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【关键词】几何直观 经验 素养
新课程标准新增添了“几何直观”这个核心概念。关于“几何直观”，新课程标准认为：几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象。史宁中教授认为：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。我国心理学家朱志贤认为，小学生思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，这时的抽象思维很大程度上仍有具体形象性。因此，数学教学需要在内容和形式的组织上进行具象的支持，借助几何直观可使学生更有品质地进行学习，形成基本的数学素养。
康德说：人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。教学中可以借助几何直观描述生活中纷繁复杂的问题及事物之间的关系，引导学生观察直观背后隐藏的抽象意义，并通过操作直观图形的经验，抽象出相同的结构形式，即数学概念。抽象和概括是密不可分的，是思维过程的核心。由于小学生知识经验的限制，他们的抽象概括能力还不强，对这一能力的培养需要遵循他们的认知规律，由形象入手，逐层地抽象概括，获得正确的概念表征。
上述教学中，教师在组织学生概括“分数”这一数学概念时，就给学生提供了长方形、正方形、圆形、三角形等丰富的感性材料，并且引导他们亲自参与抽象概括的过程，借助“几何直观”在头脑中抽象出分数的概念表征，再用数学语言表述。这样，学生头脑中分数概念的获得就是有意义的，概念的保持会更加持久。
计算教学中借助“几何直观”帮助学生理解算理，最常用的思想方法就是数形结合。数形结合可以把数字、图形、算理自然沟通，使抽象的算理有了生命，变得直观生动。学生借助直观图形并越过图形，学会用“图形语言”来思考问题，有助于学生把握数学问题的本质，由此积累“几何直观”经验，发展直观思维能力。
例如：苏教版数学三年级下册“两位数乘两位数乘法竖式”，先让学生在小方块图上涂一涂，分别表示个位2×14，十位上1×14的结果。再剪一剪，按数位对齐摆放，说一说计算步骤。然后，借助课件演示平移、旋转一个百和4个十，让静态的数学知识动态化，抽象的算理形象化、具体化。最后，让学生说一说算理。（如图1）
上述教学中，通过涂一涂、剪一剪、说一说以及课件演示等多形式、多感官参与感知，运用观察、操作、演示等方法，把视觉、运动觉等协同起来充分感知，并渗入抽象思维成分，将抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换，将看不见的抽象算理变得直观形象，直观图形与数学语言、符号语言进行转换，丰盈了学生表述算理的经验，从而解决了数学问题。
徐利治先生提出，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。由此，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，对拓展解决问题的思路有益。
如苏教版数学三年级上册第45页思考题：两个长5厘米、宽2厘米的长方形，重叠成右边的图形，你能算出这个图形的周长吗？（如图2）
学生用两张长方形纸重叠操作，发现重合了4条2厘米的宽，只要计算出两个长方形的周长，再减去重叠的部分。得出解法一：5 2=7（厘米），7×2=14（厘米），14×2=28（厘米），2×4=8（厘米），28-8=20（厘米）。画出直观图，学生会把6条边的长加起来。得出解法二：5-2=3（厘米），5 2 3 3 2 5=20（厘米）。如果平移两条边，图形就转化成规则的正方形，得出解法三：5×4=20（厘米）。通过对比，可以发现在头脑中把图形动起来的解法三，更巧妙、简洁。
在这个案例中，教会学生合理运用直观图，分析题意时把抽象的数学语言与形象的直观图形结合起来，加上想象，把图形动起来，抽象思维与形象思维相结合，思维超越图形，逐渐灵动起来，问题便迎刃而解，且解法更简捷。
借助“几何直观”，学生会把自己观察到的和学过的知识相互联系起来，通过思考、想象等思维活动，猜出可能的结果和论证思路，这是合情推理。研究现实中的数学问题，通常需要把抽象的研究对象形象化，借助图形把复杂的数学问题直观化、简单化和条理化，观察、思考、分析之后，产生合理的猜想，发现规律。
如苏教版数学五年级下册《和的奇偶性》一课，学生可以举例子，计算发现：奇数 偶数=奇数，偶数 偶数=偶数，奇数 奇数=偶数。但让五年级学生发现“奇数个奇数相加的和是奇数”这个规律，非常难，举例计算归纳，耗时多，加之不完全归纳法的结果有时不一定正确。这时数转化为形，通过演绎推理发现规律，学生更信服。先把每两个小方块圈起来，没有剩余，表示是2的倍数，即偶数。发现：奇数 奇数时，可以把剩下的一个小方块移动，和另一个奇数中剩下的合起来，正好也是2的倍数，结果还是偶数。通过第二次圈方块，发现加数是偶数时，圈出的一定是偶数，中间无论加几个偶数都与和的奇偶性没有关系，可以把偶数划去不考虑。因此，推理出和的奇偶性只与奇数个数有关。最后一次圈方块，推理出：奇数个奇数的和，圈剩下的小方块的个数一定是奇数，偶数个奇数相加的和，圈剩下的小方块的个数一定是偶数。发现：和的奇偶性取决于奇数的个数，“奇数个奇数相加的和一定是奇数”。m个奇数相加，当m是奇数时和一定是奇数，当m是偶数时和一定是偶数。（见图3）
教学实践表明，学生对抽象数学知识的理解和接受往往是感到困难的。这当中，常常需要图式表象作为桥梁，发挥了图形的中介作用，把数转化为形。学生脑中有了清晰的图式表象，借助图形推理，学生能顺利地发现数学规律。
在课堂教学中，学习活动基于经验而发生，不管是表征数学概念、丰盈计算算理、拓展解题思路还是探索发现规律，“几何直观”的介入都是在为积累数学活动经验、渗透数学思想方法做准备。学生在学习活动中积累“几何直观”经验，同时也会引发思维、行为甚至心理上稳定而持久的变化，导致一種隐性的心理品质的产生，这种隐性的心理品质就是素养。数学素养的涵养是无形的，正如老子在《道德经》中“大象无形”的说法，是说至美的形象已经到了和自然融为一体的境界，没有任何人工雕琢的痕迹，无法用语言描述，却令人回味无穷，这也是学生体悟数学基本思想的最高境界。
[1]史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]康德.纯粹理性批判[M].邓小芒，译.陶祖德，校.北京：人民出版社，2004.
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）.
新课程标准新增添了“几何直观”这个核心概念。关于“几何直观”，新课程标准认为：几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象。史宁中教授认为：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。我国心理学家朱志贤认为，小学生思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，这时的抽象思维很大程度上仍有具体形象性。因此，数学教学需要在内容和形式的组织上进行具象的支持，借助几何直观可使学生更有品质地进行学习，形成基本的数学素养。
一、借助“几何直观”支持概念表征
康德说：人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。教学中可以借助几何直观描述生活中纷繁复杂的问题及事物之间的关系，引导学生观察直观背后隐藏的抽象意义，并通过操作直观图形的经验，抽象出相同的结构形式，即数学概念。抽象和概括是密不可分的，是思维过程的核心。由于小学生知识经验的限制，他们的抽象概括能力还不强，对这一能力的培养需要遵循他们的认知规律，由形象入手，逐层地抽象概括，获得正确的概念表征。
上述教学中，教师在组织学生概括“分数”这一数学概念时，就给学生提供了长方形、正方形、圆形、三角形等丰富的感性材料，并且引导他们亲自参与抽象概括的过程，借助“几何直观”在头脑中抽象出分数的概念表征，再用数学语言表述。这样，学生头脑中分数概念的获得就是有意义的，概念的保持会更加持久。
二、借助“几何直观”丰盈算理表述
计算教学中借助“几何直观”帮助学生理解算理，最常用的思想方法就是数形结合。数形结合可以把数字、图形、算理自然沟通，使抽象的算理有了生命，变得直观生动。学生借助直观图形并越过图形，学会用“图形语言”来思考问题，有助于学生把握数学问题的本质，由此积累“几何直观”经验，发展直观思维能力。
例如：苏教版数学三年级下册“两位数乘两位数乘法竖式”，先让学生在小方块图上涂一涂，分别表示个位2×14，十位上1×14的结果。再剪一剪，按数位对齐摆放，说一说计算步骤。然后，借助课件演示平移、旋转一个百和4个十，让静态的数学知识动态化，抽象的算理形象化、具体化。最后，让学生说一说算理。（如图1）
上述教学中，通过涂一涂、剪一剪、说一说以及课件演示等多形式、多感官参与感知，运用观察、操作、演示等方法，把视觉、运动觉等协同起来充分感知，并渗入抽象思维成分，将抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换，将看不见的抽象算理变得直观形象，直观图形与数学语言、符号语言进行转换，丰盈了学生表述算理的经验，从而解决了数学问题。
三、借助“几何直观”拓展解题思路
徐利治先生提出，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。由此，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，对拓展解决问题的思路有益。
如苏教版数学三年级上册第45页思考题：两个长5厘米、宽2厘米的长方形，重叠成右边的图形，你能算出这个图形的周长吗？（如图2）
学生用两张长方形纸重叠操作，发现重合了4条2厘米的宽，只要计算出两个长方形的周长，再减去重叠的部分。得出解法一：5 2=7（厘米），7×2=14（厘米），14×2=28（厘米），2×4=8（厘米），28-8=20（厘米）。画出直观图，学生会把6条边的长加起来。得出解法二：5-2=3（厘米），5 2 3 3 2 5=20（厘米）。如果平移两条边，图形就转化成规则的正方形，得出解法三：5×4=20（厘米）。通过对比，可以发现在头脑中把图形动起来的解法三，更巧妙、简洁。
在这个案例中，教会学生合理运用直观图，分析题意时把抽象的数学语言与形象的直观图形结合起来，加上想象，把图形动起来，抽象思维与形象思维相结合，思维超越图形，逐渐灵动起来，问题便迎刃而解，且解法更简捷。
四、借助“几何直观”探索发现规律
借助“几何直观”，学生会把自己观察到的和学过的知识相互联系起来，通过思考、想象等思维活动，猜出可能的结果和论证思路，这是合情推理。研究现实中的数学问题，通常需要把抽象的研究对象形象化，借助图形把复杂的数学问题直观化、简单化和条理化，观察、思考、分析之后，产生合理的猜想，发现规律。
如苏教版数学五年级下册《和的奇偶性》一课，学生可以举例子，计算发现：奇数 偶数=奇数，偶数 偶数=偶数，奇数 奇数=偶数。但让五年级学生发现“奇数个奇数相加的和是奇数”这个规律，非常难，举例计算归纳，耗时多，加之不完全归纳法的结果有时不一定正确。这时数转化为形，通过演绎推理发现规律，学生更信服。先把每两个小方块圈起来，没有剩余，表示是2的倍数，即偶数。发现：奇数 奇数时，可以把剩下的一个小方块移动，和另一个奇数中剩下的合起来，正好也是2的倍数，结果还是偶数。通过第二次圈方块，发现加数是偶数时，圈出的一定是偶数，中间无论加几个偶数都与和的奇偶性没有关系，可以把偶数划去不考虑。因此，推理出和的奇偶性只与奇数个数有关。最后一次圈方块，推理出：奇数个奇数的和，圈剩下的小方块的个数一定是奇数，偶数个奇数相加的和，圈剩下的小方块的个数一定是偶数。发现：和的奇偶性取决于奇数的个数，“奇数个奇数相加的和一定是奇数”。m个奇数相加，当m是奇数时和一定是奇数，当m是偶数时和一定是偶数。（见图3）
教学实践表明，学生对抽象数学知识的理解和接受往往是感到困难的。这当中，常常需要图式表象作为桥梁，发挥了图形的中介作用，把数转化为形。学生脑中有了清晰的图式表象，借助图形推理，学生能顺利地发现数学规律。
在课堂教学中，学习活动基于经验而发生，不管是表征数学概念、丰盈计算算理、拓展解题思路还是探索发现规律，“几何直观”的介入都是在为积累数学活动经验、渗透数学思想方法做准备。学生在学习活动中积累“几何直观”经验，同时也会引发思维、行为甚至心理上稳定而持久的变化，导致一種隐性的心理品质的产生，这种隐性的心理品质就是素养。数学素养的涵养是无形的，正如老子在《道德经》中“大象无形”的说法，是说至美的形象已经到了和自然融为一体的境界，没有任何人工雕琢的痕迹，无法用语言描述，却令人回味无穷，这也是学生体悟数学基本思想的最高境界。
【参考文献】
[1]史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]康德.纯粹理性批判[M].邓小芒，译.陶祖德，校.北京：人民出版社，2004.
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）.