学方式后，根据学生课堂的表现、解决问题的能力、学习态度等多种角度上考核学生，不仅能够拉近教师与学生的距离，也能够在考核方式上体现公平性.
4.分层答疑辅导.学生学习情况存在差异，并且由于在中高阶段学生出现的学习情况差异也比较明显，因此，教师可以安排合理的时段让助教教师为学生答疑解惑.以湖北大学为例，学校的每门课程都设有助教，助教既能减轻教师的教学负担，留给教师足够的时间进行科研活动，同时也可为学生答疑解惑，助教也可以通过作业的反馈，对学生进行分层答疑辅导，更好地使不同基础的学生获得最有效的学习效果.
（二）教学内容
在“微分几何”课程的教学内容上，地方高校很难实现教学内容上的及时更新，在选择教材时也很大程度上延续使用了传统的教材，一方面，是因为我国的高等教育体系还在不断改进和进步，另一方面，是为了大大减轻教师的负担，使教师将注意力更多地放在教学方法的改进上.为此，结合笔者的实际教学经历，以下的建议值得尝试：
1.教学内容命题化.在很多学科的教学上，教师一般都存在照本宣科、生搬硬套教材的问题，没有考虑学生对知识点的需要，一味地讲解与朗读，学生既失去了对“微分几何”的学习兴趣，又无法牢固掌握知识.因此，将教学内容命题化，结合小组活动的方式，有效地把数学定理目的化，数学问题细化，增强了学生对知识点的应用能力，讓学生真切感受到定理的证明、推论、例题间的相互关系与差异性.
2.教学内容连贯化.学科之间交叉时，学生并未感受到学科之间的联系，这就导致学生对某一门学科的忽视，因此，教师在教学过程中要注意学科间的相互影响和联系，在“微分几何”课程中，有大量内容都与微分、几何初等知识有联系，教师应考虑在课程导入或者教学过程中简单阐述知识之间的联系，不仅让学生明白学科的重要性，也感受到了数学的逻辑性.
3.教学内容深度化.教师可以根据学生的学习情况和学生自身能力做出相应的问题拓展，激发学生的学习兴趣，并对后面的“微分流形”“黎曼几何”等几何课程做铺垫，让学生能够感受到“微分几何”课程的用处，并且对几何学研究的现状有相应的了解，这不仅能够加深学生对“微分几何”这门课程的理解和掌握，同时对“微分几何”这门学科的发展也有重要的意义.
4.邀请学生参加“微分几何”方向的学术讲座，“微分几何”方向的学术讲座可以对本科生开放，教师邀请学生参与学术讲座，初步了解“微分几何”学科的新发现、新探索.对学生实行自愿鼓励的方式参与，培养对“微分几何”学科感兴趣的研究性人才.这不仅让其感受到了基础学科的魅力，增加学生对微分几何的兴趣，也让学生感受到微分几何的发展.
四、总 结
微分几何是现代数学的重要分支，是研究空间结构的探索，是探索宇宙的工具，如伟大的几何学家陈省身大师所说：“物理就是几何.”物理学上的一些理论和几何学上的一些公式定理殊途同归.因此，“微分几何”可以说是现代自然科学研究的一门重要基础学科，教师与学生对“微分几何”这门课程都应严谨对待.在新时期，如果教师不做出相应的改变和思考，极有可能导致学生忽视“微分几何”课程，严重影响国内几何学科的发展，使得后续的几何方向研究生教育出现一系列困难.〖WT〗
【参考文献】
[1]储亚伟，郝云力，康卫，李萍.创新人才培养模式下微分几何的教学改革探究[J].通化师范学院学报，2017（6）：73-76.
[2]王玉光，李亚男.《微分几何》教学的教改实践感受[J].科技视界，2016（4）：41.
[3]余静，潘瑰琦，王宏伟.“微分几何”教学中促进学生自主学习的一个灵活方法[J].科教文汇（上旬刊），2017（16）：31-33.
[4]宋帆，陈亮.《微分几何》课堂教学的导入技巧[J].昌吉学院学报，2018（6）：114-116.
[5]余静，王宏伟.《微分几何》课程中基于多元评价的教学方法改进[J].合肥师范学院学报，2017（3）：36-38.
[6]巨明杰，王三福.数学教师教育“三位一体”培养模式研究[J].课程教育研究，2016（22）：158-159.
[7]张先叶.浅析数学课程教学方法和评价的改革——以《微分几何》课程为例[J].渭南师范学院学报，2013（2）：20-22.
[8]刘德金.地方本科院校数学基础课研究性教学的探索与实践——以解析几何为例[J].山东轻工业学院学报（自然科学版），2011（4）：97-100.