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人教八（上）数学《轴对称》章末介绍了最短距离的探究，学生在应用过程中常常不知所措，无从下手，笔者从如下几个方面归类分析，希望给大家帮助。
一、基础知识
1.两点之间线段最短；
2.垂线段最短
3.三角形任意两边之差小于第三边
二、基本模型
1.已知点A和点B分居直线两侧，在直线上找一点P，使PA+PB和最小
如图1，根据“两点之间线段最短”，连接AB交已知直线于点P，此时PA+PB和最小.
2.已知点A和点B分居直线同侧，在直线上找一点P，使PA+PB和最小
如图2先作点B（或点A）关于已知直线的对称点 （点 ），再连接 （或 ）交已知直线于点P，此时 和最小。
3.已知点A和点B居直线同侧，在直线上找一点P，使PA-PB差最大
如图3作直线AB交已知直线于点P，此时PA-PB=AB差最大。理由：在已知直线上任取不同于点P的点 ，连接 和 ，根据“三角形任意两边之差小于第三边”可得 ，即PA-PB=AB差最大
4.已知点A和点B分居直线两侧，在直线上找一点P，使PA-PB差最大
如图4先作点B关于已知直线的对称点 ，再作直线 交已知直线于点P，此时 差最大。理由：在已知直线上任取不同于点P的点 ，连接 和 ，根据“三角形任意两边之差小于第三边”可得 ，即PA-PB=AB差最大
三、应用举例
1.两定一动模型
题目中出现两定点，找一动点符合某要求时，往往先选一定点作关于动点所在直线的对称点，再连接另一定点和此对称点与这条直线的交点，该交点为所求。
例1，如图5， 垂足为M、N，MN=12m，AM=5m，BN=4m，P是EF上任意一点，求PA+PB的最小值
解：如图6作点A关于直线EF的对称点 ，连接 ，此时 最小。过点 作 交BN延长线于点C，易知 ， ， ，在 中，由勾股定理可得 ，即PA+PB的最小值为15m。
2.一定两动模型
（1）题目中出现一个定点，两个动点时，且定点在练动点所在直线间时，通常先过定点分别作出关于两动点所在直线的对称点，再连接两对称点与直线相交得到的点即为所求。
例2，如图7，点P为 内一点， ， ，点E、F分别是OA、OB上两动点，求 周长的最小值
解：如图8，分别作出点P关于OA、OB的对称点 、 ，连接 交OA于点E，交OB于点F，此时 的周长等于 最小。连接 、 、 ，由对称知， ， ， ，又因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，所以 ，故 的周长等于 最小值是5cm。
（2）题目中出现一个定点，两个动点，且定点和一动点在同一直线上时，常先找定点关于另一动点所在直线的对称点，再过对称点作一动点所在直线的垂线，垂足和交点为所求。
例3，如图9，在△ABC中，AB=AC=5，D为BC的中点，AD=4，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC+PE的最小值
分析：AB=AC，D为BC中点，则AD垂直平分BC，PC=PB，PC+PE=PB+PE，当点B、P、E三点在同一直线上时PB+PE=BE最小，又由“垂线段最短”知，当 时，BE最短。
解：作 ，垂足为E，交AD于点P，
点D为BC中点
在Rt 中，AD=4，AB=5
，
故PC+PE的最小值是4.8。
（3）题目中出现一个定点，两个动点，且定点在两动点所在直线一旁时，往往直接过定点作较远动点所在直线的垂线，交较近动点所在直线，垂足的对称点和交点为所求。
例4，BD平分 点E、F分别为BC、BD上动点，AB=8， 的面积为20，求EF+CF的最小值
分析：因为BD平分 ，所以直线AB上总有一点 与点E对称， ，所以 ，当 、F、C三点在同一直线上时， 最短，而
直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，所以，当 时，垂足 的关于直线BD的对称点E和交点F为所求。
解：如图12，作 于点 ，交BD于点F，作点 关于直线BD的对称点E ，点E一定在直线BC上，此时， 最短。因为 ，AB=8，所以 ，故EF+CF的最小值为5
3.两定两动模型
题目中出现两定点，找两动点符合三线段和最小时，经常先分别作出两定点关于两动点所在直线的对称点，再连接两对称点，交两动点所在直线形成的交点为所求的点。
例5，如13， ， ，点E、F分别为OA、OB上的两动点，求CF+EF+DE的最小值
解：作点C关于直线OB的对称点 ，作点D关于直线OA的对称点，连接 分别交OA于点E，交OB于点F，此时 的值最小。由对称知 ，所以 。在 中 ，因此CF+EF+DE的最小值为13。
课本习题“将军饮马”，以及“桌球问題”等都属于此类。
当然，最短距离问题千变万化，解决思路各有千秋，具体题目还需仔细分析，认真作答，笔者在此仅作抛砖引玉之浅论，望大家海涵。
如何在高中英语教学中渗透传统文化
湖北省天门杭州华泰中学 徐彩云
十八大以来，习近平总书记多次强调中华传统文化的历史影响和重要意义，每一次讲话都饱含着中华文化的深厚底蕴。教育部考试中心主任姜钢在《中国高等教育杂志》刊登的文章《坚持以立德树人为核心深化高考考试内容改革》透露，在高考命题工作中更加注重“四个加强”：加强社会主义核心价值观的考查；加强依法治国理念的考查；加强中国优秀传统文化的考查；加强创新能力的考查。 反观近年全国卷真题，2013年I卷的“中国画”、2013年II卷的“中国结”和2015年II卷的“重阳节”、 2018年I卷给新西兰朋友介绍中国的作客礼仪均考查了“中国优秀传统文化”这个话题；其中2015年II卷的“重阳节去敬老院”还考查“社会主义核心价值观（孝敬老人）”这个话题。随着对新课标理念及相关高考命题意见的深入落实，优秀的中华传统文化加速融入高考考查范围，并必将成为今后高考考查的新考点和新常态，使命题呈现出“卷有诗书气自华”的勃勃生机。
鉴于此，在日常的高中英语教学中，教师应该有意识地有效地渗透中华传统文化的教育，这样不仅能有效激发学生的兴趣，唤起学生的共鸣，还能更好地为教学服务。下面举几例说明。
案例一： 新课标人教版选修六Unit 4的話题是Poems，而诗歌在中华传统文化中是最为璀璨的一部分。结合最近的火热的文化节目《经典咏流传》，选取其中乡村教师梁俊老师带着孩子们吟唱《苔》的视频片断作为课文的导入，朴实无华的画面配着孩子们天籁般的声音引起了学生们的强烈共鸣。这时老师不失时机地提问： “Do you like this song ？”“Do you know it is adapted from a famous Chinese poem by Yuan Mei ？”“Do you think that Chinese poems are so beautiful and emotional ？”“What do you think of while listening to this poem song？” 通过这一系列的追问，让学生们油然而生对于灿烂的中华诗词的热爱，接着趁热打铁地告诉学生们，“There are also many fantastic English poems ，and if you like ，you can translate Chinese poems into English ，which will also be wonderful. Now let's learn some styles of English poems and try to learn how to create English poems of our own .”通过这一系列的对话活动，学生们学习English poems 的兴头十足，于是自然而然地进入了积极求知的状态、通过一系列地阅读活动，当学生了解了几种简单英文诗的格律之后，可以鼓励他们创作自己的英文诗，尤其是引导学生将自己喜欢的中国古典诗词用英文诗的格律翻译出来。这样既促进了英语的教学，又渗透了中华传统文化的教育和传播。
案例二：新课标人教版必修一Unit I 的话题是Cultural relics.其中Reading 环节介绍的是沙皇俄国的稀世珍宝Amber Room 的传奇故事。前不久红遍大江南北的央视文化大片《国家宝藏》生动传神地演绎了中国上下五千年极具代表性的一系列国宝的前世今生。因此我们可以以此为切入点进行Reading部分的导入。王凯是青年学生熟悉喜爱的演员，他讲述的“各种釉彩大瓶”的故事风趣幽默。教师选取其中的一段视频首先让学生观看。然后告诉学生：“Wang Kai is acting as a national treasure keeper， who is telling us the Previous and Present life of the national treasure .Now there is a Russian treasure called Amber Room ，Which has similar legend .Do you want to learn about its story？ Now let's come to the reading passage.”整个阅读过程以了解宝藏的前世今生为主线，对文本进行了充分的梳理。最后设计一个Discussion and debate 环节，以《丝路山水图》在祖国积贫积弱时流失海外如今又奇迹般地回归祖国的故事为楔子引导学生辩论。“Are you for or against the idea that we should bring back our lost national treasures with large amounts of money？”通过这个活动，激发学生的民族自豪感和保护传承祖国优秀传统文化的决心。
当然，传统文化的渗透，应采取灵活多样的形式，除视频外，还可通过音频、图像、英语演讲、英语话剧表演等方式，让学生在欣赏中领悟传统文化的魅力。
美国语言学家萨皮尔说过：“语言的背景是有东西的，语言不能离开文化而存在。”习近平总书记要求新时代的我们讲好中国故事。而高中英语教学担负着以英语为桥梁，让学生放眼世界，同时让世界了解中国和中国优秀传统文化的责任。高中英语教师应结合具体的教学内容，采取合理的教学策略，将传统文化有机地融合到英语教学中，促进英语课堂高效进行，更好地为高考服务。更重要的是，提升学生跨文化交际的能力，讲好中国故事。
一、基础知识
1.两点之间线段最短；
2.垂线段最短
3.三角形任意两边之差小于第三边
二、基本模型
1.已知点A和点B分居直线两侧，在直线上找一点P，使PA+PB和最小
如图1，根据“两点之间线段最短”，连接AB交已知直线于点P，此时PA+PB和最小.
2.已知点A和点B分居直线同侧，在直线上找一点P，使PA+PB和最小
如图2先作点B（或点A）关于已知直线的对称点 （点 ），再连接 （或 ）交已知直线于点P，此时 和最小。
3.已知点A和点B居直线同侧，在直线上找一点P，使PA-PB差最大
如图3作直线AB交已知直线于点P，此时PA-PB=AB差最大。理由：在已知直线上任取不同于点P的点 ，连接 和 ，根据“三角形任意两边之差小于第三边”可得 ，即PA-PB=AB差最大
4.已知点A和点B分居直线两侧，在直线上找一点P，使PA-PB差最大
如图4先作点B关于已知直线的对称点 ，再作直线 交已知直线于点P，此时 差最大。理由：在已知直线上任取不同于点P的点 ，连接 和 ，根据“三角形任意两边之差小于第三边”可得 ，即PA-PB=AB差最大
三、应用举例
1.两定一动模型
题目中出现两定点，找一动点符合某要求时，往往先选一定点作关于动点所在直线的对称点，再连接另一定点和此对称点与这条直线的交点，该交点为所求。
例1，如图5， 垂足为M、N，MN=12m，AM=5m，BN=4m，P是EF上任意一点，求PA+PB的最小值
解：如图6作点A关于直线EF的对称点 ，连接 ，此时 最小。过点 作 交BN延长线于点C，易知 ， ， ，在 中，由勾股定理可得 ，即PA+PB的最小值为15m。
2.一定两动模型
（1）题目中出现一个定点，两个动点时，且定点在练动点所在直线间时，通常先过定点分别作出关于两动点所在直线的对称点，再连接两对称点与直线相交得到的点即为所求。
例2，如图7，点P为 内一点， ， ，点E、F分别是OA、OB上两动点，求 周长的最小值
解：如图8，分别作出点P关于OA、OB的对称点 、 ，连接 交OA于点E，交OB于点F，此时 的周长等于 最小。连接 、 、 ，由对称知， ， ， ，又因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，所以 ，故 的周长等于 最小值是5cm。
（2）题目中出现一个定点，两个动点，且定点和一动点在同一直线上时，常先找定点关于另一动点所在直线的对称点，再过对称点作一动点所在直线的垂线，垂足和交点为所求。
例3，如图9，在△ABC中，AB=AC=5，D为BC的中点，AD=4，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC+PE的最小值
分析：AB=AC，D为BC中点，则AD垂直平分BC，PC=PB，PC+PE=PB+PE，当点B、P、E三点在同一直线上时PB+PE=BE最小，又由“垂线段最短”知，当 时，BE最短。
解：作 ，垂足为E，交AD于点P，
点D为BC中点
在Rt 中，AD=4，AB=5
，
故PC+PE的最小值是4.8。
（3）题目中出现一个定点，两个动点，且定点在两动点所在直线一旁时，往往直接过定点作较远动点所在直线的垂线，交较近动点所在直线，垂足的对称点和交点为所求。
例4，BD平分 点E、F分别为BC、BD上动点，AB=8， 的面积为20，求EF+CF的最小值
分析：因为BD平分 ，所以直线AB上总有一点 与点E对称， ，所以 ，当 、F、C三点在同一直线上时， 最短，而
直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，所以，当 时，垂足 的关于直线BD的对称点E和交点F为所求。
解：如图12，作 于点 ，交BD于点F，作点 关于直线BD的对称点E ，点E一定在直线BC上，此时， 最短。因为 ，AB=8，所以 ，故EF+CF的最小值为5
3.两定两动模型
题目中出现两定点，找两动点符合三线段和最小时，经常先分别作出两定点关于两动点所在直线的对称点，再连接两对称点，交两动点所在直线形成的交点为所求的点。
例5，如13， ， ，点E、F分别为OA、OB上的两动点，求CF+EF+DE的最小值
解：作点C关于直线OB的对称点 ，作点D关于直线OA的对称点，连接 分别交OA于点E，交OB于点F，此时 的值最小。由对称知 ，所以 。在 中 ，因此CF+EF+DE的最小值为13。
课本习题“将军饮马”，以及“桌球问題”等都属于此类。
当然，最短距离问题千变万化，解决思路各有千秋，具体题目还需仔细分析，认真作答，笔者在此仅作抛砖引玉之浅论，望大家海涵。
如何在高中英语教学中渗透传统文化
湖北省天门杭州华泰中学 徐彩云
十八大以来，习近平总书记多次强调中华传统文化的历史影响和重要意义，每一次讲话都饱含着中华文化的深厚底蕴。教育部考试中心主任姜钢在《中国高等教育杂志》刊登的文章《坚持以立德树人为核心深化高考考试内容改革》透露，在高考命题工作中更加注重“四个加强”：加强社会主义核心价值观的考查；加强依法治国理念的考查；加强中国优秀传统文化的考查；加强创新能力的考查。 反观近年全国卷真题，2013年I卷的“中国画”、2013年II卷的“中国结”和2015年II卷的“重阳节”、 2018年I卷给新西兰朋友介绍中国的作客礼仪均考查了“中国优秀传统文化”这个话题；其中2015年II卷的“重阳节去敬老院”还考查“社会主义核心价值观（孝敬老人）”这个话题。随着对新课标理念及相关高考命题意见的深入落实，优秀的中华传统文化加速融入高考考查范围，并必将成为今后高考考查的新考点和新常态，使命题呈现出“卷有诗书气自华”的勃勃生机。
鉴于此，在日常的高中英语教学中，教师应该有意识地有效地渗透中华传统文化的教育，这样不仅能有效激发学生的兴趣，唤起学生的共鸣，还能更好地为教学服务。下面举几例说明。
案例一： 新课标人教版选修六Unit 4的話题是Poems，而诗歌在中华传统文化中是最为璀璨的一部分。结合最近的火热的文化节目《经典咏流传》，选取其中乡村教师梁俊老师带着孩子们吟唱《苔》的视频片断作为课文的导入，朴实无华的画面配着孩子们天籁般的声音引起了学生们的强烈共鸣。这时老师不失时机地提问： “Do you like this song ？”“Do you know it is adapted from a famous Chinese poem by Yuan Mei ？”“Do you think that Chinese poems are so beautiful and emotional ？”“What do you think of while listening to this poem song？” 通过这一系列的追问，让学生们油然而生对于灿烂的中华诗词的热爱，接着趁热打铁地告诉学生们，“There are also many fantastic English poems ，and if you like ，you can translate Chinese poems into English ，which will also be wonderful. Now let's learn some styles of English poems and try to learn how to create English poems of our own .”通过这一系列的对话活动，学生们学习English poems 的兴头十足，于是自然而然地进入了积极求知的状态、通过一系列地阅读活动，当学生了解了几种简单英文诗的格律之后，可以鼓励他们创作自己的英文诗，尤其是引导学生将自己喜欢的中国古典诗词用英文诗的格律翻译出来。这样既促进了英语的教学，又渗透了中华传统文化的教育和传播。
案例二：新课标人教版必修一Unit I 的话题是Cultural relics.其中Reading 环节介绍的是沙皇俄国的稀世珍宝Amber Room 的传奇故事。前不久红遍大江南北的央视文化大片《国家宝藏》生动传神地演绎了中国上下五千年极具代表性的一系列国宝的前世今生。因此我们可以以此为切入点进行Reading部分的导入。王凯是青年学生熟悉喜爱的演员，他讲述的“各种釉彩大瓶”的故事风趣幽默。教师选取其中的一段视频首先让学生观看。然后告诉学生：“Wang Kai is acting as a national treasure keeper， who is telling us the Previous and Present life of the national treasure .Now there is a Russian treasure called Amber Room ，Which has similar legend .Do you want to learn about its story？ Now let's come to the reading passage.”整个阅读过程以了解宝藏的前世今生为主线，对文本进行了充分的梳理。最后设计一个Discussion and debate 环节，以《丝路山水图》在祖国积贫积弱时流失海外如今又奇迹般地回归祖国的故事为楔子引导学生辩论。“Are you for or against the idea that we should bring back our lost national treasures with large amounts of money？”通过这个活动，激发学生的民族自豪感和保护传承祖国优秀传统文化的决心。
当然，传统文化的渗透，应采取灵活多样的形式，除视频外，还可通过音频、图像、英语演讲、英语话剧表演等方式，让学生在欣赏中领悟传统文化的魅力。
美国语言学家萨皮尔说过：“语言的背景是有东西的，语言不能离开文化而存在。”习近平总书记要求新时代的我们讲好中国故事。而高中英语教学担负着以英语为桥梁，让学生放眼世界，同时让世界了解中国和中国优秀传统文化的责任。高中英语教师应结合具体的教学内容，采取合理的教学策略，将传统文化有机地融合到英语教学中，促进英语课堂高效进行，更好地为高考服务。更重要的是，提升学生跨文化交际的能力，讲好中国故事。