湖南省凤凰县新场中学 湖南凤凰 416203
　　《数学通报》2003．12期数学问题1466为：
　　设M=52001+72002+92003+112004。求证M能被8整除。《数学通报》2004．1期，出题者在数学问题解答栏中，给出
　　了上述命的一种证法，但证法较繁。
　　《数学通报》2005．6期，常瑞连老师给出了数学问题1466的
　　两种简便证法。
　　本文将上述命题作如下引申：
　　设M=12m+1+32m+2+52m+3+72m+4+……+(2k1)2m+k
　　其中m∈N，K∈M+．
　　则M除以8的余数是：当k=4n时，余数是0；当k=4n+1时，
　　除数是1；当k=4n+2时，余数是2；当k=4n+3时，余数是7。(n∈N+)．
　　证明：将底数1，3，5，7…2k一1表示成8a+b(a∈N，0≤b
　　<8)的形成，并且将这个k个数按由小到大的次序每四个数为一
　　行，最后不足四数的排在最后一行。
　　(1)当k=4n时，2k18n1=8(n一1)+7
　　任取第L行（1≤L≤n）
　　［8(L1)+1］2m+4L3+［8(L1)+3］2m+4L2+［8(L1)+5］2m+4L1+［8(L1)+7］2m+4L
　　∵(8L1)+1≡1(mod8),8(L1)+3≡3(mod8)
　　8(L1)+5≡5(mod8),8(L1)+7≡7(mod8)
　　49≡1(mod8),25≡1(mod8),9≡1(mod8),
　　∴［8(L1)+1］2m+4L3≡1(mod8)
　　［8(L1)+3］2m+4L2≡32m+4L2≡9m+2L1≡1(mod8)
　　［8(L1)+5］2m+4L1≡52m+4L1≡52(m+2L1)+1≡5×25m+2L1≡5(mod8)
　　［8(L1)+7］2m+4L≡72m+4L≡49m+2L≡1(mod8)
　　∴［8(L1)+1］2m+4L3+［8(L1)+3］2m+4L2+［8(L1)+5］2m+4L1+［8(L1)+7］2m+4L≡8(mod8)
　　即第L行的四个数之和能被8整除。
　　又1≤L≤n
　　故当K=4n时，M能被8整除，也就是M除以8的余数是0。