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【摘 要】信息技术应用于初中几何课堂教学，与课堂教学有机地融合，使数学课堂充满激情和乐趣；简化复杂抽象的知识，让数学课堂成为学生乐学的乐园。本文简述几何画板在初中几何教学中的应用、对几何课堂教学带来的变化，目的在于更好地实现课堂教学现代化。数学知识本身非常重要，但数学知识所承载的思维方法更重要，让学生从内心喜欢思考、学会思考，让学生的思维具有逻辑性。通过信息技术使我们教师更好的引导学生通过知识的学习，去感受、体验知识所承载的本质的东西，体会教与学活动过程中的思维。
【关键词】动态研究几何；信息技术教学；数学教学的本质；几何画板辅助教学
【中图分类号】G434 【文献标识码】A
【论文编号】1671-7384（2018）01-0060-04
信息技术与初中数学教学的融合，就是利用现代信息技术的优势特点，作为教师的教学辅助工具、情感激励工具和学生的认知工具，对图形、数字、动画乃至声音、背景等教学需要进行综合处理，使得学生易于理解和掌握，更好地培养学生的创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力。数学知识本身非常重要，但数学知识所承载的思维方法更重要，我们应该让学生从内心喜欢思考、学会思考。首先我们教师对课程的思维特点、整体的知识脉络及结构要有自己的思考和理解，然后在课堂上教给学生一种思考、研究数学问题的方法。
几何画板辅助教学进入初中数学几何课堂，可使抽象的概念具体化、形象化。尤其是能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足。利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象。几何画板为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。
几何习题课、复习课是我们教师经常会遇到的课型。我们怎样避免操作层面的习题课，而通过习题教学引导学生理解数学知识的本质，形成思维能力呢？通过数学学习不仅得到一些基本数学知识和方法，更主要的是培养一种思维方式，一种能运用已有的知识解决新问题的能力。培养具有这样思维习惯的人，这才是数学学习的本质。
笔者以一道中考几何题为切入点，借助几何画板通过对正方形为背景的几何图形的分析，把握其图形关系，利用多种方法实现对相等线段及其位置关系的证明。培养学生多角度思考问题的思维习惯。通过将点P在边BC所在直线上移动，让学生进行猜想、论证，从运动的角度再次理解问题的本质，进而由正方形转化为菱形，探究结论成立的条件。在图形变化的过程中，通过类比方式，进一步理解问题形成的原因，体会合情推理与演绎推理在几何问题研究过程中的重要意义。
问题1：如图1，在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在边BC上（与点C，B不重合），连接AP，平移△ABP，使点B移动到点C，得到△DCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH、PH。 探究：AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明。
展示多种方法，培养发散思维能力
这个题目有很多种证明方法，为了引导学生多角度的认识图形以及图形关系，本节课借助几何画板辅助教学。一方面可以对全等的三角形进行填充，更好地寻找条件；另一方面利用几何画板的动画演示进行翻折或旋转等图形变化，让图形动起来，体验图形所蕴含的内在的关系。
题目条件中有这样一个条件：“在正方形ABCD中，BD是一条对角线”，同时隐含了BD是一条角平分线的条件，那么我们可以借助角平分线进行轴对称变换构造全等三角形。我们可以考虑构造与△BPH全等的三角形如图2，利用正方形的轴对称性，将△BHQ沿BD翻折，得到△BHE，我们只需证明△AHE≌△PHB即可；又由于EH⊥BH，很容易证明AH⊥PH。
要证明AH=PH，且AH⊥PH，由于我们不好直接证明△AHP是等腰直角三角形，因此，我们可以考虑将AH或PH作为等腰直角三角形斜边上的中线来证明。此种想法可以有以下两种方案来实现，如图3，过点Q作BQ的垂线交AH的延长线于M，连接PM。也可以从结论出发，借助等腰直角三角形的相关知识进行分析，利用几何画板作线段的延长线（动态演示延长线的形成过程），以及过定点作已知直线的垂线的功能，构造所需要的全等三角形，如图4。在证明垂直的时候，还可以借助四点共圆的知识，利用几何画板作圆的显示隐藏按钮，如图5，从而使问题和图形关系更简洁明了。
以上的引导借助几何画板动态的演示，进行翻折、旋转等功能，引导学生更好的分析和理解图形关系，认识图形的生成过程，帮助学生更好的认识图形。
刚才通过构造不同的全等三角形，培养学生的抽象思维能力。构造全等三角形需要对图形认真分析，充分挖掘图形信息，才能构造可能的全等三角形，由于原图中缺失某些全等三角形的元素，需要进行图形还原，而借助几何画板能够动态演示还原的过程，在此过程中培养学生的空间观念，进行抽象思维能力的培养。通过对图形关系的分析，引导学生多角度的对题目完成证明，从而进一步的认识了图形关系。
解决动点问题，进行深入探究
利用几何画板中的动画功能可以生动、连续地表现运动效果，形象地描画出运动对象的运动轨迹。而且轨迹的生成是动态的、逐步的，充分表现出轨迹产生的全过程，学生在观察、实验、猜测、验证、推理與交流等数学活动中，形成自己对数学知识的理解，这就为学生积极主动建构知识体系提供了学习的平台。另外，学生研究几何图形时经常采用从特殊图形推广到一般图形的方法。在几何画板中，只要做一些按钮和动画，比如，我们把点P拖动退回到点B，在这种特殊位置关系下更利于发现结论，也可以将点P拖动到BC的延长线上，或者将点P拖动到CB的延长线，不断进行图形变式，渗透由特殊到一般的研究方法。借助几何画板的动态演示，可以提高课堂实效性，同时更直观的看到图形所蕴含的本质特征。
随时改变题设条件，进行变式教学 利用几何画板进行习题课教学时，要尽量做到可以随时改变题设的条件，进行变式教学，提供多种情形多种解法，以满足学生对知识的渴求和需要。比较而言，用PPT、Flash制作的课件就很难做到这一点，而几何画板就可以轻松搞定。
当学生对点P在正方形的边BC上（与点C、B不重合），有了深入的理解后，我们可以再引导学生对问题进行拓展思考：如果点P在直线BC上呢？当正方形变为菱形、矩形、平行四边形呢？又会有怎样的结论呢？所以制作了正方形、菱形可以切换的按钮，进行动态演示，发现图形关系。
问题2： 将正方形换为菱形时，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH，AH=PH这个结论仍然成立吗？请画图说明。
当正方形变为菱形仍然满足题目条件时，同学们会发现AH=PH这个结论不成立了。
紧接着给学生提出思考：要使结论成立，那么∠QHB应该需要满足什么条件呢？
这个问题对于学生来说有一定难度，但是借助几何画板动态演示，在运动的过程中引导学生发现结论成立的条件，学生对问题的认识更直观清晰。教师在教学时若能利用几何画板随时变换图形的运动状态，创造有利于学生的猜想、验证、证明的环境，必能激发学生强烈的求知欲望，从而提高课堂效率。
动态分解图形，展示问题本质
当学生对上述问题进行了探究后，为了引导学生发现问题的本质，给出了问题3，从而在这个探究过程中不断激发学生思考，树立问题意识。这个环节是借助几何画板将原图形进行分解，把蕴含的基本图形单独展示出来。通过这个动态展示，学生发现图形的组合和生成过程，进一步认识图形关系。
问题3：揭示本质——是不是所有具有轴对称的图形都具有类似的情况呢？
学生通过探究发现，问题的本质是两个轴对称图形的组合问题，观察到使问题成立的点P就是这两个轴对称图形的交点，如图6所示。
本节课通过度量、猜测，发现AH与PH之间的数量关系及位置关系，培养学生的合情推理；并借助几何画板辅助教学，进而将点P在边BC的延长线上运动、若将正方形变为菱形、矩形、平行四边形，探究还有无类似的结论？若存在，条件还需做哪些改变？以及到最后引导学生思考是不是所有具有轴对称的图形都具有类似的情况呢？进行这样的推广、类比等一系列思维培养，始终渗透着从特殊到一般的研究方法。
利用几何画板在剖析问题的实质时，可以使学生清楚了解要解决问题的关键所在。与传统教学相比较，它能形象直观地反映问题，更进一步地引导学生进行数学的实验和探究，把学习的主动权真正交给了学生，充分调动了学生的学习兴趣，树立了学生的问题意识，实现了学生真正意义的建构。
将现代信息技术运用于初中数学教学是信息化时代的必然趋势，是推动教学改革、提高教学效益的重要手段。因此我们重视现代信息技术的运用，将新课改所提出的先进教学理念运用于教學实践中，将理论研究与实践探讨结合起来。这样才能改变以往低效的课堂教学，推动数学教学的现代化进程，实现有效教学。
作为教师，我们教什么？若干年后，知识会被学生遗忘了，留给孩子们的应该是一种思考问题的方法，一种研究问题的方法，一种认识客观事物的观点。我们上课之前，是不是应该问问自己：我为什么要讲这节课？通过这节课我要教给学生什么知识？我要教给学生什么思维方法呢？作为教师，我们应该思考通过这节课的知识教学，怎样培养学生的思维能力。而几何画板辅助教学使原来的几何教学从静态发展为动态，给学生清晰的呈现了图形的生成过程，问题的来龙去脉，教会学生如何思考问题，分析问题，树立了学生的问题意识。
信息技术应用于初中几何课堂教学，与课堂教学有机地融合，使数学课堂充满激情和乐趣；简化复杂抽象的知识，让数学课堂成为学生乐学的乐园。信息技术在初中几何教学中的应用，给几何课堂教学带来了变化，更好地实现了课堂教学现代化。
作者单位：中国农业大学附属中学
【关键词】动态研究几何；信息技术教学；数学教学的本质；几何画板辅助教学
【中图分类号】G434 【文献标识码】A
【论文编号】1671-7384（2018）01-0060-04
信息技术与初中数学教学的融合，就是利用现代信息技术的优势特点，作为教师的教学辅助工具、情感激励工具和学生的认知工具，对图形、数字、动画乃至声音、背景等教学需要进行综合处理，使得学生易于理解和掌握，更好地培养学生的创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力。数学知识本身非常重要，但数学知识所承载的思维方法更重要，我们应该让学生从内心喜欢思考、学会思考。首先我们教师对课程的思维特点、整体的知识脉络及结构要有自己的思考和理解，然后在课堂上教给学生一种思考、研究数学问题的方法。
几何画板辅助教学进入初中数学几何课堂，可使抽象的概念具体化、形象化。尤其是能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足。利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象。几何画板为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。
几何习题课、复习课是我们教师经常会遇到的课型。我们怎样避免操作层面的习题课，而通过习题教学引导学生理解数学知识的本质，形成思维能力呢？通过数学学习不仅得到一些基本数学知识和方法，更主要的是培养一种思维方式，一种能运用已有的知识解决新问题的能力。培养具有这样思维习惯的人，这才是数学学习的本质。
笔者以一道中考几何题为切入点，借助几何画板通过对正方形为背景的几何图形的分析，把握其图形关系，利用多种方法实现对相等线段及其位置关系的证明。培养学生多角度思考问题的思维习惯。通过将点P在边BC所在直线上移动，让学生进行猜想、论证，从运动的角度再次理解问题的本质，进而由正方形转化为菱形，探究结论成立的条件。在图形变化的过程中，通过类比方式，进一步理解问题形成的原因，体会合情推理与演绎推理在几何问题研究过程中的重要意义。
问题1：如图1，在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在边BC上（与点C，B不重合），连接AP，平移△ABP，使点B移动到点C，得到△DCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH、PH。 探究：AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明。
展示多种方法，培养发散思维能力
这个题目有很多种证明方法，为了引导学生多角度的认识图形以及图形关系，本节课借助几何画板辅助教学。一方面可以对全等的三角形进行填充，更好地寻找条件；另一方面利用几何画板的动画演示进行翻折或旋转等图形变化，让图形动起来，体验图形所蕴含的内在的关系。
题目条件中有这样一个条件：“在正方形ABCD中，BD是一条对角线”，同时隐含了BD是一条角平分线的条件，那么我们可以借助角平分线进行轴对称变换构造全等三角形。我们可以考虑构造与△BPH全等的三角形如图2，利用正方形的轴对称性，将△BHQ沿BD翻折，得到△BHE，我们只需证明△AHE≌△PHB即可；又由于EH⊥BH，很容易证明AH⊥PH。
要证明AH=PH，且AH⊥PH，由于我们不好直接证明△AHP是等腰直角三角形，因此，我们可以考虑将AH或PH作为等腰直角三角形斜边上的中线来证明。此种想法可以有以下两种方案来实现，如图3，过点Q作BQ的垂线交AH的延长线于M，连接PM。也可以从结论出发，借助等腰直角三角形的相关知识进行分析，利用几何画板作线段的延长线（动态演示延长线的形成过程），以及过定点作已知直线的垂线的功能，构造所需要的全等三角形，如图4。在证明垂直的时候，还可以借助四点共圆的知识，利用几何画板作圆的显示隐藏按钮，如图5，从而使问题和图形关系更简洁明了。
以上的引导借助几何画板动态的演示，进行翻折、旋转等功能，引导学生更好的分析和理解图形关系，认识图形的生成过程，帮助学生更好的认识图形。
刚才通过构造不同的全等三角形，培养学生的抽象思维能力。构造全等三角形需要对图形认真分析，充分挖掘图形信息，才能构造可能的全等三角形，由于原图中缺失某些全等三角形的元素，需要进行图形还原，而借助几何画板能够动态演示还原的过程，在此过程中培养学生的空间观念，进行抽象思维能力的培养。通过对图形关系的分析，引导学生多角度的对题目完成证明，从而进一步的认识了图形关系。
解决动点问题，进行深入探究
利用几何画板中的动画功能可以生动、连续地表现运动效果，形象地描画出运动对象的运动轨迹。而且轨迹的生成是动态的、逐步的，充分表现出轨迹产生的全过程，学生在观察、实验、猜测、验证、推理與交流等数学活动中，形成自己对数学知识的理解，这就为学生积极主动建构知识体系提供了学习的平台。另外，学生研究几何图形时经常采用从特殊图形推广到一般图形的方法。在几何画板中，只要做一些按钮和动画，比如，我们把点P拖动退回到点B，在这种特殊位置关系下更利于发现结论，也可以将点P拖动到BC的延长线上，或者将点P拖动到CB的延长线，不断进行图形变式，渗透由特殊到一般的研究方法。借助几何画板的动态演示，可以提高课堂实效性，同时更直观的看到图形所蕴含的本质特征。
随时改变题设条件，进行变式教学 利用几何画板进行习题课教学时，要尽量做到可以随时改变题设的条件，进行变式教学，提供多种情形多种解法，以满足学生对知识的渴求和需要。比较而言，用PPT、Flash制作的课件就很难做到这一点，而几何画板就可以轻松搞定。
当学生对点P在正方形的边BC上（与点C、B不重合），有了深入的理解后，我们可以再引导学生对问题进行拓展思考：如果点P在直线BC上呢？当正方形变为菱形、矩形、平行四边形呢？又会有怎样的结论呢？所以制作了正方形、菱形可以切换的按钮，进行动态演示，发现图形关系。
问题2： 将正方形换为菱形时，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH，AH=PH这个结论仍然成立吗？请画图说明。
当正方形变为菱形仍然满足题目条件时，同学们会发现AH=PH这个结论不成立了。
紧接着给学生提出思考：要使结论成立，那么∠QHB应该需要满足什么条件呢？
这个问题对于学生来说有一定难度，但是借助几何画板动态演示，在运动的过程中引导学生发现结论成立的条件，学生对问题的认识更直观清晰。教师在教学时若能利用几何画板随时变换图形的运动状态，创造有利于学生的猜想、验证、证明的环境，必能激发学生强烈的求知欲望，从而提高课堂效率。
动态分解图形，展示问题本质
当学生对上述问题进行了探究后，为了引导学生发现问题的本质，给出了问题3，从而在这个探究过程中不断激发学生思考，树立问题意识。这个环节是借助几何画板将原图形进行分解，把蕴含的基本图形单独展示出来。通过这个动态展示，学生发现图形的组合和生成过程，进一步认识图形关系。
问题3：揭示本质——是不是所有具有轴对称的图形都具有类似的情况呢？
学生通过探究发现，问题的本质是两个轴对称图形的组合问题，观察到使问题成立的点P就是这两个轴对称图形的交点，如图6所示。
本节课通过度量、猜测，发现AH与PH之间的数量关系及位置关系，培养学生的合情推理；并借助几何画板辅助教学，进而将点P在边BC的延长线上运动、若将正方形变为菱形、矩形、平行四边形，探究还有无类似的结论？若存在，条件还需做哪些改变？以及到最后引导学生思考是不是所有具有轴对称的图形都具有类似的情况呢？进行这样的推广、类比等一系列思维培养，始终渗透着从特殊到一般的研究方法。
利用几何画板在剖析问题的实质时，可以使学生清楚了解要解决问题的关键所在。与传统教学相比较，它能形象直观地反映问题，更进一步地引导学生进行数学的实验和探究，把学习的主动权真正交给了学生，充分调动了学生的学习兴趣，树立了学生的问题意识，实现了学生真正意义的建构。
将现代信息技术运用于初中数学教学是信息化时代的必然趋势，是推动教学改革、提高教学效益的重要手段。因此我们重视现代信息技术的运用，将新课改所提出的先进教学理念运用于教學实践中，将理论研究与实践探讨结合起来。这样才能改变以往低效的课堂教学，推动数学教学的现代化进程，实现有效教学。
作为教师，我们教什么？若干年后，知识会被学生遗忘了，留给孩子们的应该是一种思考问题的方法，一种研究问题的方法，一种认识客观事物的观点。我们上课之前，是不是应该问问自己：我为什么要讲这节课？通过这节课我要教给学生什么知识？我要教给学生什么思维方法呢？作为教师，我们应该思考通过这节课的知识教学，怎样培养学生的思维能力。而几何画板辅助教学使原来的几何教学从静态发展为动态，给学生清晰的呈现了图形的生成过程，问题的来龙去脉，教会学生如何思考问题，分析问题，树立了学生的问题意识。
信息技术应用于初中几何课堂教学，与课堂教学有机地融合，使数学课堂充满激情和乐趣；简化复杂抽象的知识，让数学课堂成为学生乐学的乐园。信息技术在初中几何教学中的应用，给几何课堂教学带来了变化，更好地实现了课堂教学现代化。
作者单位：中国农业大学附属中学