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【内容摘要】 "数(代数)"与"形(几何)"是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的。体现在数学解题中, 包括"以数助形"和"以形助数"两个方面。全面理解数与形的关系,就要从"以数助形"和"以形助数"这两个方面来体会。"数缺形时少直觉,形少数时难入微。""数形结合"就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,是一种非常重要的数学方法,也是一种重要的数学思想,在以后的数学学习中有着及其重要的地位。
【关键词】 數形结合 以数助形 以形助数
数形结合思想,是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合,是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来,利用抽象思维与形象思维的有机结合,借助形的具体明确来反应数量之间的关系,借助数来具体描述形的本质内涵。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势,又可以充分利用图形的直观性,从多个角度探索问题,对思维能力的发展大有稗益。我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义。"数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离。"可见,数与形二者相辅相成,缺一不可。数的抽象,形的具体,两者珠联璧合,对于数学解题将有出其不意的效果。
一、数形结合思想的地位和重要性
我们知道,几何本身缺乏严密性,而代数本身却又缺乏直观性。只有将二者有机地结合起来,互相取长补短,才能突破思维的限制,加快数学的发展。
数与形是数学研究的两类基本对象。"数"是指数与式,"形"是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维,揭示数学本质的东西。
近几年,各地的中考试卷中,侧重了对数形结合思想方法的考察,所以有必要对此类问题进行一些探讨,为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式做出努力。
二、运用数形结合思想感知数学知识的意义
"数学是揭示客观事物数量和形体的本质关系和联系的科学,从认识的角度考虑,’数’与’形’是一事物的两个侧面,它们均非孤立地存在,数形结合正是从这两个方面认识事物的特征,揭示其规律。在解决数学问题时,通过数形结合,可将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的作用,建立起抽象概念和具体形象的联系,可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究"。
初一年级学生,由于数学知识较少,如果仅靠介绍概念,说明意义,学生是不可能很好地领会数形结合这一思想方法的,更谈不上运用。为此,教师必须加以恰当的引导,因教材、就知识点,将数形结合的思想,隐含于问题及其解决过程中,让学生感知、识记、体会,并通过多次实践得到潜移默化的锻炼。然后教师与学生共同概括、归纳、提炼,理清思想脉络,将数形结合思想显化。
如初中数学中的实数,通过在数轴上表示实数,使学生体会到一个实数就是数轴上的一个"点",无限多的实数都可以用数轴上的点来表示,实数和数轴上的点是一一对应的。实数加法、乘法法则都是结合图形、结合数轴归纳出来的。可见,运用数形结合,将实数向学生介绍说明得直观形象、活灵活现。这就使得实数的意义、实数的运算与学生原有的知识结构紧密的衔接起来,使学生感到新知识的学习轻松自然,并将激发起学生的学习兴趣。数形结合是求解数学问题中的一种常用思维方法,数形结合形象直观,易于接受,因此,教学中必须重视数形结合思想的训练,通过数形结合,把代数关系(数量关系)与几何图形的直观有机地结合起来,有利于提高学生学习数学的兴趣,开拓学生的解题思路、活跃课堂气氛,发展学生的形象思维能力和空间想像能力等。
三、初中数学中数形结合相关知识点的体现
在初中教材中,数的常见表现形式为:实数、代数式、函数和不等式等,而形的常见表现形式为:直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下,一次函数对应一条直线,二次函数对应一条抛物线,这些都是初中数学的重要内容。
特别是二次函数,不仅是学生学习的难点之一,同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。在平面直角坐标系中,二次函数所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a,b,c密不可分。事实上,数a决定抛物线的开口方向,b与a一起决定抛物线的对称轴位置,c决定了抛物线与y轴的交点位置,与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标,抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化,其实从代数的角度看是b、c的大小变化。
只有牢固掌握这些性质及其相互之间的内在关系,并活学、巧用,才能学好二次函数。
此外,在实数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数,而绝对值表示这个数的点与原点的距离。
总之,数形结合思想主要体现在"数"和"形"的互相渗透和转化,不论从"形"到"数",还是从"数"到"形"的目的都是提供一种灵活的解题思路,不能片面强调某一方面或者为所有问题都绞尽脑汁去几何化、数量化,强调数形结合思想是强调培养学生、训练学生养成由"形"到"数",由"数"到"形"的解题思想。
"数"和"形"是数学发展的两大支柱,"数"和"形"结合是研究数学的重要方法,在中学数学中数和形就如两栖动物一样既可以结合在一起互相利用,又可分别独立存在,只要我们在教学中重视恰当地渗透数形结合思想训练学生思维,对于提高学生的数学解题能力,培养学生的多向思维能力,开扩学生的解题思路都有独到的好处。
数形结合的思想方法,不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。教学中可以让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对数形结合思想的的主动应用。
"数形结合",为学生轻松、快捷地解题,提供了搭乘的便车。
【关键词】 數形结合 以数助形 以形助数
数形结合思想,是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合,是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来,利用抽象思维与形象思维的有机结合,借助形的具体明确来反应数量之间的关系,借助数来具体描述形的本质内涵。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势,又可以充分利用图形的直观性,从多个角度探索问题,对思维能力的发展大有稗益。我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义。"数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离。"可见,数与形二者相辅相成,缺一不可。数的抽象,形的具体,两者珠联璧合,对于数学解题将有出其不意的效果。
一、数形结合思想的地位和重要性
我们知道,几何本身缺乏严密性,而代数本身却又缺乏直观性。只有将二者有机地结合起来,互相取长补短,才能突破思维的限制,加快数学的发展。
数与形是数学研究的两类基本对象。"数"是指数与式,"形"是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维,揭示数学本质的东西。
近几年,各地的中考试卷中,侧重了对数形结合思想方法的考察,所以有必要对此类问题进行一些探讨,为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式做出努力。
二、运用数形结合思想感知数学知识的意义
"数学是揭示客观事物数量和形体的本质关系和联系的科学,从认识的角度考虑,’数’与’形’是一事物的两个侧面,它们均非孤立地存在,数形结合正是从这两个方面认识事物的特征,揭示其规律。在解决数学问题时,通过数形结合,可将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的作用,建立起抽象概念和具体形象的联系,可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究"。
初一年级学生,由于数学知识较少,如果仅靠介绍概念,说明意义,学生是不可能很好地领会数形结合这一思想方法的,更谈不上运用。为此,教师必须加以恰当的引导,因教材、就知识点,将数形结合的思想,隐含于问题及其解决过程中,让学生感知、识记、体会,并通过多次实践得到潜移默化的锻炼。然后教师与学生共同概括、归纳、提炼,理清思想脉络,将数形结合思想显化。
如初中数学中的实数,通过在数轴上表示实数,使学生体会到一个实数就是数轴上的一个"点",无限多的实数都可以用数轴上的点来表示,实数和数轴上的点是一一对应的。实数加法、乘法法则都是结合图形、结合数轴归纳出来的。可见,运用数形结合,将实数向学生介绍说明得直观形象、活灵活现。这就使得实数的意义、实数的运算与学生原有的知识结构紧密的衔接起来,使学生感到新知识的学习轻松自然,并将激发起学生的学习兴趣。数形结合是求解数学问题中的一种常用思维方法,数形结合形象直观,易于接受,因此,教学中必须重视数形结合思想的训练,通过数形结合,把代数关系(数量关系)与几何图形的直观有机地结合起来,有利于提高学生学习数学的兴趣,开拓学生的解题思路、活跃课堂气氛,发展学生的形象思维能力和空间想像能力等。
三、初中数学中数形结合相关知识点的体现
在初中教材中,数的常见表现形式为:实数、代数式、函数和不等式等,而形的常见表现形式为:直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下,一次函数对应一条直线,二次函数对应一条抛物线,这些都是初中数学的重要内容。
特别是二次函数,不仅是学生学习的难点之一,同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。在平面直角坐标系中,二次函数所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a,b,c密不可分。事实上,数a决定抛物线的开口方向,b与a一起决定抛物线的对称轴位置,c决定了抛物线与y轴的交点位置,与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标,抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化,其实从代数的角度看是b、c的大小变化。
只有牢固掌握这些性质及其相互之间的内在关系,并活学、巧用,才能学好二次函数。
此外,在实数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数,而绝对值表示这个数的点与原点的距离。
总之,数形结合思想主要体现在"数"和"形"的互相渗透和转化,不论从"形"到"数",还是从"数"到"形"的目的都是提供一种灵活的解题思路,不能片面强调某一方面或者为所有问题都绞尽脑汁去几何化、数量化,强调数形结合思想是强调培养学生、训练学生养成由"形"到"数",由"数"到"形"的解题思想。
"数"和"形"是数学发展的两大支柱,"数"和"形"结合是研究数学的重要方法,在中学数学中数和形就如两栖动物一样既可以结合在一起互相利用,又可分别独立存在,只要我们在教学中重视恰当地渗透数形结合思想训练学生思维,对于提高学生的数学解题能力,培养学生的多向思维能力,开扩学生的解题思路都有独到的好处。
数形结合的思想方法,不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。教学中可以让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对数形结合思想的的主动应用。
"数形结合",为学生轻松、快捷地解题,提供了搭乘的便车。