向量是高中新教材中的新增内容，它融数形示一体，具有代数与几何的双重身份。向量也可以作为解题工具，在很多数学问题中，往往具有魔鬼般的功能。下面主要从几个方面加以阐述。
　　一、向量与代数的整合
　　许多代数式问题中，当它的条件满足一些关系式时，可利用关系式设相应的向量，利用向量的特有性质，求代数式的值及最值。利用向量解决此类问题，通常需要下列三个步骤：
　　（１）把已知条件转化为与向量相关的量，构造相关的向量。（２）通过向量进行运算，通常是向量的模、向量的数量积、夹角的余弦值、向量共线等相关的运算。（３）再把所求的值转化为代数式的值。
　　例１.设a、b、c、，x、y、z均为实数，且a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=30，求的值。
　　分析：由已知条件联想到向量的有关问题，若设=（a，b，c）， =（x，y，z），则＝，＝，•=ax+by+cz，从而解决所求问题。
　　解：构造向量=（a，b，c），=（x，y，z），由已知得：＝5，＝６，即•=30，∴与同向，设=（＞0）则==，所以=， a=x，b=y，c=z，故=。
　　评注：本题主要是针对，＝，•=ax+by+cz，通过已知条件与向量的联系，使得代数式的运算简单化，把已知中的代数式转化为与向量有关的问题，
　　二、向量与不等式的整合
　　在不等式中，当已知条件满足向量的条件时，就可以把不等式的有关问题转化为向量问题。常利用向量的模、数量积、夹角的范围求证不等式。
　　例2.如图，设动点p在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上.记=，当∠APC为钝角时，求入的取值范围。
　　分析：本题是典型的利用空间向量解决立体几何问题，首先考虑建立恰当的直角坐标系，把已知条件转化为两个向量共线问题及两个向量的夹角问题，即利用，的夹角为钝角及它的余弦值小于零解决问题。
　　解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）
　　∴＝（１，１，－１），由得=＝（，，－）
　　∴＝＋＝（１-，－，-１），＝＋＝（－，１－，-１）
　　∵∠ＡＰＣ為钝角，cos＜，＞＝＝＜０
　　∴（－１）（３－１）＜０ 解得＜＜１
　　∴的取值范围是（，１）。
　　评注：向量在立体几何中用得非常广，例如：求两条直线之间的距离、点到直线的距离、点到平面距离、直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角等。
　　三、向量与三角函数的整合
　　 近几年来，向量与三角函数、斜三角形的整合是一个主要考点，往往都是以大题的方式出现，常要求求函数的周期、单调区间、最值、角的大小、角所对的边长等。
　　 例3.已知=（2sinx，cosx），=（cosx，2cosx），设函数f（x）=•－（x∈R）。
　　求：（１）f（x）的单调区间。
　　（２）若f（-）-f（+）且?琢∈（，π），求角?琢。
　　分析：本题即是向量与三角函数的综合型题目，通常是通过向量的运算法则，把函数转化为f（x）=Asin（?棕x+?准）+B类型，通过三角函数的性质解题。
　　解：（１）由－＋２kπ≤2x+≤2kπ得-+kπ≤x≤+kπ∴f（x）的单调增区间为［-+kπ，+kπ］（k∈z）
　　同理：f（x）的单调减区间为［+kπ，+kπ］（k∈z）
　　（2）由f（-）-f（+）得：2sin?琢-2cos?琢=即sin（?琢-）=
　　又∴?琢∈（，π）∴（?琢－）∈（，）∴?琢＝或＝
　　评注：向量在数学中的应用特别多，充分应用向量是我们数学中解题的一大技巧。
　　（贵州道真县道真中学；563500）
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文