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摘要：给出了小剪切变形下的基桩P-△效应和大剪切变形下支座P-△效应计算的杆单元刚度矩阵方程。假定杆单元弯曲变形位移函数为三次幂函数，剪切变形函数为线性函数，根据有限元法一般原理，推导了一种同时计入竖向力径向剪切分力剪切变形和水平力剪切变形的P-△效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形的P-△效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的P-△效应杆单元刚度方程。计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的P-△效应杆单元可良好的模拟支座在大剪切变形下的偏心工作特性，能实时计入其偏心弯矩影响，为实时计入支座偏心特性的结构动静力分析提供了理论支撑。最后通过自编MATLAB程序进行算例分析，结果表明，计入支座大剪切变下的P-△效应后，基桩内力位移和地基土压力均显著增大。基桩自身剪切变形对桩身内力位移和地基土压力影响较小，可以忽略。
关键词：基桩；支座；水平力剪切变形；竖向力径向剪切分力；P-△效应；有限杆单元法
中图分类号：TU470
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2016）06-0062-10
倾斜荷载下的基桩，不仅水平力产生剪切变形，竖向力因转角产生径向剪切分力也将产生剪切变形。桩顶支座大剪切变形下的P-△效应极显著，不容忽略。目前，计人剪切变形的基桩P-△效应计算的有杆单元法尚似未见报道。而弹簧、刚臂或等效偏心弯矩均难实时模拟支座大剪切变形下的P-△效应。因此研究计人小剪切变形下的基桩P-△效应和大剪切变形下支座P-△效应计算方法具有实际意义。
目前基桩P-△效应计算分析方法较多，可分为解析解法和有限元法两大类。线弹性土中基桩P-△效应静力计算解析解，主要有m法假定的幂级数解，C法（张氏法）假定的解析解，以及（mz+c）法假定的幂级数解。随后栾鲁宝等给出了粘弹性土中考虑P-△效应时基桩水平振动的解析解答。赵明华等提出应用有限元一有限层法进行基桩P-△效应计算。在有限杆元法中，通过附加几何刚度矩阵来考虑P-△效应。常用的杆单元几何刚度矩阵为线性近似的几何刚度矩阵或一致几何刚度矩阵。但因假定和推导过程差异，几何刚度矩阵形式较多。王用中等、赵明华等、夏拥军等均给出了不同形式的P-△效应杆单元刚度矩阵方程。梁仁杰等提出用白噪声扫描的手段，结合数值计算的方法，求解结构考虑P-△效应时的模态参数，并研究了P-△效应对结构动力特性影响。李刚等应用有限杆单元法对结构P-△效应动力分析，认为P-△效应将降低结构抗震能力。耿江玮等对考虑材料非线性和P-△效应的非规则连续梁桥进行地震反应分析，魏标等重点研究了支座布置对不等高墩非规则连续梁桥地震响应的影响，张志俊等进行了弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究，以上学者均用弹簧或弹簧阻尼单元模拟桥梁支座，忽略了支座的偏心弯矩效应。马长飞等、刘彦辉等通过构造水平力偶代替支座偏心弯矩，应用有限杆单元法对上下部结构和隔震支座进行了地震反应分析，虽考了了支座偏心弯矩效应，但求解较复杂，通用性不足。孟凡涛等综合考虑剪切变形和梁柱节点连接半刚性影响的基础上，给出了框架柱的抗侧移刚度公式，认为剪切变形对框架结构的P-△效应影响显著，已超出工程上可接受的5%的误差范围。
本文将假定杆单元剪切变形和弯曲变形的位移模式，推导小剪切变形下的P-△效应杆单元刚度方程，用以计算桩身剪切变形影响；推导大剪切变形下的P-△效应的杆单元刚度方程，用以计算支座大剪切变形下的P-△效应。
1.计入剪切变形的P-△效应杆单元
为推导计人了剪切变形和P-△效应的杆单元刚度方程，假定弯曲变形产生的水平位移为三次幂函数，剪切变形产生的水平位移为线性函数。
1.1P-△效应杆单元受力平衡微分方程
假定P-△效应杆单元为弹性体，单元受力如图1所示。
式（43）～（45）分别由式（35）～（37）演化而来，主要是在反算单元节点剪力时已计人了小变形情况下竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。式（43）～（45）的剪力项分别减去式（35）～（37）对应的剪力项-即可得竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。
1.7支座等大剪切变形构件PA效應计算
工程中大部分构件剪切变形影响很小而可以忽略。但如支座等大剪切变形构件，竖向力产生的偏心弯矩十分显著，而刚臂或弹簧均不能实时模拟支座的偏心弯矩效应。支座发生大剪切变形时，本文竖向力径向剪切分力近似计算公式不再适用。但是仅计入水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度方程式（36）却能很好地反映支座的工作性能，可以很好地计人竖向力在因支座大剪切变形而产生的偏心弯矩影响，即支座的P-△效应。
2.支座P-△效应算例
某支座高h=0.3m，直径d=850mm，剪切模量G一2 MPa，抗压弹性模量E=5000MPa，竖向力FN=15000kN，水平力FH=180kN。
支座受力如图2，支座顶水平位移由剪切变形Vs和弯曲变形Vm组成，但剪切变形远大于弯曲变形，且与支座高度同数量级，为典型的大剪切变形构件；支座底部总弯矩由竖向力偏心弯矩和水平力矩组成，竖向力偏心弯矩往往极显著，且远大于水平力矩。支座偏心受压后其竖向抗压刚度会随之变化，其弯曲变形会出现一定的非线性，本文暂时忽略此影响，并假定其抗压弹模不变。
本文中将支座划分为10个杆单元，按仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时，P-△应杆单元刚度矩阵方程式（21），自编Matlab程序计算，支座单元节点水平位移、弯曲转角、弯矩计算如下表1所示。可见支座底面偏心弯矩占总弯矩的93.65%，水平力产生的弯矩仅占6.35%。偏心弯矩显著，不容忽略，在基桩内力位移计算分析时应予以考虑。 支座基桩受力如图3，支座顶水平位移由基桩水平位移Vp和支座自身水平变形Vb组成；且二者同数量级。基桩顶荷载除了上部结构传递的竖向力FN和水平力FQ外，还有竖向力因支座自身变形而产生的偏心弯矩FN·VB，因竖向力和支座变形均很大，因此偏心弯矩不能忽略。
将支座划分了2个杆单元，其单元刚度矩阵方程采用式（36）；基桩划分了731个杆单元，在忽略和计人桩身剪切变性影响情况下其单元刚度矩阵方程分别采用（38）和式（35）；并用自编MATLAB有限元程序计算，结果如表2和图4。
由表1可知，在忽略桩身剪切变形的情况下，计人支座偏心弯矩效应（即P-△效应）后，桩顶位移和转角分别增加了13.41%和18.46%，地面处桩身位移和转角分别增加了9.83%和10.29%，桩身最大弯矩和最大剪力分贝增加了10.82%和10.59%，桩顶修正剪力增加了5.55%，最大土压力增加了9.40%。进一步考虑桩身剪切变形影响后，桩顶位移和转角分别增加了0.70%和O.87%，地面处桩身位移和转角分别增加了0.55%和0.92%，桩身最大弯矩和最大剪力分贝增加了1.49%和0.23%，桩顶修正剪力增加了0.24%，最大土压力增加了一0.10%。
因此，支座P-△效应对基桩内力位移影响显著，应该考虑；而剪切变形对桩身内力位移影响极小，则可忽略。
支座偏心弯矩效应也可以通过水平力作用在支座的剪切变形乘以竖向力近似求得，并将此偏心弯矩加载至基桩顶，即可在基桩P-△效应计算时等效考虑支座的影响。但在上下部结构、支座和地基共同作用时，支座的偏心弯矩效应很难用等效弯矩进行实时模拟。因此，提出的计入水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，为上下部结构共同作用的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。
4.结论
假定杆单元位弯曲变形移函数为三次幂函数，剪切变形位移函数为线性函数，根据有限元一般原理，导出了考虑了P-△效应、水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形的杆单元的刚度方程，通过算例分析，主要结论如下：
1）推导了同时考虑水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切變形和P-△效应的杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计人竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度矩阵方程，进一步完善了P-△效应杆单元理论。
2）仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-△效应杆单元能很好地反映支座大剪切变形的偏心工作特性，为上下部结构共同作用动静力分析的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。
3）支座和基桩共同作用的P-△效应分析表明，在水平力作用下，支座大剪切变形下的P-△效应将使基桩内力位移和桩侧土压力显著增大，并进一步削弱支座和墩台综合水平刚度，基桩P-△效应分析、墩台水平力分配时应予以考虑。
4）基桩自身剪切变形对基桩P-△效应影响极小，可以忽略。
关键词：基桩；支座；水平力剪切变形；竖向力径向剪切分力；P-△效应；有限杆单元法
中图分类号：TU470
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2016）06-0062-10
倾斜荷载下的基桩，不仅水平力产生剪切变形，竖向力因转角产生径向剪切分力也将产生剪切变形。桩顶支座大剪切变形下的P-△效应极显著，不容忽略。目前，计人剪切变形的基桩P-△效应计算的有杆单元法尚似未见报道。而弹簧、刚臂或等效偏心弯矩均难实时模拟支座大剪切变形下的P-△效应。因此研究计人小剪切变形下的基桩P-△效应和大剪切变形下支座P-△效应计算方法具有实际意义。
目前基桩P-△效应计算分析方法较多，可分为解析解法和有限元法两大类。线弹性土中基桩P-△效应静力计算解析解，主要有m法假定的幂级数解，C法（张氏法）假定的解析解，以及（mz+c）法假定的幂级数解。随后栾鲁宝等给出了粘弹性土中考虑P-△效应时基桩水平振动的解析解答。赵明华等提出应用有限元一有限层法进行基桩P-△效应计算。在有限杆元法中，通过附加几何刚度矩阵来考虑P-△效应。常用的杆单元几何刚度矩阵为线性近似的几何刚度矩阵或一致几何刚度矩阵。但因假定和推导过程差异，几何刚度矩阵形式较多。王用中等、赵明华等、夏拥军等均给出了不同形式的P-△效应杆单元刚度矩阵方程。梁仁杰等提出用白噪声扫描的手段，结合数值计算的方法，求解结构考虑P-△效应时的模态参数，并研究了P-△效应对结构动力特性影响。李刚等应用有限杆单元法对结构P-△效应动力分析，认为P-△效应将降低结构抗震能力。耿江玮等对考虑材料非线性和P-△效应的非规则连续梁桥进行地震反应分析，魏标等重点研究了支座布置对不等高墩非规则连续梁桥地震响应的影响，张志俊等进行了弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究，以上学者均用弹簧或弹簧阻尼单元模拟桥梁支座，忽略了支座的偏心弯矩效应。马长飞等、刘彦辉等通过构造水平力偶代替支座偏心弯矩，应用有限杆单元法对上下部结构和隔震支座进行了地震反应分析，虽考了了支座偏心弯矩效应，但求解较复杂，通用性不足。孟凡涛等综合考虑剪切变形和梁柱节点连接半刚性影响的基础上，给出了框架柱的抗侧移刚度公式，认为剪切变形对框架结构的P-△效应影响显著，已超出工程上可接受的5%的误差范围。
本文将假定杆单元剪切变形和弯曲变形的位移模式，推导小剪切变形下的P-△效应杆单元刚度方程，用以计算桩身剪切变形影响；推导大剪切变形下的P-△效应的杆单元刚度方程，用以计算支座大剪切变形下的P-△效应。
1.计入剪切变形的P-△效应杆单元
为推导计人了剪切变形和P-△效应的杆单元刚度方程，假定弯曲变形产生的水平位移为三次幂函数，剪切变形产生的水平位移为线性函数。
1.1P-△效应杆单元受力平衡微分方程
假定P-△效应杆单元为弹性体，单元受力如图1所示。
式（43）～（45）分别由式（35）～（37）演化而来，主要是在反算单元节点剪力时已计人了小变形情况下竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。式（43）～（45）的剪力项分别减去式（35）～（37）对应的剪力项-即可得竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。
1.7支座等大剪切变形构件PA效應计算
工程中大部分构件剪切变形影响很小而可以忽略。但如支座等大剪切变形构件，竖向力产生的偏心弯矩十分显著，而刚臂或弹簧均不能实时模拟支座的偏心弯矩效应。支座发生大剪切变形时，本文竖向力径向剪切分力近似计算公式不再适用。但是仅计入水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度方程式（36）却能很好地反映支座的工作性能，可以很好地计人竖向力在因支座大剪切变形而产生的偏心弯矩影响，即支座的P-△效应。
2.支座P-△效应算例
某支座高h=0.3m，直径d=850mm，剪切模量G一2 MPa，抗压弹性模量E=5000MPa，竖向力FN=15000kN，水平力FH=180kN。
支座受力如图2，支座顶水平位移由剪切变形Vs和弯曲变形Vm组成，但剪切变形远大于弯曲变形，且与支座高度同数量级，为典型的大剪切变形构件；支座底部总弯矩由竖向力偏心弯矩和水平力矩组成，竖向力偏心弯矩往往极显著，且远大于水平力矩。支座偏心受压后其竖向抗压刚度会随之变化，其弯曲变形会出现一定的非线性，本文暂时忽略此影响，并假定其抗压弹模不变。
本文中将支座划分为10个杆单元，按仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时，P-△应杆单元刚度矩阵方程式（21），自编Matlab程序计算，支座单元节点水平位移、弯曲转角、弯矩计算如下表1所示。可见支座底面偏心弯矩占总弯矩的93.65%，水平力产生的弯矩仅占6.35%。偏心弯矩显著，不容忽略，在基桩内力位移计算分析时应予以考虑。 支座基桩受力如图3，支座顶水平位移由基桩水平位移Vp和支座自身水平变形Vb组成；且二者同数量级。基桩顶荷载除了上部结构传递的竖向力FN和水平力FQ外，还有竖向力因支座自身变形而产生的偏心弯矩FN·VB，因竖向力和支座变形均很大，因此偏心弯矩不能忽略。
将支座划分了2个杆单元，其单元刚度矩阵方程采用式（36）；基桩划分了731个杆单元，在忽略和计人桩身剪切变性影响情况下其单元刚度矩阵方程分别采用（38）和式（35）；并用自编MATLAB有限元程序计算，结果如表2和图4。
由表1可知，在忽略桩身剪切变形的情况下，计人支座偏心弯矩效应（即P-△效应）后，桩顶位移和转角分别增加了13.41%和18.46%，地面处桩身位移和转角分别增加了9.83%和10.29%，桩身最大弯矩和最大剪力分贝增加了10.82%和10.59%，桩顶修正剪力增加了5.55%，最大土压力增加了9.40%。进一步考虑桩身剪切变形影响后，桩顶位移和转角分别增加了0.70%和O.87%，地面处桩身位移和转角分别增加了0.55%和0.92%，桩身最大弯矩和最大剪力分贝增加了1.49%和0.23%，桩顶修正剪力增加了0.24%，最大土压力增加了一0.10%。
因此，支座P-△效应对基桩内力位移影响显著，应该考虑；而剪切变形对桩身内力位移影响极小，则可忽略。
支座偏心弯矩效应也可以通过水平力作用在支座的剪切变形乘以竖向力近似求得，并将此偏心弯矩加载至基桩顶，即可在基桩P-△效应计算时等效考虑支座的影响。但在上下部结构、支座和地基共同作用时，支座的偏心弯矩效应很难用等效弯矩进行实时模拟。因此，提出的计入水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，为上下部结构共同作用的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。
4.结论
假定杆单元位弯曲变形移函数为三次幂函数，剪切变形位移函数为线性函数，根据有限元一般原理，导出了考虑了P-△效应、水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形的杆单元的刚度方程，通过算例分析，主要结论如下：
1）推导了同时考虑水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切變形和P-△效应的杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计人竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时的P-△效应杆单元刚度矩阵方程，进一步完善了P-△效应杆单元理论。
2）仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-△效应杆单元能很好地反映支座大剪切变形的偏心工作特性，为上下部结构共同作用动静力分析的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。
3）支座和基桩共同作用的P-△效应分析表明，在水平力作用下，支座大剪切变形下的P-△效应将使基桩内力位移和桩侧土压力显著增大，并进一步削弱支座和墩台综合水平刚度，基桩P-△效应分析、墩台水平力分配时应予以考虑。
4）基桩自身剪切变形对基桩P-△效应影响极小，可以忽略。