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一、填空题
1．i是虚数单位，若复数z=1+bi1+i(b∈R)为纯虚数，则b= ．
2．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，
恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为．
3．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为．
4．从集合A={－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．
5．已知双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，则双曲线的渐近线方程为．
6．已知k∈Z,AB=(k,1),AC=(2,4)，若|AB|≤10,则△ABC是直角三角形时k值的个数是 ．
7．某商场元旦前30天某商品销售总量f(t)与时间t(0 8．函数y=x2(x>0)的图象在点(an,a2n)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1，n∈N*,若a1=16，则数列{an}的通项公式为．
9．已知实数a，b，c，d成等比数列，对于函数y=lnx－x，当x=b时取到极大值c，则ad等于．
10．设ω>0，函数y=sin(ωx+π3)的图像向右平移4π5个单位后与原图关于x轴对称，则ω的最小值是 ．
11．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1 13．已知实数a，b，c成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N（2，1），则线段MN长的取值范围是 ．
14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x， △CPD的面积为f(x)．则f(x)的最大值为．
二、解答题
15．已知f(x)=2cosx•sin(x+π6)+3sinx•cosx－sin2x，
（1）求函数y=f(x)的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足f(A)=2，而AB•AC=3，求边BC的最小值．
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
且AD//BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°. 若AB=BC=12AD．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．
17．已知等差数列an的公差为－1, 且a2+a7+a12=－6．
（1）求数列an的通项公式an与前n项和Sn；
（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项,记bn的前n项和为Tn, 若存在m∈N*, 使对任意n∈N总有Sn
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)经过点M(1,32),其离心率为12.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点. 求O到直线距离的l最小值.
19．如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠BAC＝30°，AC＝CD＝AD＝2．
（1）当点E，F分别是AD和BC的中点时，求线段EF的长；
（2）若点E是AD上的动点，F是四边形ABCD其它边上的动点，且EF恰好平分四边形ABCD的面积，求线段EF长的最小值．
20．已知函数f(x)=x2ln(ax)(a>0)．
（1）若f′(x)≤x2对任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数g(x)=f(x)x，若x1,x2∈(1e,1),x1+x2<1，求证x1x2<(x1+x2)4．
参考答案
一、填空题
1．－1
2．1个
3．23
4．29
5．y=±22x
6．3 7．19
8．25－n
9．－1
10．54
11．③④
12．4
13．14．22
二、解答题
15．解：（1）f(x)=2cosx(32sinx+12cosx)+3sinx•cosx－sin2x
=23sinx•cosx+cos2x－sin2x=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．
由2kπ－π2≤2x+π6≤2kπ+π2得kπ－π3≤x≤kπ+π6，
故所求单调递增区间为kπ－π3,kπ+π6(k∈Z)．
（2）由f(A)=2sin(2A+π6)=2,0 ∵AB•AC=3，即bccosA=3，∴bc=2．
又△ABC中，
a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－3bc≥2bc－3bc=(2－3)bc=(2－3)×2=4－23，∴amin=4－23=3－1．
16．（1）因为 ∠PAD=90°，所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，
而CD底面ABCD，所以PA⊥CD.
在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=12AD，
所以 AC=CD=22AD， 所以AC⊥CD.
又因为PA∩AC=A， 所以CD⊥平面PAC.
（2）设侧棱PD的中点为F， 连结BE，EF，FC，
则EF∥AD，且EF=12AD.
由已知∠ABC=∠BAD=90°，所以BC∥AD. 又BC=12AD，
所以BC∥EF. 且BC=EF.
所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF.
因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD.
17．(1) 由a2+a7+a12=－6得a7=－2，所以a1=4，∴ an=5－n， 从而 Sn=n(9－n)2，
(2)由题意知b1=4,b2=2,b3=1，设等比数列bn的公比为q，则q=b2b1=12，
∴Tm=41－(12)m1－12=81－(12)m，
∵(12)m随m递减，
∴Tm为递增数列，得4≤Tm<8．
又Sn=n(9－n)2=－12(n2－9n)=－12(n－92)2－814，故(Sn)max=S4=S5=10．
若存在m∈N*, 使对任意n∈N总有Sn2．
18．（1）由已知，e2=a2－b2a2=14，所以3a2=4b2， ①
又点M(1,32)在椭圆C上，所以1a2+94b2=1 ， ②
由①②解之，得a2=4,b2=3.
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2) 当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由y=kx+m,x24+y23=1.消去y得，(3+4k2)x2+8kmx+4m2－12=0，
Δ=64k2m2－4(3+4k2)(4m2－12)=48(3+4k2－m2)>0， ③
设A、B、P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，则：
x0=x1+x2=－8km3+4k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，
由于点P在椭圆C上，所以x204+y203=1 .
从而16k2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式.
又点O到直线l的距离为： d=|m|1+k2=34+k21+k2=1－14(1+k2)≥1－14=32
当且仅当k=0时等号成立．
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为(－2,0),(2,0)，直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1 ．
所以点O到直线l的距离最小值为32．
19．解（1）由题意可得BC＝1，AB＝3，△ACD为正三角形．当点E，F分别是AD和BC的中点时，如图所示，过F作AD的垂线，垂足为G，则FG＝AB＝3，EG＝AE－AG＝AE－BF＝12，在直角△EFG中，EF=3+14=132．
（2）①当F在CD上运动时，计算得△ABC的面积等于32，
△ACD的面积等于3，故四边形ABCD的面积为332，要使EF平分四边形ABCD，只要△DEF的面积等于334．
即S△DEF=12DE•DFsin60°=334，所以DE•DF=3．
∴由余弦定理EF2=DE2+DF2－2DE•DFcos60°
=DE2+DF2－DE•DF≥DE•DF=3．
当且仅当DE＝DF＝3时，线段EF的最小值为3．
②当F在BC上运动时，过F作AD的垂线，垂足为G，则FG＝AB＝3，要使EF平分四边形ABCD，只要直角梯形ABFE的面积等于334，即12(BF+AE)•3=334，∴BF＋AE＝32．
而EG＝AE－AG＝AE－BF，
∴EF2=3+(AE－BF)2=3+(AE+BF)2－4AE•BF
≥3+94－4(AE+BF2)2=3，当且仅当AE＝BF＝34时，线段EF的最小值为3．
③当F在AB上运动时，要使EF平分四边形ABCD，只要直角△AEF的面积等于334．即12AE•AF=334，∴AE•AF=332，
EF2=AE2+AF2≥2AE•AF=33>3．（舍去）
综上所述，EF的最小值为3．
20．（1）f′(x)=2xln(ax)+x，f′(x)=2xln(ax)+x≤x2，即2lnax+1≤x在x>0上恒成立．
设u(x)=2lnax+1－x，
u'(x)=2x－1=0,x=2，x>2时，单调减，x<2单调增，
所以x=2时，u(x)有最大值u(2)，u(2)≤0,2ln2a+1≤2，所以0 （2）当a=1时，g(x)=f(x)x=xlnx,
g(x)=1+lnx=0,x=1e,所以在(1e,+∞)上g(x)是增函数，(0,1e)上是减函数．
因为1eg(x1)=x1lnx1，
即lnx1 所以lnx1+lnx2<(x1+x2x2+x1+x2x1)ln(x1+x2)=(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)，
又因为2+x1x2+x2x1≥4,当且仅当“x1=x2”时，取等号．
又x1,x2∈(1e,1),x1+x2<1，ln(x1+x2)<0，所以(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)．
所以lnx1+lnx2<4ln(x1+x2)．
所以：x1x2<(x1+x2)4．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1．i是虚数单位，若复数z=1+bi1+i(b∈R)为纯虚数，则b= ．
2．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，
恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为．
3．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为．
4．从集合A={－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．
5．已知双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，则双曲线的渐近线方程为．
6．已知k∈Z,AB=(k,1),AC=(2,4)，若|AB|≤10,则△ABC是直角三角形时k值的个数是 ．
7．某商场元旦前30天某商品销售总量f(t)与时间t(0
9．已知实数a，b，c，d成等比数列，对于函数y=lnx－x，当x=b时取到极大值c，则ad等于．
10．设ω>0，函数y=sin(ωx+π3)的图像向右平移4π5个单位后与原图关于x轴对称，则ω的最小值是 ．
11．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1
14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x， △CPD的面积为f(x)．则f(x)的最大值为．
二、解答题
15．已知f(x)=2cosx•sin(x+π6)+3sinx•cosx－sin2x，
（1）求函数y=f(x)的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足f(A)=2，而AB•AC=3，求边BC的最小值．
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
且AD//BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°. 若AB=BC=12AD．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．
17．已知等差数列an的公差为－1, 且a2+a7+a12=－6．
（1）求数列an的通项公式an与前n项和Sn；
（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项,记bn的前n项和为Tn, 若存在m∈N*, 使对任意n∈N总有Sn
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)经过点M(1,32),其离心率为12.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点. 求O到直线距离的l最小值.
19．如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠BAC＝30°，AC＝CD＝AD＝2．
（1）当点E，F分别是AD和BC的中点时，求线段EF的长；
（2）若点E是AD上的动点，F是四边形ABCD其它边上的动点，且EF恰好平分四边形ABCD的面积，求线段EF长的最小值．
20．已知函数f(x)=x2ln(ax)(a>0)．
（1）若f′(x)≤x2对任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数g(x)=f(x)x，若x1,x2∈(1e,1),x1+x2<1，求证x1x2<(x1+x2)4．
参考答案
一、填空题
1．－1
2．1个
3．23
4．29
5．y=±22x
6．3 7．19
8．25－n
9．－1
10．54
11．③④
12．4
13．14．22
二、解答题
15．解：（1）f(x)=2cosx(32sinx+12cosx)+3sinx•cosx－sin2x
=23sinx•cosx+cos2x－sin2x=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．
由2kπ－π2≤2x+π6≤2kπ+π2得kπ－π3≤x≤kπ+π6，
故所求单调递增区间为kπ－π3,kπ+π6(k∈Z)．
（2）由f(A)=2sin(2A+π6)=2,0
又△ABC中，
a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－3bc≥2bc－3bc=(2－3)bc=(2－3)×2=4－23，∴amin=4－23=3－1．
16．（1）因为 ∠PAD=90°，所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，
而CD底面ABCD，所以PA⊥CD.
在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=12AD，
所以 AC=CD=22AD， 所以AC⊥CD.
又因为PA∩AC=A， 所以CD⊥平面PAC.
（2）设侧棱PD的中点为F， 连结BE，EF，FC，
则EF∥AD，且EF=12AD.
由已知∠ABC=∠BAD=90°，所以BC∥AD. 又BC=12AD，
所以BC∥EF. 且BC=EF.
所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF.
因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD.
17．(1) 由a2+a7+a12=－6得a7=－2，所以a1=4，∴ an=5－n， 从而 Sn=n(9－n)2，
(2)由题意知b1=4,b2=2,b3=1，设等比数列bn的公比为q，则q=b2b1=12，
∴Tm=41－(12)m1－12=81－(12)m，
∵(12)m随m递减，
∴Tm为递增数列，得4≤Tm<8．
又Sn=n(9－n)2=－12(n2－9n)=－12(n－92)2－814，故(Sn)max=S4=S5=10．
若存在m∈N*, 使对任意n∈N总有Sn
18．（1）由已知，e2=a2－b2a2=14，所以3a2=4b2， ①
又点M(1,32)在椭圆C上，所以1a2+94b2=1 ， ②
由①②解之，得a2=4,b2=3.
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2) 当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由y=kx+m,x24+y23=1.消去y得，(3+4k2)x2+8kmx+4m2－12=0，
Δ=64k2m2－4(3+4k2)(4m2－12)=48(3+4k2－m2)>0， ③
设A、B、P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，则：
x0=x1+x2=－8km3+4k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，
由于点P在椭圆C上，所以x204+y203=1 .
从而16k2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式.
又点O到直线l的距离为： d=|m|1+k2=34+k21+k2=1－14(1+k2)≥1－14=32
当且仅当k=0时等号成立．
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为(－2,0),(2,0)，直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1 ．
所以点O到直线l的距离最小值为32．
19．解（1）由题意可得BC＝1，AB＝3，△ACD为正三角形．当点E，F分别是AD和BC的中点时，如图所示，过F作AD的垂线，垂足为G，则FG＝AB＝3，EG＝AE－AG＝AE－BF＝12，在直角△EFG中，EF=3+14=132．
（2）①当F在CD上运动时，计算得△ABC的面积等于32，
△ACD的面积等于3，故四边形ABCD的面积为332，要使EF平分四边形ABCD，只要△DEF的面积等于334．
即S△DEF=12DE•DFsin60°=334，所以DE•DF=3．
∴由余弦定理EF2=DE2+DF2－2DE•DFcos60°
=DE2+DF2－DE•DF≥DE•DF=3．
当且仅当DE＝DF＝3时，线段EF的最小值为3．
②当F在BC上运动时，过F作AD的垂线，垂足为G，则FG＝AB＝3，要使EF平分四边形ABCD，只要直角梯形ABFE的面积等于334，即12(BF+AE)•3=334，∴BF＋AE＝32．
而EG＝AE－AG＝AE－BF，
∴EF2=3+(AE－BF)2=3+(AE+BF)2－4AE•BF
≥3+94－4(AE+BF2)2=3，当且仅当AE＝BF＝34时，线段EF的最小值为3．
③当F在AB上运动时，要使EF平分四边形ABCD，只要直角△AEF的面积等于334．即12AE•AF=334，∴AE•AF=332，
EF2=AE2+AF2≥2AE•AF=33>3．（舍去）
综上所述，EF的最小值为3．
20．（1）f′(x)=2xln(ax)+x，f′(x)=2xln(ax)+x≤x2，即2lnax+1≤x在x>0上恒成立．
设u(x)=2lnax+1－x，
u'(x)=2x－1=0,x=2，x>2时，单调减，x<2单调增，
所以x=2时，u(x)有最大值u(2)，u(2)≤0,2ln2a+1≤2，所以0
g(x)=1+lnx=0,x=1e,所以在(1e,+∞)上g(x)是增函数，(0,1e)上是减函数．
因为1e
即lnx1
又因为2+x1x2+x2x1≥4,当且仅当“x1=x2”时，取等号．
又x1,x2∈(1e,1),x1+x2<1，ln(x1+x2)<0，所以(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)．
所以lnx1+lnx2<4ln(x1+x2)．
所以：x1x2<(x1+x2)4．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文