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【摘 要】 转化思维是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是数学问题解决的基本思想方法之一。数学都离不开转化，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，都是转化思想的具体体现。本文通过具体例子介绍转化思想的几种基本类型在数学解题中的体现与应用。
【关键词】 数学思想方法 转化原则 转化方法
1 引言
著名数学家玻利亚说：“解决数学问题的关键在于转化。”人们在学习数学、解决问题的过程中常常会遇到一些比较复杂的、陌生的或非标准的问题，这些问题往往不易直接得到它的解答，因而采用“迂回的战术”——即对于复杂的、陌生的或非标准的问题，通过变形促使问题不断转化，最后，将它转化为较为简单的、熟悉的或标准的，已经解决的问题或容易解决的问题，转化思维就是我们数学问题的解决过程中的一种最基本的数学思维方式。在中学数学中运用转化思想分析和解决问题的范例几乎处处可见。比如在解不等式时，通常都是将“不等式”转化为“函数、方程”，“正面”转化为“反面”，“一般”转化为“特殊”，通过数形结合在解析几何中将几何问题转化为代数问题等。
2 转化思维的含义
所谓的转化思维，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
3 几种常见的转化思维形式的应用
3.1 抓住数与式的辩证关系，实现数与式的转化。
例：若（■+■x）30=a0+a1x+a2x2+…+a30x30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2的值。
分析：如果用常规的解题办法，本题展开式中的各项含有无理数，使运算量增加了难度。但所求的与x没有关系，x取值不影响计算的结果，不妨把x转化为常数，使问题简单化。
解：∵所给的式中x∈R，∴可令x=1，得a0+a1+a2+…+a30=（■+■）30，又可令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a30=（■-■）30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2=（a0+a2+a4+…a30+a1+a3+a5+…+a29）×（a0+a2+a4+…+a30-a1-a3-a5-…-a29）=（■+■）30×（■-■）30=1
数是最特殊、最简单的式，式是满足一定条件的数的集合。对于某些有关一般值都成立的问题，用特殊值探路，数式的互相转化，有利于问题的解决。
3.2 运用函数思想，实现方程、不等式、函数之间的相互转化。
例：已知方程2cos2x-4cosx-3+2a=0有解，求a的取值范围。
分析：这是一个讨论含参数的三角函数有解的问题，求参数的取值范围，用常规的解题办法，求解过程繁琐，如果能把方程变成三角函数求最值的问题，就能使问题化难为简。
解：将方程转化为a=2cosx-cos2x+■，即a=-cos2x+2cosx+■=-2（cosx-■）2+3，又因为cosx∈[-1，1]，所以-2（cosx-■）2+3∈[-■，3]，即a的取值范围是[-■，3]。
方程、不等式、函数三者从表面上看是互不相同的，但在函数思想下又是紧密联系在一起的。解有关问题时，如能抓住这种内在联系，相互转化，便可立即突破。
3.3 运用逆向思维，实现正反相互转化。
例：若三个方程：x2+4kx-4k+3=0，x2+（k-1）x+k2=0，x2+2kx-2k=0，至少有一个方程有实数解，试求k的取值范围。
分析：从正面考虑需要分类讨论，分类情况复杂，计算量大，容易出错。但从反面思考，先求出三个方程全无实根时k的范围，则至少一个实根的充要条件即为全无实根，求k的范围的补集。
解：三个方程全无实根的条件为（4k）2-4（-4k+3）<0；（k-1）2-4k2<0；4k2-4（-2k）<0；同时成立的解集为：k∈（-■，-1），则k的补集为（-∞，-■]∪[-1，+∞），即原题的k∈（-∞，-■]∪[-1，+∞）。
在数学问题中时常会遇到像这样的有关于“至多”、“至少”的问题，如果从正面入手，求解难度大，考虑的方面不全，甚至无从下手。如果从反面思考，便容易解决了。
3.4 借助数与形之间的关系，实现代数与几何之间相互转化。
例：已知x、y∈R，满足x2+y2-4x-2y+1=0，求x+2y的最值。
分析：如果用代数的办法，很难从方程中将x、y的范围找出来，求x+2y的最值就比较困难，但把这个代数问题转化为几何问题，即可直观的解出。
解：原方程变形为（x-2）2+（y-1）2=4，令m=x+2y，即有方程x+2y-m=0表示一族平行直线，而m表示直线在X轴上的截距，且当直线在x轴上的截距取得最值时，x+2y取得最值。
如图：当直线与圆相切时，直线在x轴上的截距分别取得最大值与最小值，即■=2，解得m=4+2■或m=4-2■。故x+2y的最大值是4+2■，最小值4-2■。
运用代数法、解析法，把几何问题代数化；运用图形法、图像法把代数问题几何化，实现数与形的相互转化，使许多难解的几何问题或代数问题，变得简单易解。
2.5 运用代入消元或代换减元的方法，实现多元变式向一元变式转化。
例：已知x、y∈R，满足3x2+2y2=2x，求2x2+y2的取值范围。
分析：2x2+y2是一个二元二次式，从我们学过的知识中是无法解答的。但如果由已知条件中的两元关系，对所求算式进行代换使其变成一个可以计算的问题。
解：∵3x2+2y2=2x，∴2y2=2x-3x2，则有2x2+y2=■x2+x=■（x+1）2，∵y2≥0，∴x-■x2≥0，∴0≤x≤■，又∵f（x）=■（x+1）2-■在区间[0，■]上单调递增，∴f（0）≤f（x），即0≤2x2+y2≤■。
代入消元或代换减元就是将复杂问题转化为简单问题，将原问题中比较复杂的形式，关系结构，通过转化，将其变为比较简单的形式，关系结构，便于计算。
3.6 运用化归法，实现一般和特殊的相互转化。
例：已知函数f（x）=■，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（■）+f（■）+f（■）的值。
分析：直接求出各函数值，再求和，是可以求出结果的，但运算量较大，还容易出错，如果注意到所求代数式的特点，应考虑一般结论：f（x）+f（■）=？
解：∵f（x）+f（■）=■+■=■+■=1 ∴所求=f（1）+[f（2）+f（■）]+[f（3）+f（■）]+[f（4）+f（■）]=■
像这样带有一般性的数学问题，如能恰当地运用化归法，由一般到特殊或由特殊到一般相互转化，便能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
4 转化思维应用中要注意的问题
问题转化是解题的主体，是为克服解题障碍，顺利获得问题答案而采取的一种思维和操作策略。因而在应用转化思维解决问题时，必须注意：①使转化后的问题与原问题在一定条件下具有相同的结果。②转化思维是一种有目的的行为，不能盲目进行。转化是手段，而不是目的，不能为转化而转化。③转化后的新问题应比原问题更容易、更简单，否则转化将失去意义。④对解题者来说，转化后的新问题应是一个熟悉的问题，这样才有利于解题者提取已有的知识和经验作用于当前的问题。
总之，转化思想方法是数学学习中最重要的思维方法，数学知识的掌握某种意义上说就是由新知向旧知化归与转化的过程。学会了转化就等于掌握了数学学习的主动权。
参考文献
1 中学数学教学教.北京：科学出版社
2 罗增儒.数学竞赛导论[H].陕西师范大学出版社
3 高中数学解题方法与技巧.北京教育出版社
【关键词】 数学思想方法 转化原则 转化方法
1 引言
著名数学家玻利亚说：“解决数学问题的关键在于转化。”人们在学习数学、解决问题的过程中常常会遇到一些比较复杂的、陌生的或非标准的问题，这些问题往往不易直接得到它的解答，因而采用“迂回的战术”——即对于复杂的、陌生的或非标准的问题，通过变形促使问题不断转化，最后，将它转化为较为简单的、熟悉的或标准的，已经解决的问题或容易解决的问题，转化思维就是我们数学问题的解决过程中的一种最基本的数学思维方式。在中学数学中运用转化思想分析和解决问题的范例几乎处处可见。比如在解不等式时，通常都是将“不等式”转化为“函数、方程”，“正面”转化为“反面”，“一般”转化为“特殊”，通过数形结合在解析几何中将几何问题转化为代数问题等。
2 转化思维的含义
所谓的转化思维，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
3 几种常见的转化思维形式的应用
3.1 抓住数与式的辩证关系，实现数与式的转化。
例：若（■+■x）30=a0+a1x+a2x2+…+a30x30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2的值。
分析：如果用常规的解题办法，本题展开式中的各项含有无理数，使运算量增加了难度。但所求的与x没有关系，x取值不影响计算的结果，不妨把x转化为常数，使问题简单化。
解：∵所给的式中x∈R，∴可令x=1，得a0+a1+a2+…+a30=（■+■）30，又可令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a30=（■-■）30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2=（a0+a2+a4+…a30+a1+a3+a5+…+a29）×（a0+a2+a4+…+a30-a1-a3-a5-…-a29）=（■+■）30×（■-■）30=1
数是最特殊、最简单的式，式是满足一定条件的数的集合。对于某些有关一般值都成立的问题，用特殊值探路，数式的互相转化，有利于问题的解决。
3.2 运用函数思想，实现方程、不等式、函数之间的相互转化。
例：已知方程2cos2x-4cosx-3+2a=0有解，求a的取值范围。
分析：这是一个讨论含参数的三角函数有解的问题，求参数的取值范围，用常规的解题办法，求解过程繁琐，如果能把方程变成三角函数求最值的问题，就能使问题化难为简。
解：将方程转化为a=2cosx-cos2x+■，即a=-cos2x+2cosx+■=-2（cosx-■）2+3，又因为cosx∈[-1，1]，所以-2（cosx-■）2+3∈[-■，3]，即a的取值范围是[-■，3]。
方程、不等式、函数三者从表面上看是互不相同的，但在函数思想下又是紧密联系在一起的。解有关问题时，如能抓住这种内在联系，相互转化，便可立即突破。
3.3 运用逆向思维，实现正反相互转化。
例：若三个方程：x2+4kx-4k+3=0，x2+（k-1）x+k2=0，x2+2kx-2k=0，至少有一个方程有实数解，试求k的取值范围。
分析：从正面考虑需要分类讨论，分类情况复杂，计算量大，容易出错。但从反面思考，先求出三个方程全无实根时k的范围，则至少一个实根的充要条件即为全无实根，求k的范围的补集。
解：三个方程全无实根的条件为（4k）2-4（-4k+3）<0；（k-1）2-4k2<0；4k2-4（-2k）<0；同时成立的解集为：k∈（-■，-1），则k的补集为（-∞，-■]∪[-1，+∞），即原题的k∈（-∞，-■]∪[-1，+∞）。
在数学问题中时常会遇到像这样的有关于“至多”、“至少”的问题，如果从正面入手，求解难度大，考虑的方面不全，甚至无从下手。如果从反面思考，便容易解决了。
3.4 借助数与形之间的关系，实现代数与几何之间相互转化。
例：已知x、y∈R，满足x2+y2-4x-2y+1=0，求x+2y的最值。
分析：如果用代数的办法，很难从方程中将x、y的范围找出来，求x+2y的最值就比较困难，但把这个代数问题转化为几何问题，即可直观的解出。
解：原方程变形为（x-2）2+（y-1）2=4，令m=x+2y，即有方程x+2y-m=0表示一族平行直线，而m表示直线在X轴上的截距，且当直线在x轴上的截距取得最值时，x+2y取得最值。
如图：当直线与圆相切时，直线在x轴上的截距分别取得最大值与最小值，即■=2，解得m=4+2■或m=4-2■。故x+2y的最大值是4+2■，最小值4-2■。
运用代数法、解析法，把几何问题代数化；运用图形法、图像法把代数问题几何化，实现数与形的相互转化，使许多难解的几何问题或代数问题，变得简单易解。
2.5 运用代入消元或代换减元的方法，实现多元变式向一元变式转化。
例：已知x、y∈R，满足3x2+2y2=2x，求2x2+y2的取值范围。
分析：2x2+y2是一个二元二次式，从我们学过的知识中是无法解答的。但如果由已知条件中的两元关系，对所求算式进行代换使其变成一个可以计算的问题。
解：∵3x2+2y2=2x，∴2y2=2x-3x2，则有2x2+y2=■x2+x=■（x+1）2，∵y2≥0，∴x-■x2≥0，∴0≤x≤■，又∵f（x）=■（x+1）2-■在区间[0，■]上单调递增，∴f（0）≤f（x），即0≤2x2+y2≤■。
代入消元或代换减元就是将复杂问题转化为简单问题，将原问题中比较复杂的形式，关系结构，通过转化，将其变为比较简单的形式，关系结构，便于计算。
3.6 运用化归法，实现一般和特殊的相互转化。
例：已知函数f（x）=■，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（■）+f（■）+f（■）的值。
分析：直接求出各函数值，再求和，是可以求出结果的，但运算量较大，还容易出错，如果注意到所求代数式的特点，应考虑一般结论：f（x）+f（■）=？
解：∵f（x）+f（■）=■+■=■+■=1 ∴所求=f（1）+[f（2）+f（■）]+[f（3）+f（■）]+[f（4）+f（■）]=■
像这样带有一般性的数学问题，如能恰当地运用化归法，由一般到特殊或由特殊到一般相互转化，便能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
4 转化思维应用中要注意的问题
问题转化是解题的主体，是为克服解题障碍，顺利获得问题答案而采取的一种思维和操作策略。因而在应用转化思维解决问题时，必须注意：①使转化后的问题与原问题在一定条件下具有相同的结果。②转化思维是一种有目的的行为，不能盲目进行。转化是手段，而不是目的，不能为转化而转化。③转化后的新问题应比原问题更容易、更简单，否则转化将失去意义。④对解题者来说，转化后的新问题应是一个熟悉的问题，这样才有利于解题者提取已有的知识和经验作用于当前的问题。
总之，转化思想方法是数学学习中最重要的思维方法，数学知识的掌握某种意义上说就是由新知向旧知化归与转化的过程。学会了转化就等于掌握了数学学习的主动权。
参考文献
1 中学数学教学教.北京：科学出版社
2 罗增儒.数学竞赛导论[H].陕西师范大学出版社
3 高中数学解题方法与技巧.北京教育出版社