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数列求和问题在高中数学中比较常见,此类问题的命题形式有很多种,如求数列等的前 n 项和,一般可采用错位相减法、公式法、裂项求和法、分组求和法等来求解.当遇到与自然数幂相关的数列求和问题时,该如何求和呢?
如果数列的通项公式为,那么如何求这类与自然数幂相关的数列的和呢?我们不妨猜想它的表达式形式是这样的:,其中 C 和是待定的常数,那么该数列的 n -1项和为而,则,即.
这也就是说只要将数列的表达式转变为含有的形式即可.由于该式对于任意的自然数 n 都成立,考虑到,当 k >n 是均有,
显然这是一个递推公式,我们可以根据该递推公式求出所有的系数
由(4)可得出如下的结论.
結论:
证明:
可能有人会好奇,所有的推导都基于(1)式的猜想假说,怎么都没有证明这个猜想就直接得到最后的结论呢?这就是数学归纳法的“妙处”(4)式怎么得来的不重要,重要的是结论是否符合数学归纳法的流程.只要流程符合,那么该结论就成立.
例 1.
解:
解答本题主要运用了上述结论.而运用该结论求得的结果与现已知的公式是一致的.
例2.若数列的通项公式为,求该数列的前 n 项和.
在历史上求自然数幂次方和有很多方法,比如说利用伯努利数表示法,李善兰的乘方垛堆积术.但是这里给出的形式和推导过程无疑是比较简洁的.
例4.
解:
我们直接利用上述结论以及的具体表达式求得问题的答案,比采用常规方法求解便捷得多.
与自然数幂相关的数列求和问题较为复杂,且求解过程繁琐,运用上述结论,其中,来求解,便能快速、直接得出问题的答案.
(作者单位:浙江省宁波市咸祥中学)
如果数列的通项公式为,那么如何求这类与自然数幂相关的数列的和呢?我们不妨猜想它的表达式形式是这样的:,其中 C 和是待定的常数,那么该数列的 n -1项和为而,则,即.
这也就是说只要将数列的表达式转变为含有的形式即可.由于该式对于任意的自然数 n 都成立,考虑到,当 k >n 是均有,
显然这是一个递推公式,我们可以根据该递推公式求出所有的系数
由(4)可得出如下的结论.
結论:
证明:
可能有人会好奇,所有的推导都基于(1)式的猜想假说,怎么都没有证明这个猜想就直接得到最后的结论呢?这就是数学归纳法的“妙处”(4)式怎么得来的不重要,重要的是结论是否符合数学归纳法的流程.只要流程符合,那么该结论就成立.
例 1.
解:
解答本题主要运用了上述结论.而运用该结论求得的结果与现已知的公式是一致的.
例2.若数列的通项公式为,求该数列的前 n 项和.
在历史上求自然数幂次方和有很多方法,比如说利用伯努利数表示法,李善兰的乘方垛堆积术.但是这里给出的形式和推导过程无疑是比较简洁的.
例4.
解:
我们直接利用上述结论以及的具体表达式求得问题的答案,比采用常规方法求解便捷得多.
与自然数幂相关的数列求和问题较为复杂,且求解过程繁琐,运用上述结论,其中,来求解,便能快速、直接得出问题的答案.
(作者单位:浙江省宁波市咸祥中学)