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笔者有幸参与了2011年嵊州市中考数学的阅卷工作,对绍兴市数学中考试卷中的第16题感触颇深,以下是自己对该题的分析、反思,以供同行参考．
题目 如图1,相距2cm的两个点A,B在直线l上,它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分别平移到点A1,B1的位置时,半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切,则点A平移到点A1所用的时间为___s．
亮点赏析 此题以直线为背景,探究一个移圆心,一个动半径的两动圆之间的位置关系和数量关系,是典型的动点动圆与分类讨论的佳题,具有背景新颖、题材丰富、操作性强的特点.随着⊙A1的圆心位置与⊙B的半径大小的变化,一个发生平移变换,另一个进行位似变换,“月亮走,我也走”,两圆的位置关系和数量关系也随之改变,考生解答此题时要求仔细审题,根据条件,分类画图,再通过观察、比较,分析图形之间的内在联系,揭示图形中的等量关系,具有较强的探索性、操作性、开放性和综合性,充分体现了动中取静,变中不变的辩证思想,集代数与几何的众多知识于一体,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等数学思想方法,对培养学生的思维品质和数学能力有很大的促进作用.试题入口较宽,考生比较容易想到当⊙A1在⊙B左侧与⊙B外切时的情形,有2t+t+1=2,解得t=13；试题有梯度,两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,需要分类讨论,分别画图探索,计算繁琐,解答方法灵活,适合考查不同层次学生的数学水平,具有一定的区分度和选拔功能．
失误探秘
笔者在阅卷中,对一些比较优秀的考生出现的各种错解进行了深入的分析,归纳出以下比较典型的三种失误：
失误1 受习惯思维的影响,把⊙B误认为是⊙B1．
考生在审题时,没有细看条件,想当然地认为是两个动点A1,B1为圆心的动圆相切的问题,造成错解.设点A平移到点A1所用的时间为ts,如图2,当⊙A1在⊙B1左侧与⊙B1外切时,有2t×2=2,解得t=12；如图3,当⊙A1在⊙B1内部左侧与⊙B1内切时,有2t=2+1,解得t=32.考虑到另外两种相切情形t无解,最终求得点A平移到点A1所用的时间为12或32s．
分析 出现此类失误的考生往往数学能力较强,但审题习惯较差,失分甚为可惜.分析其原因：一方面是考生在升学考试中心理比较紧张,担心时间不够,匆匆浏览,仓促下笔.另一方面是由于长期的机械训练,题海战术养成了一种不良的解题习惯,看到题目就想当然地认为是这样或那样的,没有仔细审题,自我感觉太好,受以往知识的负迁移,造成失分．
失误2 考虑不全,造成漏解．
很多考生只求出当⊙A1在⊙B左侧与⊙B外切时的情形(如图4),有2t+t+1=2,解得t=13；没有求出当⊙A1运动到⊙B右侧与⊙B外切时(如图5),还有2t-t=1+2,解得t=3．
分析 对于此类运动型的试题,大多数考生不是没考虑到分类讨论,问题主要在于两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,需要分别画图探索,计算繁琐,导致部分考生知难而退,失去信心,放弃最后一种情形的求解,或胡编乱造出几个答案．
失误3 忽略了检验求出的答案是否符合题意．
与失误2相比,此类考生明显能力更强,考虑更全面,对于两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,分别画图探索,求得t的值有三种：13或1或3,但在最后检验所求解是否符合实际题意时没有舍去t=1,因为t=1时⊙A1和⊙B变成等圆,不可能内切．
教学反思
1.过多的机械训练,题海战术使学生思维僵化
部分教师在平时的教学中片面追求课堂进度,常常就题论题,强化解决问题的常规思维,反复操练,从头到尾,流水帐似地一一分析讲解题目,一部分学生忙着记笔记,完全成为知识的容器；一部分学生往往只关注结果,记忆结论,形成了不良的思维定势,以至于考试时受以往知识的负迁移,造成不应有的失误．
2.缺乏对学生审题、读题、画图等能力的培养
平时教学中,教师为了节省时间而包办题目的阅读、画图、分析、理解等数学化的过程,没有给学生足够的时间和空间来参与经历数学学习过程,从而养成了很多粗心大意的坏习惯,失去了好多不应该的冤枉分．
复习建议
1.立足教材,抓好双基
中考试题来源于教材或生活实际,再适当加以拓展引申.教师在中考复习中,仍要立足教材,抓好双基,夯实基础,加强对基础知识,基本技能和数学思想方法的教学力度,以基础题型的复习和基本数学思想、数学方法等的训练为主,认真对照考试说明和主干知识,不要有知识和方法的漏洞,绝大多数考生要达到在考场上大脑中储存的双基信息“非常清晰”且“用之即来”的状态.对于分类讨论、转化、化归、数形结合、函数方程等数学思想方法的培养,是一项长期的,细致的工作,应当结合学生的年龄特征,结合教学内容自然而然、潜移默化的渗透相应的数学思想,通过训练一些典型试题来丰富学生运用数学思想的解题经历,加强数学的思维训练,不能让数学思想淹没在题海之中．
2.关注变化,提高能力
教师在复习过程中要注意对学生动手实践能力和空间想象能力等数学能力的培养.新课标下的中考加强了对学生动手实践能力、空间想象能力的考查,图形的运动变换是近年中考的热点.因此,我们平时复习中要多为学生创设动手实验,操作演练的机会,让学生多做几何模型,进行展开、折叠、平移、旋转、相似等教学实践活动,充分运用几何画板等多媒体工具,随着图形的变换,让学生的思维“月亮走,我也走”,从中体会出动态几何的变化规律,培养对图形的识别能力、动手操作能力、空间想象能力,加强对图形性质、内涵的深入认识,掌握图形变换,动静结合,变与不变的规律,培养学生“透过现象看本质”,提高对中考综合性试题的解题信心和解题能力．
3.注重反思,善于积累
《数学课程标准》中第三学段(7一9年级)的问题解决部分明确提出：“通过对解决问题过程的反思,获得解决问题的经验”.学会反思,善于积累,才能对自己的学习过程、学习方法进行监控,才能为自己的学习效果承担责任.实现新课改精神的关键是帮助学生形成正确的学习方式,在数学学习的反思是数学思维活动的核心和动力,是学生的一种重要的数学元认知能力,是学生进行高水平、高效率、高质量的数学认知所必不可少的环节和本领,对学生数学素质提高和终身发展具有特别重要的意义。
作者简介：张正华,男,1971年生，浙江绍兴人,中学高级教师,主要从事中学数学教学研究。
题目 如图1,相距2cm的两个点A,B在直线l上,它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分别平移到点A1,B1的位置时,半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切,则点A平移到点A1所用的时间为___s．
亮点赏析 此题以直线为背景,探究一个移圆心,一个动半径的两动圆之间的位置关系和数量关系,是典型的动点动圆与分类讨论的佳题,具有背景新颖、题材丰富、操作性强的特点.随着⊙A1的圆心位置与⊙B的半径大小的变化,一个发生平移变换,另一个进行位似变换,“月亮走,我也走”,两圆的位置关系和数量关系也随之改变,考生解答此题时要求仔细审题,根据条件,分类画图,再通过观察、比较,分析图形之间的内在联系,揭示图形中的等量关系,具有较强的探索性、操作性、开放性和综合性,充分体现了动中取静,变中不变的辩证思想,集代数与几何的众多知识于一体,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等数学思想方法,对培养学生的思维品质和数学能力有很大的促进作用.试题入口较宽,考生比较容易想到当⊙A1在⊙B左侧与⊙B外切时的情形,有2t+t+1=2,解得t=13；试题有梯度,两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,需要分类讨论,分别画图探索,计算繁琐,解答方法灵活,适合考查不同层次学生的数学水平,具有一定的区分度和选拔功能．
失误探秘
笔者在阅卷中,对一些比较优秀的考生出现的各种错解进行了深入的分析,归纳出以下比较典型的三种失误：
失误1 受习惯思维的影响,把⊙B误认为是⊙B1．
考生在审题时,没有细看条件,想当然地认为是两个动点A1,B1为圆心的动圆相切的问题,造成错解.设点A平移到点A1所用的时间为ts,如图2,当⊙A1在⊙B1左侧与⊙B1外切时,有2t×2=2,解得t=12；如图3,当⊙A1在⊙B1内部左侧与⊙B1内切时,有2t=2+1,解得t=32.考虑到另外两种相切情形t无解,最终求得点A平移到点A1所用的时间为12或32s．
分析 出现此类失误的考生往往数学能力较强,但审题习惯较差,失分甚为可惜.分析其原因：一方面是考生在升学考试中心理比较紧张,担心时间不够,匆匆浏览,仓促下笔.另一方面是由于长期的机械训练,题海战术养成了一种不良的解题习惯,看到题目就想当然地认为是这样或那样的,没有仔细审题,自我感觉太好,受以往知识的负迁移,造成失分．
失误2 考虑不全,造成漏解．
很多考生只求出当⊙A1在⊙B左侧与⊙B外切时的情形(如图4),有2t+t+1=2,解得t=13；没有求出当⊙A1运动到⊙B右侧与⊙B外切时(如图5),还有2t-t=1+2,解得t=3．
分析 对于此类运动型的试题,大多数考生不是没考虑到分类讨论,问题主要在于两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,需要分别画图探索,计算繁琐,导致部分考生知难而退,失去信心,放弃最后一种情形的求解,或胡编乱造出几个答案．
失误3 忽略了检验求出的答案是否符合题意．
与失误2相比,此类考生明显能力更强,考虑更全面,对于两圆运动中可能出现四种不同位置的相切情形,分别画图探索,求得t的值有三种：13或1或3,但在最后检验所求解是否符合实际题意时没有舍去t=1,因为t=1时⊙A1和⊙B变成等圆,不可能内切．
教学反思
1.过多的机械训练,题海战术使学生思维僵化
部分教师在平时的教学中片面追求课堂进度,常常就题论题,强化解决问题的常规思维,反复操练,从头到尾,流水帐似地一一分析讲解题目,一部分学生忙着记笔记,完全成为知识的容器；一部分学生往往只关注结果,记忆结论,形成了不良的思维定势,以至于考试时受以往知识的负迁移,造成不应有的失误．
2.缺乏对学生审题、读题、画图等能力的培养
平时教学中,教师为了节省时间而包办题目的阅读、画图、分析、理解等数学化的过程,没有给学生足够的时间和空间来参与经历数学学习过程,从而养成了很多粗心大意的坏习惯,失去了好多不应该的冤枉分．
复习建议
1.立足教材,抓好双基
中考试题来源于教材或生活实际,再适当加以拓展引申.教师在中考复习中,仍要立足教材,抓好双基,夯实基础,加强对基础知识,基本技能和数学思想方法的教学力度,以基础题型的复习和基本数学思想、数学方法等的训练为主,认真对照考试说明和主干知识,不要有知识和方法的漏洞,绝大多数考生要达到在考场上大脑中储存的双基信息“非常清晰”且“用之即来”的状态.对于分类讨论、转化、化归、数形结合、函数方程等数学思想方法的培养,是一项长期的,细致的工作,应当结合学生的年龄特征,结合教学内容自然而然、潜移默化的渗透相应的数学思想,通过训练一些典型试题来丰富学生运用数学思想的解题经历,加强数学的思维训练,不能让数学思想淹没在题海之中．
2.关注变化,提高能力
教师在复习过程中要注意对学生动手实践能力和空间想象能力等数学能力的培养.新课标下的中考加强了对学生动手实践能力、空间想象能力的考查,图形的运动变换是近年中考的热点.因此,我们平时复习中要多为学生创设动手实验,操作演练的机会,让学生多做几何模型,进行展开、折叠、平移、旋转、相似等教学实践活动,充分运用几何画板等多媒体工具,随着图形的变换,让学生的思维“月亮走,我也走”,从中体会出动态几何的变化规律,培养对图形的识别能力、动手操作能力、空间想象能力,加强对图形性质、内涵的深入认识,掌握图形变换,动静结合,变与不变的规律,培养学生“透过现象看本质”,提高对中考综合性试题的解题信心和解题能力．
3.注重反思,善于积累
《数学课程标准》中第三学段(7一9年级)的问题解决部分明确提出：“通过对解决问题过程的反思,获得解决问题的经验”.学会反思,善于积累,才能对自己的学习过程、学习方法进行监控,才能为自己的学习效果承担责任.实现新课改精神的关键是帮助学生形成正确的学习方式,在数学学习的反思是数学思维活动的核心和动力,是学生的一种重要的数学元认知能力,是学生进行高水平、高效率、高质量的数学认知所必不可少的环节和本领,对学生数学素质提高和终身发展具有特别重要的意义。
作者简介：张正华,男,1971年生，浙江绍兴人,中学高级教师,主要从事中学数学教学研究。