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摘 要：
经验的外显化与表达有助于学习的深度展开。无论是学习理论的研究成果、教学内容的适切程度，还是小学生思维发展的基本规律，在体验学习的过程中让学生的个体经验充分表达，通过辨析比较促进经验的转换、重构，从而实现对概念意义的生成，是数学基本概念教学的原生态样式。
关键词：经验表达 经验重构 概念生成
几年前，基于对“面积”概念的溯本求源的数学思考，我设计并执教了从“点”平移成“线”，从“线”平移成“面”的《面积的意义》一课，并撰写了一篇文章《课堂教学可以“原生态”——以“面积的意义”教学为例》，发表于《人民教育》（2013年第3～4期）。当时，认识“面积”这一概念的教学过程如下：
【片段1】
演示移“点”成“线”
师 第三单元我们曾经学过平移与旋转，请大家用动作比画一下什么是平移，什么是旋转。（学生用手势表示平移和旋转。）
师 大家用两个简单的动作就把不同数学概念的意思表达出来了，真不简单！请看这个方格图，（出示挂图，用红粉笔在图1上点一个点）图中有一个小红点，请你将这个红点向上平移10厘米。
（学生在图中点出平移后的小红点，见图2。）
师 画出这个小红点平移的路线，我们能得到什么呢？
生 小红点平移的路线是一条10厘米长的线段。
（学生画出线段，见图3。）
师 “点”的平移形成一条线。
（板书：线。）
【片段2】 平移“线段”形成“面”
师 我们再将这根线段向右平移20厘米，这根线段移到了什么位置呢？（学生示意）“线段”平移时就像一把刷子慢慢往右边刷过去，想一想，被“刷”过的部分是什么样子？
生 应该是个长方形。
（教师拿出一把10厘米宽的排刷，从左到右在方格图上“刷”出一个长方形，见图4。）
师 线段的“平移”就形成了一个长方形的“面”。
（板书：面）
你能在这个方格图上“刷”一个比这个长方形小的面吗？再“刷”一个比这个长方形大的面。
（学生用刷子分别刷出一个2格的小长方形和一个12格的大长方形，见图5。）
师 这两个大小不同的长方形的“面”，分别可以看成是哪条线段平移“刷”出来的呢？
（学生在小组交流中指出，长方形的“面”分别是其中一条长或宽“平移”而成的。）
【片段3】
揭示“面积”的意义
师 （指着图5）我们在方格图上刷出了三个长方形的面，为了便于比较，给它们分别编个号吧，（在图上分别添加1、2、3，见图6）现在你看出哪个面最大，哪个面最小了吗？
生 3号长方形的面最大，1号长方形的面最小。
师 看来“面”是有大有小的。对照图形，你能描述一下这三个长方形的面各有多大吗？
生 1号长方形的面占了2个方格，2号长方形的面占了8个方格，3号长方形的面占了12个方格。
师 每一个“面”自身的大小，在数学上就叫作它的面积。今天，我们大家一起研究“面积”。
（板书：面积——“面”自身的大小。）
今年又任教三年级，再遇“面积的意义”的教学，头脑中不断“反刍”几年前的实践，隐隐感到这样的教学设计与实施在追求课堂“数学味”
方面似乎有点过于简单化了。
一是学生没有积极的认知需求，课堂初始也不明晰认知的目标与方向，教学在教师的“导演”中顺利进行，但是否真正发生了有意义的深度学习值得考量。奥苏伯尔所说的有意义的学习必须具备三个条件：学习材料本身必須有逻辑意义、学习者必须具备有意义学习的心向、学习者认知结构中必须具有同化新知识的原有的适当观念。所谓“有意义学习的心向”，即学习者有积极的学科情感，学习活动有问题驱动、有目标动机、有探究兴趣。积极的学科情感能够促进高水平认知活动的开展。布卢姆曾经提出这样一个鲜明的比喻：一个人用两个并排的梯子爬墙，一个梯子代表认知行为和认知目标，另一个梯子代表情感行为和情感目标，两个梯子中间的每一级是交替间隔排列的，通过交替攀登这两个梯子——从这个梯子的一级踏到另一个梯子上的一级——就有可能达到某些复杂的目的。这个比喻形象诠释了“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。在上述教学过程中，数学本质的演绎是教师演示给学生的，是被动接纳、吸收的过程，学生是概念联系与意义的“顺从者”，而不是真正的“发现者”。
二是数学课堂的“数学味”应体现在学生基于生活的数学感悟与数学思维的意识、过程与方式中，概念意义的理解与应用是
学生由“迷思概念”向着概念的数学本质“奔跑”的过程。引导学生理解与掌握数学概念，不应简单地变为在课堂中对概念本质进行“数学解剖”，使之在高诱导性、纯数学化的教学过程中实现对概念的内涵与外延的认知记忆与高仿性表达——看似知识之间的联系打通了，数学本质凸显了，但概念意义没有附着于现实的情境，概念的生成与生长缺少现实的“根”，数学与现实之间的“脉”断了。
在上述课例中，从“点”平移成“线”、从“线”平移成“面”是概念联系活生生的“解剖”，学生观察、接纳了这样一个过程，感知了数学的“面”是如何演绎生成的，但其自身的认知系统中可能并未真正积淀“面”概念数学表征逐步抽象的经验。有生命力的知识应该是基于学生经验的，应该是能够被充分体验感知的，正如杜威所论述的那样，知识是经验的再建与重组。
基于这样的反思，我又重构了这节课，其中认识“面积”这一概念的教学实录如下：
【片段4】
揭示课题，联系生活，生成问题
师 大家听说过“面积”吗？（板书课题：面积的意义）回忆一下，你在哪儿或什么时候听说过这个词？（指“面积”）说说你对这个数学词汇的理解。你有什么问题想提出来和全班同学一起研究的？ 生 爸爸妈妈在家里讨论买房子时说到“面积”这个词。
师 你能说说这个词是什么意思吗？你有什么疑问？
生 我想房子的“面积”可能说的是房子有多大。我想问的问题是：面积怎样算？
（板书：面积怎样算？）
生 学校“共生园”里有块牌子，介绍了“共生园的面积是480平方米，种植了20多种植物”，“面积”的意思是说“共生园”有多大。我的问题是：面积从哪儿来的？
师 真善于观察，提出了好问题！不过我把你的问题稍微改了改，（板书：“面”从哪儿来的？）为什么这样改？等这节课上完你就会明白了。
生 图形都有周长和面积，周长是图形四周边长的总和，那面积是什么？周长与面积有关系吗？
（板书：面积是什么？周长与面积有关系吗？）
生 品德与社会教材上介绍我国的国土面积是960万平方千米，指的是中国国土有多大，我想问的问题是：平方千米是面积的单位吗？面积还有哪些单位？
（板书：面积有哪些单位？）
师 刚才四位同学开了个好头，介绍了在哪儿见过、听过“面积”这个数学词汇，陈述了自己对面积的理解，提出了一些很有价值的数学问题。我们本节课先重点研究
“什么是面积”“怎么比较面积”和“面从哪儿来的”
这三个问题，（板书“怎么比较面积”）其余的问题留待后面几节课继续研究。让我们带着这些问题进入我们今天的数学学习旅程！
【片段5】
操作体验，表达辨析，认识“面积”
1.摸一摸，画一画。
出示活动要求：（1）拿出数学书，摸一摸数学书的封面，用自己的手掌把数学书的封面摸遍。（2）用示意图画出你摸到的数学书的封面。学生活动，教師巡视、选择教学素材。
2.比一比，辩一辩。
（教师出示学生画出的封面，如图7、图8。）
师 这里有两位同学的作品，你认为哪一幅示意图比较明确地画出了刚才我们手掌摸到的部分
？说一说你的理由。
生 我觉得第二幅图能真正表示出我们手掌摸到的部分。第一幅图只画了个框框，我们的手掌也摸遍了框框里面那一块，第一幅图没有表示出来。第二幅图把中间部分涂满了阴影，表示我们把书面全摸到了。
生 第一幅图只画出了数学书封面的周长，第二幅图画出了数学书整个封面的面积。
生 我觉得她说得不准确。第一幅图画的不是封面的周长，是画的封面的四条边，周长是四条边的总长度。第二幅图画的也不是封面的面积，是画的整个封面部分，也就是我们刚才手掌碰到的部分。
师 你说得太精彩了。第一幅图表示出了封面的四条边，第二幅图表示出了封面的“面”。（板书：面）我们的身边有很多“面”，比如课桌的桌“面”、学具盒的盒盖“面”、黑板的“面”等等。用你的手掌轻轻摸一摸课桌的桌“面”，边摸边想该用上面哪一幅示意图来表示你摸到的桌“面”。
（学生摸桌面，再次体验什么是“面”。）
3.涂一涂，说一说。
师 周长与边意义不同，面和面积意义也不同。周长是计量边的总长度的量，那面积又是计量什么的呢？先来进行一项小比赛，比赛后再来探讨这个问题。
（明确活动要求：用水彩笔涂出图形的“面”，男同学涂图9中的①号图形——小长方形，女同学涂图10中的②号图形——大正方形，同时开始，看谁涂得快，涂好的同学立即举手，没涂满整个图形“面”的不算完成任务。学生在教师的统一指令后开始填涂，教师巡视。）
师 为什么男生普遍比女生涂得快？
生 男生涂的小长方形的“面”小，女生涂的大正方形的“面”大。
生 男生只要涂满3个小方格，女生要涂满9个小方格，女生涂的方格数是男生涂的3倍。
师 小长方形的面包含了3个小方格，大正方形的面包含了9个小方格，面有大有小，不同的面大小不同，每一个面自身的大小就是它的面积。（板书：“面”自身的大小）所以，“面积”是计量面自身大小的量。
重构后的“面积”概念的教学，“数学味”似乎淡了许多，课堂也是典型的原生状态，没有热闹的场景，但关于“面”概念的表征平中蕴奇，用问题驱动的方式、经验表达与重构的体验学习技术促进了概念意义的建构。
首先，学贵有疑，兴趣始于疑问，有疑问就有动力、有目标。课始，学生基于自己的耳闻目睹，在特定的生活情境中，对面积的含义做了个性化的粗略描述，也提出了自己想要解决的问题，如“面积是什么”“面从哪儿来”。这些问题不仅是学生的自身问题，也是学科的基本问题，更是本课需要理解与掌握的核心问题。这种基于问题驱动的教学方式，既能充分激发学生的探究欲望，也指明了本课的认知目标，同时能对后续学习发挥维持、组织与定向的功效，促进深度学习的发生。
其次，“摸—画—辩—摸”的学习过程，让学生经历了“具体体验—反思观察—抽象概括—行动应用”这样一个完整的概念意义生成的四个环节，促进学生建构科学、清晰的“面”概念的心理表象。第一次摸书封面，勾起了学生对已有的个体生活经验的捡拾回忆与组合，形成一个整体的、个性化的概念表象；用画的方式让学生对自己的经验进行自我观察与内省，经验的外显化才能真正发现“迷思概念”和零碎观念；借助于师生、生生之间的互动交流，通过深刻的比较、辨析与逐步的抽象、概括，学生不断修正与改组“迷思概念”，重构个体经验，促成经验的持续转换，生成建构出科学概念的图式，明晰概念的本质要义；再摸课桌面，包括后续涂图形的面，既是对科学概念心理表象的强化，又是概念外延的扩大，促进学生运用概念来积极主动地操控外部客观世界。
经验的外显化与表达有助于学习的深度展开，这一观念是维果斯基首先提出的。美国学者布兰斯福特等人在21世纪初也通过实验研究证实，当学习者外显化并表达自己正在形成的概念时，学习效果会更好，他们认为，最好的学习方式是在知识尚未成型时就开始尝试用不同的方式进行表达并一直贯穿于整个学习的进程，让表达与学习在反馈中相互促进。概念形成与概念同化是概念意义的理解与掌握的两种基本方式，通过对具体事物抽象概括的概念形成是原始概念和层级较低概念学习的主要方式。“面”的概念是几何的初始概念之一，
小学中低年级学生形象思维占主导地位，结合实物表面的感知、体验、概括、抽象是行之有效的方法，即便是以概念同化为主的学习中，也往往要结合概念形成的过程。所以，无论是学习理论的研究成果、教学内容的适切程度，还是小学生思维发展的基本规律，在体验学习的过程中让学生的个体经验充分表达，通过辨析比较促进经验的转换、重构，从而实现对概念意义的生成，是数学基本概念教学的原生态样式。
经验的外显化与表达有助于学习的深度展开。无论是学习理论的研究成果、教学内容的适切程度，还是小学生思维发展的基本规律，在体验学习的过程中让学生的个体经验充分表达，通过辨析比较促进经验的转换、重构，从而实现对概念意义的生成，是数学基本概念教学的原生态样式。
关键词：经验表达 经验重构 概念生成
几年前，基于对“面积”概念的溯本求源的数学思考，我设计并执教了从“点”平移成“线”，从“线”平移成“面”的《面积的意义》一课，并撰写了一篇文章《课堂教学可以“原生态”——以“面积的意义”教学为例》，发表于《人民教育》（2013年第3～4期）。当时，认识“面积”这一概念的教学过程如下：
【片段1】
演示移“点”成“线”
师 第三单元我们曾经学过平移与旋转，请大家用动作比画一下什么是平移，什么是旋转。（学生用手势表示平移和旋转。）
师 大家用两个简单的动作就把不同数学概念的意思表达出来了，真不简单！请看这个方格图，（出示挂图，用红粉笔在图1上点一个点）图中有一个小红点，请你将这个红点向上平移10厘米。
（学生在图中点出平移后的小红点，见图2。）
师 画出这个小红点平移的路线，我们能得到什么呢？
生 小红点平移的路线是一条10厘米长的线段。
（学生画出线段，见图3。）
师 “点”的平移形成一条线。
（板书：线。）
【片段2】 平移“线段”形成“面”
师 我们再将这根线段向右平移20厘米，这根线段移到了什么位置呢？（学生示意）“线段”平移时就像一把刷子慢慢往右边刷过去，想一想，被“刷”过的部分是什么样子？
生 应该是个长方形。
（教师拿出一把10厘米宽的排刷，从左到右在方格图上“刷”出一个长方形，见图4。）
师 线段的“平移”就形成了一个长方形的“面”。
（板书：面）
你能在这个方格图上“刷”一个比这个长方形小的面吗？再“刷”一个比这个长方形大的面。
（学生用刷子分别刷出一个2格的小长方形和一个12格的大长方形，见图5。）
师 这两个大小不同的长方形的“面”，分别可以看成是哪条线段平移“刷”出来的呢？
（学生在小组交流中指出，长方形的“面”分别是其中一条长或宽“平移”而成的。）
【片段3】
揭示“面积”的意义
师 （指着图5）我们在方格图上刷出了三个长方形的面，为了便于比较，给它们分别编个号吧，（在图上分别添加1、2、3，见图6）现在你看出哪个面最大，哪个面最小了吗？
生 3号长方形的面最大，1号长方形的面最小。
师 看来“面”是有大有小的。对照图形，你能描述一下这三个长方形的面各有多大吗？
生 1号长方形的面占了2个方格，2号长方形的面占了8个方格，3号长方形的面占了12个方格。
师 每一个“面”自身的大小，在数学上就叫作它的面积。今天，我们大家一起研究“面积”。
（板书：面积——“面”自身的大小。）
今年又任教三年级，再遇“面积的意义”的教学，头脑中不断“反刍”几年前的实践，隐隐感到这样的教学设计与实施在追求课堂“数学味”
方面似乎有点过于简单化了。
一是学生没有积极的认知需求，课堂初始也不明晰认知的目标与方向，教学在教师的“导演”中顺利进行，但是否真正发生了有意义的深度学习值得考量。奥苏伯尔所说的有意义的学习必须具备三个条件：学习材料本身必須有逻辑意义、学习者必须具备有意义学习的心向、学习者认知结构中必须具有同化新知识的原有的适当观念。所谓“有意义学习的心向”，即学习者有积极的学科情感，学习活动有问题驱动、有目标动机、有探究兴趣。积极的学科情感能够促进高水平认知活动的开展。布卢姆曾经提出这样一个鲜明的比喻：一个人用两个并排的梯子爬墙，一个梯子代表认知行为和认知目标，另一个梯子代表情感行为和情感目标，两个梯子中间的每一级是交替间隔排列的，通过交替攀登这两个梯子——从这个梯子的一级踏到另一个梯子上的一级——就有可能达到某些复杂的目的。这个比喻形象诠释了“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。在上述教学过程中，数学本质的演绎是教师演示给学生的，是被动接纳、吸收的过程，学生是概念联系与意义的“顺从者”，而不是真正的“发现者”。
二是数学课堂的“数学味”应体现在学生基于生活的数学感悟与数学思维的意识、过程与方式中，概念意义的理解与应用是
学生由“迷思概念”向着概念的数学本质“奔跑”的过程。引导学生理解与掌握数学概念，不应简单地变为在课堂中对概念本质进行“数学解剖”，使之在高诱导性、纯数学化的教学过程中实现对概念的内涵与外延的认知记忆与高仿性表达——看似知识之间的联系打通了，数学本质凸显了，但概念意义没有附着于现实的情境，概念的生成与生长缺少现实的“根”，数学与现实之间的“脉”断了。
在上述课例中，从“点”平移成“线”、从“线”平移成“面”是概念联系活生生的“解剖”，学生观察、接纳了这样一个过程，感知了数学的“面”是如何演绎生成的，但其自身的认知系统中可能并未真正积淀“面”概念数学表征逐步抽象的经验。有生命力的知识应该是基于学生经验的，应该是能够被充分体验感知的，正如杜威所论述的那样，知识是经验的再建与重组。
基于这样的反思，我又重构了这节课，其中认识“面积”这一概念的教学实录如下：
【片段4】
揭示课题，联系生活，生成问题
师 大家听说过“面积”吗？（板书课题：面积的意义）回忆一下，你在哪儿或什么时候听说过这个词？（指“面积”）说说你对这个数学词汇的理解。你有什么问题想提出来和全班同学一起研究的？ 生 爸爸妈妈在家里讨论买房子时说到“面积”这个词。
师 你能说说这个词是什么意思吗？你有什么疑问？
生 我想房子的“面积”可能说的是房子有多大。我想问的问题是：面积怎样算？
（板书：面积怎样算？）
生 学校“共生园”里有块牌子，介绍了“共生园的面积是480平方米，种植了20多种植物”，“面积”的意思是说“共生园”有多大。我的问题是：面积从哪儿来的？
师 真善于观察，提出了好问题！不过我把你的问题稍微改了改，（板书：“面”从哪儿来的？）为什么这样改？等这节课上完你就会明白了。
生 图形都有周长和面积，周长是图形四周边长的总和，那面积是什么？周长与面积有关系吗？
（板书：面积是什么？周长与面积有关系吗？）
生 品德与社会教材上介绍我国的国土面积是960万平方千米，指的是中国国土有多大，我想问的问题是：平方千米是面积的单位吗？面积还有哪些单位？
（板书：面积有哪些单位？）
师 刚才四位同学开了个好头，介绍了在哪儿见过、听过“面积”这个数学词汇，陈述了自己对面积的理解，提出了一些很有价值的数学问题。我们本节课先重点研究
“什么是面积”“怎么比较面积”和“面从哪儿来的”
这三个问题，（板书“怎么比较面积”）其余的问题留待后面几节课继续研究。让我们带着这些问题进入我们今天的数学学习旅程！
【片段5】
操作体验，表达辨析，认识“面积”
1.摸一摸，画一画。
出示活动要求：（1）拿出数学书，摸一摸数学书的封面，用自己的手掌把数学书的封面摸遍。（2）用示意图画出你摸到的数学书的封面。学生活动，教師巡视、选择教学素材。
2.比一比，辩一辩。
（教师出示学生画出的封面，如图7、图8。）
师 这里有两位同学的作品，你认为哪一幅示意图比较明确地画出了刚才我们手掌摸到的部分
？说一说你的理由。
生 我觉得第二幅图能真正表示出我们手掌摸到的部分。第一幅图只画了个框框，我们的手掌也摸遍了框框里面那一块，第一幅图没有表示出来。第二幅图把中间部分涂满了阴影，表示我们把书面全摸到了。
生 第一幅图只画出了数学书封面的周长，第二幅图画出了数学书整个封面的面积。
生 我觉得她说得不准确。第一幅图画的不是封面的周长，是画的封面的四条边，周长是四条边的总长度。第二幅图画的也不是封面的面积，是画的整个封面部分，也就是我们刚才手掌碰到的部分。
师 你说得太精彩了。第一幅图表示出了封面的四条边，第二幅图表示出了封面的“面”。（板书：面）我们的身边有很多“面”，比如课桌的桌“面”、学具盒的盒盖“面”、黑板的“面”等等。用你的手掌轻轻摸一摸课桌的桌“面”，边摸边想该用上面哪一幅示意图来表示你摸到的桌“面”。
（学生摸桌面，再次体验什么是“面”。）
3.涂一涂，说一说。
师 周长与边意义不同，面和面积意义也不同。周长是计量边的总长度的量，那面积又是计量什么的呢？先来进行一项小比赛，比赛后再来探讨这个问题。
（明确活动要求：用水彩笔涂出图形的“面”，男同学涂图9中的①号图形——小长方形，女同学涂图10中的②号图形——大正方形，同时开始，看谁涂得快，涂好的同学立即举手，没涂满整个图形“面”的不算完成任务。学生在教师的统一指令后开始填涂，教师巡视。）
师 为什么男生普遍比女生涂得快？
生 男生涂的小长方形的“面”小，女生涂的大正方形的“面”大。
生 男生只要涂满3个小方格，女生要涂满9个小方格，女生涂的方格数是男生涂的3倍。
师 小长方形的面包含了3个小方格，大正方形的面包含了9个小方格，面有大有小，不同的面大小不同，每一个面自身的大小就是它的面积。（板书：“面”自身的大小）所以，“面积”是计量面自身大小的量。
重构后的“面积”概念的教学，“数学味”似乎淡了许多，课堂也是典型的原生状态，没有热闹的场景，但关于“面”概念的表征平中蕴奇，用问题驱动的方式、经验表达与重构的体验学习技术促进了概念意义的建构。
首先，学贵有疑，兴趣始于疑问，有疑问就有动力、有目标。课始，学生基于自己的耳闻目睹，在特定的生活情境中，对面积的含义做了个性化的粗略描述，也提出了自己想要解决的问题，如“面积是什么”“面从哪儿来”。这些问题不仅是学生的自身问题，也是学科的基本问题，更是本课需要理解与掌握的核心问题。这种基于问题驱动的教学方式，既能充分激发学生的探究欲望，也指明了本课的认知目标，同时能对后续学习发挥维持、组织与定向的功效，促进深度学习的发生。
其次，“摸—画—辩—摸”的学习过程，让学生经历了“具体体验—反思观察—抽象概括—行动应用”这样一个完整的概念意义生成的四个环节，促进学生建构科学、清晰的“面”概念的心理表象。第一次摸书封面，勾起了学生对已有的个体生活经验的捡拾回忆与组合，形成一个整体的、个性化的概念表象；用画的方式让学生对自己的经验进行自我观察与内省，经验的外显化才能真正发现“迷思概念”和零碎观念；借助于师生、生生之间的互动交流，通过深刻的比较、辨析与逐步的抽象、概括，学生不断修正与改组“迷思概念”，重构个体经验，促成经验的持续转换，生成建构出科学概念的图式，明晰概念的本质要义；再摸课桌面，包括后续涂图形的面，既是对科学概念心理表象的强化，又是概念外延的扩大，促进学生运用概念来积极主动地操控外部客观世界。
经验的外显化与表达有助于学习的深度展开，这一观念是维果斯基首先提出的。美国学者布兰斯福特等人在21世纪初也通过实验研究证实，当学习者外显化并表达自己正在形成的概念时，学习效果会更好，他们认为，最好的学习方式是在知识尚未成型时就开始尝试用不同的方式进行表达并一直贯穿于整个学习的进程，让表达与学习在反馈中相互促进。概念形成与概念同化是概念意义的理解与掌握的两种基本方式，通过对具体事物抽象概括的概念形成是原始概念和层级较低概念学习的主要方式。“面”的概念是几何的初始概念之一，
小学中低年级学生形象思维占主导地位，结合实物表面的感知、体验、概括、抽象是行之有效的方法，即便是以概念同化为主的学习中，也往往要结合概念形成的过程。所以，无论是学习理论的研究成果、教学内容的适切程度，还是小学生思维发展的基本规律，在体验学习的过程中让学生的个体经验充分表达，通过辨析比较促进经验的转换、重构，从而实现对概念意义的生成，是数学基本概念教学的原生态样式。