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【关键词】折纸数学；中职课堂
对于大多数中职学生来说，传统的数学课堂已经无法唤醒他们的学习积极性，更无法提升他们的数学知识水平，当然也不可能提高他们的学习能力与创新能力。如果中职数学课堂仍然以纯知识讲解与训练为主要上课模式，势必不能改变中职数学课堂中上课一片倒的现象，当然也更加会让学校领导认为数学课可上课不上。
目前中职学校生源中大部分学生中考的数学成绩都处在0-40分（满分120分），还有一部分学生压根就没有参加中考。他们的初中知识尚未过关，甚至于他们小学知识掌握的也不牢固。他们普遍不具备学习高中数学的能力。种种现实情况导致中职数学课堂教学面临巨大困境：（1）大部分学生早已丧失了数学学习的兴趣与信心，这种情况下要让他们学习高中数学对他们来说就是一种痛苦；（2）大部分学生知识基础薄弱，导致他们在数学课堂上根本没有办法去学习更高层次的数学知识；（3）很多学校在课程设置中弱化数学课，有些学校少开甚至不开设数学课程。
鉴于上述情况，我不断思考中职数学课堂究竟要带给学生什么？知识并不是最重要的，理解能力，思考问题的能力，发现问题的能力，创新能力才是最重要的。所以我希望能够通过某种媒介沟通数学知识与这些能力，从而开创中职数学新型课堂。2014年7月至8月我在参加西南大学研究生培训时偶然接触到折纸数学的一些内容，这个内容立刻引起了我的关注，我在不断深入学习的过程中意识到：折纸活动符合我一直以来寻找的媒介标准。
折纸活动，本身是容易引起学生共鸣的话题。另外折纸活动中蕴含了大量的数学知识，而我们可以进行适当地数学知识点的提炼，将折纸活动与数学学习揉和在一起，通过合适的教学设计改变中职传统的数学课堂。鉴于学生的数学知识水平较低，在中职一年级开展折纸数学教学，知识点主要集中于初中的几何知识。
通过一个学期的教学实践，我认为折纸数学教学在学生参与课堂方面、理解数学知识方面、以及培养学生的团结合作能力方面有很好的效果。
1 調动学生参与教学过程，提高学生学习数学的积极性
教学活动离不开学生的参与，没有学生参与的数学课堂是低效的甚至是无效的数学课堂。传统的中职数学课堂，常常因为学生的基础水平太低，而变成教师的一言堂，一言堂的数学课堂更加深了学生数学水平差的情况。折纸数学教学，则调动了教学活动的另一主体---学生。
折纸数学教学活动兼顾了教师与学生，在中职的数学课堂中“教师为主导、学生为主体”的教学得以实现。折纸数学教学，本身需要教师的引导与学生的折纸探索活动的结合，才能完成一堂折纸数学课。
【案例1.1】折叠含30°的直角三角形
教师引导：请同学们尝试不用量角器看能够从一张正方形的折纸中剪下一个含30°的直角三角形？
学生活动：折叠探索，通过不断地尝试，容易发现将正方形ABCD的两条邻边AB和AD向内翻折，恰好使得它们与两条折痕各自重合，从而将直角∠A三等分，从而得到含30°的直角三角形。
教师引导，学生活动：精确的折叠方法----（1）将正方形ABCD的边AD与BC重合对折，折痕为EF（如图1-2）；（2）将点B折到EF上，注意将折痕经过点图1-1A，折痕记为AG；
教师引导：将AD与AG重合对折，折痕在哪里？
学生活动探索：发现折痕恰好与AB′重合，从而验证了我们折叠出的三角形ABG是含有30°的直角三角形。
【案例1.2】将正方形平分为四部分
教师引导：同学们有什么办法可以将一张正方形通过折叠的方式平分为四部分？
学生活动：折叠操作，总结折叠方法。
（方法一：两组对边重合对折， 得到四个相同的正方形。）
（方法二：两组不相邻的两个顶点重合对折得到四个相同的等腰直角三角形。）
这两个方法，学生很快便通过折叠操作做到了。
教师引导：还能把正方形分解为四个形状和大小相同的的其它图形吗？
学生活动：折叠探索，学生又发现两种不同的方法
（方法三：将一组对边进行重合对折，再将这一组对边分别于折痕重合对折，得到四个相同的矩形。）
（方法四：将一组对边重合对折，再将形成的两个矩形的对角线折 出，得到四个相同的直角三角形。）
这两个方法，学生通过思考、折叠、探索也能较快地发现。
教师引导：大家还能把正方形分解四个形状和大小相同的的其它图形吗？
学生普遍出现困难，在活动中表现的无所适从。
教师继续引导：前面大家找到的四个方法中得到的四个完全相同的图形分别是四个正方形、四个等腰直角三角形、四个矩形、四个直角三角形；而且在折叠的过程中都是通过第一次折叠得到两个相同的矩形或者三角形，那么第一次折叠的折痕有什么共同点？
学生通过观察、思考，发现这些第一次折叠的折痕都通过了正方形的中心。
教师引导：那么现在请大家先思考要得到两个相同的图形，我们除了矩形、三角形，还可以得到两个相同的什么图形？
学生活动：折叠探索，学生很快发现可以先找到正方形的中心，然后沿着中心任意折叠即可得到两个相同的图形，这些图形有矩形、三角形、梯形。
教师引导：由图1-8可以通过第二次折叠得到图1-4、图1-6、图1-7。由图1-9可以通过第二次折叠得到图1-5。那么图1-10要怎样通过第二次折叠得到四个完全相同的图形？
学生活动：通过观察，学生发现点P和点Q关于正方形的中心对称，这时只要将P、Q两点进行重合折叠得到的新折痕必将经过正方形的中心，这是两条折痕将正方形折纸分成了四个完全相同的四边形。（如图1-11）
从【案例1.1】和【案例1.2】中我们可以看到在折纸数学教学中，老师作为引导者只需恰当地设置引导语，学生就可以根据老师的引导，通过自己的思考与动手操作获得自己的活动体验。因而折纸数学教学一方面调动了学生参与课堂，另一方面也大大提高了学生的学习积极性。 2 让数学更直观，帮助学生更好地理解数学
学习数学，很多时候我们都要求学生理解，事实上理解数学是一个相当高的要求。尤其是对于中职学生来讲数学基础很薄弱，这时要求他理解数学是很困难的。而折纸数学教学则可以将一些数学知识甚至是一些数学定理、数学公式变得很直观，能够帮助学生更好地理解数学。
【案例2.1】数列求和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …… +（2n-1）=？
常规解法：1，3，5，7，9，……，2n-1是一个等差数列，根据等差数列的求和公式可得1+3+5+7+9+……+（2n-1） == n2.
折纸数学教学：将若干个不同颜色的正方形折纸通过折叠得到多个完全相同的小正方形，将它们剪裁出来，设这些个小正方形的边长为1，那么每一个小正方形的面积为1个单位。然后我们按照上面题目的求解要求进行合理的摆放（如组图2-1），即可直观得到1+3+5+7+9+……+（2n-1）= n2.
【案例2.2】直观的勾股定理
常见解法：勾股定理的证明最常见的就是通过赵爽弦图（如图2-2）进行代数计算证明。
该折叠图可以利用【案例1.2】中的图1-11中的第二个图形折叠得到。在图形中，我们已知四 个直角三角形全等，设它们的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，则由图可以知道正方形PP′QQ′的面积等于四个直角三角形的面积与空白小正方形的面积之和。用代数式可以表达为：
c2 = 4×（ab） + （a - b）2=a2 + b2
从而得到勾股定理：a2 + b2 = c2
折纸数学教学：可以根据图2-2将折出来的四个全等的直角三角形剪裁下来，然后在一张白纸上将原正方形折纸的框架画出两个，然后将剪裁下来的四个全等直角三角形在两个正方形的框架图里进行摆放（如图2-3），对于四个全等的直角三角形，设它们的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，就能从图2-3中直观的观察到两个图形中的空白面积相等，从而得到勾股定理：a2 + b2 = c2。
【案例2.3】直观的两角和的正弦公式：sin（α + β） = sinαcosβ + cosαsinβ
两角和的正弦公式证明时需要用到向量，对于中职学生来说理解起来特别困难，但如果我们用折纸方法将它直观的表达出来学生理解起来就容易得多。
剪下的四个斜边相等直角三角形，并保证恰好是两组全等的直角三角形。按照一定的规则拼在矩形框图中（如图2-4）。容易得到两个图中空白处的面积相等。（我们设四个三角形的斜边长均为1）
图2-4左图中空白处为菱形，边长恰好是四个直角三角形的斜边的长，由菱形的面积公式可知空白处的面积为：
S = EH·HF·sin∠EHF = 1×1×
sin[π-（α + β）] = sin（α + β）-----（1）
图2-5右图中空白处为两个矩形：矩形EKMA和矩形GKNC。由直角三角形的角与边的关系可知：EK = cosβ，GK = sinβ；MK = sinα，NK = MB = cosα。由矩形的面积公式可知空白处的面积为：
S = MK·EK + NK·GK = sinαcosβ + cosαsinβ------（2）
由（1）式和（2）式容易得出两角和的正弦公式sin（α + β） = sinαcosβ + cosαsinβ
三个案例中，利用折纸数学教学，将数学证明变得更加直观、形象。
3 培养学生的团队合作能力，提高学生学习的主动性
由于折纸数学教学中很多探索过程并不是由一个人可以完成的，所以通常在教学中采用小组教学，他们在探索学习的过程中需要整个团队沟通与協作，这很好的培养了他们的团队合作能力。团队合作能力对于中职生来说是非常重要的一种能力，这种能力决定着他们以后工作的幸福感与成就感。
另外折纸活动本身容易吸引学生，所以引入折纸活动的数学课中，学生的学习主动性大大提高，经过一个学期的教学实践，经常会在课堂上遇到一些学生的提问，这在常规中职数学课堂中很少见。另外就是学生会主动地总结折纸活动后的一些感想。
【案例】折叠等腰直角三角形有什么用？
教师引导：玩过七巧板吗？你可以尝试用你折叠的等腰直角三角形拼出七巧板中的七个图形。然后借助这七个图形玩七巧板游戏。
学生活动后的收获：1、可以想办法设置一些游戏。2、多次拼图之后，发现每一种最终拼成的图形都是由16个小的等腰直角三角形构成，所以可以先用16个等腰直角三角形拼出主体图形，最后再进行区域划分，调整出7个七巧板中的图形，这样比直接用七巧板中的七个图形去拼图要快捷。3、还可以用多个等腰直角三角形去拼出菠萝、环状一起其它的造型，没有做不到，只有想不到。（学生的拼图展如下）
折纸数学教学使得中职数学课堂变得更加富有活力，学生从中不仅仅获取了数学知识，也获得了在活动中体验数学的经历。他们对数学的认识更深了一层，数学并不仅仅是枯燥的公式、定理，数学也是生动的、活泼的。
参考文献
[1] 黄燕苹，李秉彝.折纸与数学[M].科学出版社，2012.
[2] 杨世明，王雪琴.数学发现的艺术：数学探索中的合情合理[M].青岛海洋大学出版社，1998.
[3] 彭拯，禹辉煌.论数学实验的数学方法论价值[J].数学教育学报，2005（03）.
（作者单位：广东省中山市南朗理工学校）
对于大多数中职学生来说，传统的数学课堂已经无法唤醒他们的学习积极性，更无法提升他们的数学知识水平，当然也不可能提高他们的学习能力与创新能力。如果中职数学课堂仍然以纯知识讲解与训练为主要上课模式，势必不能改变中职数学课堂中上课一片倒的现象，当然也更加会让学校领导认为数学课可上课不上。
目前中职学校生源中大部分学生中考的数学成绩都处在0-40分（满分120分），还有一部分学生压根就没有参加中考。他们的初中知识尚未过关，甚至于他们小学知识掌握的也不牢固。他们普遍不具备学习高中数学的能力。种种现实情况导致中职数学课堂教学面临巨大困境：（1）大部分学生早已丧失了数学学习的兴趣与信心，这种情况下要让他们学习高中数学对他们来说就是一种痛苦；（2）大部分学生知识基础薄弱，导致他们在数学课堂上根本没有办法去学习更高层次的数学知识；（3）很多学校在课程设置中弱化数学课，有些学校少开甚至不开设数学课程。
鉴于上述情况，我不断思考中职数学课堂究竟要带给学生什么？知识并不是最重要的，理解能力，思考问题的能力，发现问题的能力，创新能力才是最重要的。所以我希望能够通过某种媒介沟通数学知识与这些能力，从而开创中职数学新型课堂。2014年7月至8月我在参加西南大学研究生培训时偶然接触到折纸数学的一些内容，这个内容立刻引起了我的关注，我在不断深入学习的过程中意识到：折纸活动符合我一直以来寻找的媒介标准。
折纸活动，本身是容易引起学生共鸣的话题。另外折纸活动中蕴含了大量的数学知识，而我们可以进行适当地数学知识点的提炼，将折纸活动与数学学习揉和在一起，通过合适的教学设计改变中职传统的数学课堂。鉴于学生的数学知识水平较低，在中职一年级开展折纸数学教学，知识点主要集中于初中的几何知识。
通过一个学期的教学实践，我认为折纸数学教学在学生参与课堂方面、理解数学知识方面、以及培养学生的团结合作能力方面有很好的效果。
1 調动学生参与教学过程，提高学生学习数学的积极性
教学活动离不开学生的参与，没有学生参与的数学课堂是低效的甚至是无效的数学课堂。传统的中职数学课堂，常常因为学生的基础水平太低，而变成教师的一言堂，一言堂的数学课堂更加深了学生数学水平差的情况。折纸数学教学，则调动了教学活动的另一主体---学生。
折纸数学教学活动兼顾了教师与学生，在中职的数学课堂中“教师为主导、学生为主体”的教学得以实现。折纸数学教学，本身需要教师的引导与学生的折纸探索活动的结合，才能完成一堂折纸数学课。
【案例1.1】折叠含30°的直角三角形
教师引导：请同学们尝试不用量角器看能够从一张正方形的折纸中剪下一个含30°的直角三角形？
学生活动：折叠探索，通过不断地尝试，容易发现将正方形ABCD的两条邻边AB和AD向内翻折，恰好使得它们与两条折痕各自重合，从而将直角∠A三等分，从而得到含30°的直角三角形。
教师引导，学生活动：精确的折叠方法----（1）将正方形ABCD的边AD与BC重合对折，折痕为EF（如图1-2）；（2）将点B折到EF上，注意将折痕经过点图1-1A，折痕记为AG；
教师引导：将AD与AG重合对折，折痕在哪里？
学生活动探索：发现折痕恰好与AB′重合，从而验证了我们折叠出的三角形ABG是含有30°的直角三角形。
【案例1.2】将正方形平分为四部分
教师引导：同学们有什么办法可以将一张正方形通过折叠的方式平分为四部分？
学生活动：折叠操作，总结折叠方法。
（方法一：两组对边重合对折， 得到四个相同的正方形。）
（方法二：两组不相邻的两个顶点重合对折得到四个相同的等腰直角三角形。）
这两个方法，学生很快便通过折叠操作做到了。
教师引导：还能把正方形分解为四个形状和大小相同的的其它图形吗？
学生活动：折叠探索，学生又发现两种不同的方法
（方法三：将一组对边进行重合对折，再将这一组对边分别于折痕重合对折，得到四个相同的矩形。）
（方法四：将一组对边重合对折，再将形成的两个矩形的对角线折 出，得到四个相同的直角三角形。）
这两个方法，学生通过思考、折叠、探索也能较快地发现。
教师引导：大家还能把正方形分解四个形状和大小相同的的其它图形吗？
学生普遍出现困难，在活动中表现的无所适从。
教师继续引导：前面大家找到的四个方法中得到的四个完全相同的图形分别是四个正方形、四个等腰直角三角形、四个矩形、四个直角三角形；而且在折叠的过程中都是通过第一次折叠得到两个相同的矩形或者三角形，那么第一次折叠的折痕有什么共同点？
学生通过观察、思考，发现这些第一次折叠的折痕都通过了正方形的中心。
教师引导：那么现在请大家先思考要得到两个相同的图形，我们除了矩形、三角形，还可以得到两个相同的什么图形？
学生活动：折叠探索，学生很快发现可以先找到正方形的中心，然后沿着中心任意折叠即可得到两个相同的图形，这些图形有矩形、三角形、梯形。
教师引导：由图1-8可以通过第二次折叠得到图1-4、图1-6、图1-7。由图1-9可以通过第二次折叠得到图1-5。那么图1-10要怎样通过第二次折叠得到四个完全相同的图形？
学生活动：通过观察，学生发现点P和点Q关于正方形的中心对称，这时只要将P、Q两点进行重合折叠得到的新折痕必将经过正方形的中心，这是两条折痕将正方形折纸分成了四个完全相同的四边形。（如图1-11）
从【案例1.1】和【案例1.2】中我们可以看到在折纸数学教学中，老师作为引导者只需恰当地设置引导语，学生就可以根据老师的引导，通过自己的思考与动手操作获得自己的活动体验。因而折纸数学教学一方面调动了学生参与课堂，另一方面也大大提高了学生的学习积极性。 2 让数学更直观，帮助学生更好地理解数学
学习数学，很多时候我们都要求学生理解，事实上理解数学是一个相当高的要求。尤其是对于中职学生来讲数学基础很薄弱，这时要求他理解数学是很困难的。而折纸数学教学则可以将一些数学知识甚至是一些数学定理、数学公式变得很直观，能够帮助学生更好地理解数学。
【案例2.1】数列求和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …… +（2n-1）=？
常规解法：1，3，5，7，9，……，2n-1是一个等差数列，根据等差数列的求和公式可得1+3+5+7+9+……+（2n-1） == n2.
折纸数学教学：将若干个不同颜色的正方形折纸通过折叠得到多个完全相同的小正方形，将它们剪裁出来，设这些个小正方形的边长为1，那么每一个小正方形的面积为1个单位。然后我们按照上面题目的求解要求进行合理的摆放（如组图2-1），即可直观得到1+3+5+7+9+……+（2n-1）= n2.
【案例2.2】直观的勾股定理
常见解法：勾股定理的证明最常见的就是通过赵爽弦图（如图2-2）进行代数计算证明。
该折叠图可以利用【案例1.2】中的图1-11中的第二个图形折叠得到。在图形中，我们已知四 个直角三角形全等，设它们的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，则由图可以知道正方形PP′QQ′的面积等于四个直角三角形的面积与空白小正方形的面积之和。用代数式可以表达为：
c2 = 4×（ab） + （a - b）2=a2 + b2
从而得到勾股定理：a2 + b2 = c2
折纸数学教学：可以根据图2-2将折出来的四个全等的直角三角形剪裁下来，然后在一张白纸上将原正方形折纸的框架画出两个，然后将剪裁下来的四个全等直角三角形在两个正方形的框架图里进行摆放（如图2-3），对于四个全等的直角三角形，设它们的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，就能从图2-3中直观的观察到两个图形中的空白面积相等，从而得到勾股定理：a2 + b2 = c2。
【案例2.3】直观的两角和的正弦公式：sin（α + β） = sinαcosβ + cosαsinβ
两角和的正弦公式证明时需要用到向量，对于中职学生来说理解起来特别困难，但如果我们用折纸方法将它直观的表达出来学生理解起来就容易得多。
剪下的四个斜边相等直角三角形，并保证恰好是两组全等的直角三角形。按照一定的规则拼在矩形框图中（如图2-4）。容易得到两个图中空白处的面积相等。（我们设四个三角形的斜边长均为1）
图2-4左图中空白处为菱形，边长恰好是四个直角三角形的斜边的长，由菱形的面积公式可知空白处的面积为：
S = EH·HF·sin∠EHF = 1×1×
sin[π-（α + β）] = sin（α + β）-----（1）
图2-5右图中空白处为两个矩形：矩形EKMA和矩形GKNC。由直角三角形的角与边的关系可知：EK = cosβ，GK = sinβ；MK = sinα，NK = MB = cosα。由矩形的面积公式可知空白处的面积为：
S = MK·EK + NK·GK = sinαcosβ + cosαsinβ------（2）
由（1）式和（2）式容易得出两角和的正弦公式sin（α + β） = sinαcosβ + cosαsinβ
三个案例中，利用折纸数学教学，将数学证明变得更加直观、形象。
3 培养学生的团队合作能力，提高学生学习的主动性
由于折纸数学教学中很多探索过程并不是由一个人可以完成的，所以通常在教学中采用小组教学，他们在探索学习的过程中需要整个团队沟通与協作，这很好的培养了他们的团队合作能力。团队合作能力对于中职生来说是非常重要的一种能力，这种能力决定着他们以后工作的幸福感与成就感。
另外折纸活动本身容易吸引学生，所以引入折纸活动的数学课中，学生的学习主动性大大提高，经过一个学期的教学实践，经常会在课堂上遇到一些学生的提问，这在常规中职数学课堂中很少见。另外就是学生会主动地总结折纸活动后的一些感想。
【案例】折叠等腰直角三角形有什么用？
教师引导：玩过七巧板吗？你可以尝试用你折叠的等腰直角三角形拼出七巧板中的七个图形。然后借助这七个图形玩七巧板游戏。
学生活动后的收获：1、可以想办法设置一些游戏。2、多次拼图之后，发现每一种最终拼成的图形都是由16个小的等腰直角三角形构成，所以可以先用16个等腰直角三角形拼出主体图形，最后再进行区域划分，调整出7个七巧板中的图形，这样比直接用七巧板中的七个图形去拼图要快捷。3、还可以用多个等腰直角三角形去拼出菠萝、环状一起其它的造型，没有做不到，只有想不到。（学生的拼图展如下）
折纸数学教学使得中职数学课堂变得更加富有活力，学生从中不仅仅获取了数学知识，也获得了在活动中体验数学的经历。他们对数学的认识更深了一层，数学并不仅仅是枯燥的公式、定理，数学也是生动的、活泼的。
参考文献
[1] 黄燕苹，李秉彝.折纸与数学[M].科学出版社，2012.
[2] 杨世明，王雪琴.数学发现的艺术：数学探索中的合情合理[M].青岛海洋大学出版社，1998.
[3] 彭拯，禹辉煌.论数学实验的数学方法论价值[J].数学教育学报，2005（03）.
（作者单位：广东省中山市南朗理工学校）