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摘要：伏安特性曲线既是电流与电压变化关系一种形象直观的表达方式，更是我们研究、解决问题的有效方法和手段。利用U-I（或I-U）图像解决电学问题无疑是一种既简捷又有的效方法，特别对一些非线性变化的问题，利用图像及其交点的意义是解决问题的唯一方法。但对交点意义的诠释仿佛有着只能意会，难以言传的困难，也是教学的一大难点。
关键词：伏安图形曲线;图形交点;输出功率
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-23-395
运用U-I图像或I-U图像分析讨论物理电路问题不仅简单易行，而且可以加深学生对物理概念和物理规律的理解。教师在教学过程中，以及一些教学参考书中，常常会由一些常见的情景给学生总结出规律以便加以应用。当学生遇到新的情景时也就只会生搬硬套地给予应用，往往出错，下面通过事例来解释说明U-I图像中交点意义。
例1.如图1（乙）所示的U-I图像中，直线Ⅰ为某电源的路端电压与电流的关系，直线Ⅱ为某一电阻R的伏安特性曲线，用该电源直接与电阻R连接成闭合电路，电源输出功率为多少？
解法1：看到这样的题型，绝大多数学生会这样求解：由曲线Ⅰ得电源电动势、内阻分别为E=3.0V，r=1.5Ω，由曲线Ⅱ得R=1.5Ω。当电阻R接在电源两端时，由欧姆定律，可求得U=1.5V，I=1.0A。则电源的输出功率为：P=UI=1.5W
解法2：少数学生会直接从图上读出R两端的电压和通过的电流U=1.5V，I=1.0A。电源的输出功率为P=UI=1.5W。比较两种解法，学生会发现用第二种方法更加简便，但在应用这交点解决功率问题时学生很疑惑：当电阻R接在电源两端时，为什么它两端的电压和通过的电流刚好是图中交点坐标值？是一种巧合，还是一种必然？有时，老师对这样的问题也很茫然。实际上，交点的意义我们可以这样解释：
曲线Ⅰ表示电源的路端电压U随电流I变化的关系，即U=E-Ir，（1）;
曲线Ⅱ表示电阻R两端电压U′随电流I′变化的关系，即U′=I′R ，（2）。
当把R接在电源两端时，U和U′，I和I′是同一的，那么，什么样的电压和电流既符合函数关系（1），又符合函数关系（2）呢？
在数学上就是联解方程组：U=E-Ir，U=IR。
学生也知道这个方程组的解就是图像中两条曲线的交点，交点就是电阻的工作点。所以说，第1种解法实际上是求方程组解的过程细分。此法物理图景明晰，逻辑思维清楚，是一种本源的做法，学生易于理解和接受。在学生刚接触此类问题时，老师首先应帮助学生建立这样一种明晰的物理图景和思考顺序，循序渐进的引导学生，万万不可因学生解法不是最简洁的反对。而第2种解法必定要经过第1种解法完全相同的思考，是在第1种方法基础上的抽象，此解法更加简单明了。学生有了对此问题的解决基础之后，当学生在遇到此类问题时就可以迎刃而解了。在此基础上通过练习巩固并深化学生对U-I图像交点意义的认识和理解。
例2.如图2（乙）所示，直线A为电源的U-I图像，曲线B为小灯泡的U-I图线，用该电源和小灯泡组成闭合电路时（图2，甲），求灯泡的实际功率为多少？
解析：此题和例1是同一类型，不同之处在于外电路用电器是非线性元件，小灯泡的电阻随电流和电压的变化而变化的，且电流和电压的函数表达式未知。小灯泡接在电源两端时，其两端的电压、电流和电源路端电压、通过电源电流是相同的，某时刻路端电压与电流的关系式有：UL=E-ILr，UL=ILR，图像上的交点就是灯泡的工作点。学生理解图像交点意义以后，很容易确定两图线的交点对应的电压是电源的路端电压，也是灯泡两端的电压U=2V，过灯泡和电源的电流I=2A，功率亦即电源的输出功率为：P=UL=4W
例3.如图3（乙）所示，B为一个小灯泡两端的电压与通过它的电流的变化关系曲线.如图（乙）所示，将这个电灯与20Ω的定值电阻R串联，接在电动势为8V的电源上，则电灯的实际功率为多少？（不计电流表电阻和电源内阻）
对于题3，情景发生了变化，相比例2多了一个串联電阻R，解此题时学生可能会仿照题2的解法，通过作电源的U-I 图像求解。学生想到了路端电压为电阻和小灯泡的总电压，所以写出：
E=UL+IR（UL为灯泡两端的电压），代入数值，得到：8=UL+20I
在图3（乙）中作UL=8-20I的图像，画出一条倾斜直线A。由曲线和直线的交点，得出电路中小灯泡两端的电压和电流分别为：
UL=2V，I=0.3A，所以功率P=ULI=0.6W。
此种解法利用了电源等效法，即在电路分析中我们经常要把一部分有源电路等效为电源，即等效电源。电源的内阻不计，可以把R处理成电源的内阻。等效新电源为E=8V，r=20Ω，写出电源的伏安特性曲线U=E-IR=8-20I。根据路端电压与干路电流的关系作等效电源的U-I图像， 两图像的交点即为灯泡的工作点。等效法在解物理题中时经常会应用到。
例4 ，将两个相等的小灯泡并联后再与一个4Ω的定值电串联，接在内阻为1Ω、电动势为5V的电源两端，如图甲所示。乙中B为某一小灯泡的图线，则灯泡的实际功率为多少？相对于例3，题中多了一个并联的灯泡。解此题时，学生也想通过参照例3的解法，把R当成电源内阻，写出等效电源路端电压的表达式：E=I（R+r）+UL，代入数据得到UL=5-5I，作图，求出小灯泡的功率，但发现不对。问题出在哪儿呢？ 实际上，例3中通过小灯泡的电流与通过电源的电流相等，灯泡两端的电压等于等效电源的路端电压。而题4中，通过小灯泡的电流与通过电源的电流不相等，灯泡两端的电压等于等效电源的路端电压。流过电源的电流应为流过小灯泡电流的两倍。知道这一点学生就可以得到小灯泡的电压U与流过其电流I的关系：U=E-2I（R+r），代入数据，得到U=5-10I，在图乙中作U=5-10I的图像，图中直线A，该直线与曲线的交点为灯泡的工作点，对应的电流I=0.3A，电压U=2V，故小灯泡的功率P=UI=0.6W。
综上所述，在分析此类电路功率问题时，熟知电源和电阻的伏安特性曲线的特点是解题的前提，而灵活地应用伏安特性曲线找出实际工作点是关键。不论是线性电阻，还是非线性电阻，与某电源构成闭合电路，其工作点均为电源U-I图线与电阻U-I图线的交点。
参考文献
[1]贡建荣， 陆天柱. 关于U-I图像教学的点滴反思[J]. 物理教师， 2012， 4： 014.
[2]吕迎锋. 闭合电路的欧姆定律U-I图像的应用[J]. 中学物理： 高中版， 2015， 33（10）： 74-75.
[3]程佳. 利用U-I图像交点法巧解有关小灯泡的电路计算问题[J]. 青少年日记： 教育教学研究， 2014 （4）： 94-95.
关键词：伏安图形曲线;图形交点;输出功率
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-23-395
运用U-I图像或I-U图像分析讨论物理电路问题不仅简单易行，而且可以加深学生对物理概念和物理规律的理解。教师在教学过程中，以及一些教学参考书中，常常会由一些常见的情景给学生总结出规律以便加以应用。当学生遇到新的情景时也就只会生搬硬套地给予应用，往往出错，下面通过事例来解释说明U-I图像中交点意义。
例1.如图1（乙）所示的U-I图像中，直线Ⅰ为某电源的路端电压与电流的关系，直线Ⅱ为某一电阻R的伏安特性曲线，用该电源直接与电阻R连接成闭合电路，电源输出功率为多少？
解法1：看到这样的题型，绝大多数学生会这样求解：由曲线Ⅰ得电源电动势、内阻分别为E=3.0V，r=1.5Ω，由曲线Ⅱ得R=1.5Ω。当电阻R接在电源两端时，由欧姆定律，可求得U=1.5V，I=1.0A。则电源的输出功率为：P=UI=1.5W
解法2：少数学生会直接从图上读出R两端的电压和通过的电流U=1.5V，I=1.0A。电源的输出功率为P=UI=1.5W。比较两种解法，学生会发现用第二种方法更加简便，但在应用这交点解决功率问题时学生很疑惑：当电阻R接在电源两端时，为什么它两端的电压和通过的电流刚好是图中交点坐标值？是一种巧合，还是一种必然？有时，老师对这样的问题也很茫然。实际上，交点的意义我们可以这样解释：
曲线Ⅰ表示电源的路端电压U随电流I变化的关系，即U=E-Ir，（1）;
曲线Ⅱ表示电阻R两端电压U′随电流I′变化的关系，即U′=I′R ，（2）。
当把R接在电源两端时，U和U′，I和I′是同一的，那么，什么样的电压和电流既符合函数关系（1），又符合函数关系（2）呢？
在数学上就是联解方程组：U=E-Ir，U=IR。
学生也知道这个方程组的解就是图像中两条曲线的交点，交点就是电阻的工作点。所以说，第1种解法实际上是求方程组解的过程细分。此法物理图景明晰，逻辑思维清楚，是一种本源的做法，学生易于理解和接受。在学生刚接触此类问题时，老师首先应帮助学生建立这样一种明晰的物理图景和思考顺序，循序渐进的引导学生，万万不可因学生解法不是最简洁的反对。而第2种解法必定要经过第1种解法完全相同的思考，是在第1种方法基础上的抽象，此解法更加简单明了。学生有了对此问题的解决基础之后，当学生在遇到此类问题时就可以迎刃而解了。在此基础上通过练习巩固并深化学生对U-I图像交点意义的认识和理解。
例2.如图2（乙）所示，直线A为电源的U-I图像，曲线B为小灯泡的U-I图线，用该电源和小灯泡组成闭合电路时（图2，甲），求灯泡的实际功率为多少？
解析：此题和例1是同一类型，不同之处在于外电路用电器是非线性元件，小灯泡的电阻随电流和电压的变化而变化的，且电流和电压的函数表达式未知。小灯泡接在电源两端时，其两端的电压、电流和电源路端电压、通过电源电流是相同的，某时刻路端电压与电流的关系式有：UL=E-ILr，UL=ILR，图像上的交点就是灯泡的工作点。学生理解图像交点意义以后，很容易确定两图线的交点对应的电压是电源的路端电压，也是灯泡两端的电压U=2V，过灯泡和电源的电流I=2A，功率亦即电源的输出功率为：P=UL=4W
例3.如图3（乙）所示，B为一个小灯泡两端的电压与通过它的电流的变化关系曲线.如图（乙）所示，将这个电灯与20Ω的定值电阻R串联，接在电动势为8V的电源上，则电灯的实际功率为多少？（不计电流表电阻和电源内阻）
对于题3，情景发生了变化，相比例2多了一个串联電阻R，解此题时学生可能会仿照题2的解法，通过作电源的U-I 图像求解。学生想到了路端电压为电阻和小灯泡的总电压，所以写出：
E=UL+IR（UL为灯泡两端的电压），代入数值，得到：8=UL+20I
在图3（乙）中作UL=8-20I的图像，画出一条倾斜直线A。由曲线和直线的交点，得出电路中小灯泡两端的电压和电流分别为：
UL=2V，I=0.3A，所以功率P=ULI=0.6W。
此种解法利用了电源等效法，即在电路分析中我们经常要把一部分有源电路等效为电源，即等效电源。电源的内阻不计，可以把R处理成电源的内阻。等效新电源为E=8V，r=20Ω，写出电源的伏安特性曲线U=E-IR=8-20I。根据路端电压与干路电流的关系作等效电源的U-I图像， 两图像的交点即为灯泡的工作点。等效法在解物理题中时经常会应用到。
例4 ，将两个相等的小灯泡并联后再与一个4Ω的定值电串联，接在内阻为1Ω、电动势为5V的电源两端，如图甲所示。乙中B为某一小灯泡的图线，则灯泡的实际功率为多少？相对于例3，题中多了一个并联的灯泡。解此题时，学生也想通过参照例3的解法，把R当成电源内阻，写出等效电源路端电压的表达式：E=I（R+r）+UL，代入数据得到UL=5-5I，作图，求出小灯泡的功率，但发现不对。问题出在哪儿呢？ 实际上，例3中通过小灯泡的电流与通过电源的电流相等，灯泡两端的电压等于等效电源的路端电压。而题4中，通过小灯泡的电流与通过电源的电流不相等，灯泡两端的电压等于等效电源的路端电压。流过电源的电流应为流过小灯泡电流的两倍。知道这一点学生就可以得到小灯泡的电压U与流过其电流I的关系：U=E-2I（R+r），代入数据，得到U=5-10I，在图乙中作U=5-10I的图像，图中直线A，该直线与曲线的交点为灯泡的工作点，对应的电流I=0.3A，电压U=2V，故小灯泡的功率P=UI=0.6W。
综上所述，在分析此类电路功率问题时，熟知电源和电阻的伏安特性曲线的特点是解题的前提，而灵活地应用伏安特性曲线找出实际工作点是关键。不论是线性电阻，还是非线性电阻，与某电源构成闭合电路，其工作点均为电源U-I图线与电阻U-I图线的交点。
参考文献
[1]贡建荣， 陆天柱. 关于U-I图像教学的点滴反思[J]. 物理教师， 2012， 4： 014.
[2]吕迎锋. 闭合电路的欧姆定律U-I图像的应用[J]. 中学物理： 高中版， 2015， 33（10）： 74-75.
[3]程佳. 利用U-I图像交点法巧解有关小灯泡的电路计算问题[J]. 青少年日记： 教育教学研究， 2014 （4）： 94-95.