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摘要：“一题一课”型复习课就是以某道题目（最好是中、高考试题）为背景，聚焦某个主题并细分为几个话题展开教学的复习课。基于题为“关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的复习课实践案例，阐述对初中数学“一题一课”型复习课的思考感悟：精选试题、分解话题是首要任务;精准主线、串联话题是关键环节;精当评价、延伸话题是价值追求。
关键词：初中数学;“一题一课”;复习课;一元二次方程
在数学考试命题核心素养立意的背景下，“一题一课”型复习课受到了不少教师的青睐。顾名思义，“一题一课”型复习课就是以某道题目（最好是中、高考试题）为背景，聚焦某个主题并细分为几个话题展开教学的复习课。从本质上看，这样的复习教学也是一种利用“大概念”串联“多内容”的单元或主题教学，其因能彰显内容的整体性、联系性以及学习的深度，克服当下数学教学中普遍存在的知识碎片化、方法单一化以及认识表层化问题而备受关注。最近，笔者在一次教研活动中，开设了一节题为“关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的“一题一课”型复习课。教学流程及思考如下：
一、围绕话题展开教学的实践案例
（一）话题1：ρ表示什么？
交流得出：在初中物理中，单位体积某种物质的质量叫作这种物质的密度，通常用ρ表示。若用m表示质量，V表示体积，则密度的计算公式为ρ=mV。一般地，某种物质的密度是固定的，因此，质量和体积成正比例函数关系。在高中数学中，用方位角、距离描述物体的位置可以建立极坐标系。（出示图1）通常用 ρ表示距离，θ表示角度，那么有序数对（ρ，θ）就叫作点的极坐标，而ρ2=x2+y2和tanθ=yx表示的就是极坐标与平面直角
坐标的转换。但是，在本题中，ρ只是表示某个常数。
（二）话题2：方程是一元二次方程吗？
交流得出：化简得x2+x-2-ρ2=0，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它是一元二次方程。
出示变式：
直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数根的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
交流得出：由直线y=x+a不经过第二象限，得a≤0。当a<0时，该方程是一元二次方程，由根的判别式Δ=4-4a>0，知有2个不相等的实数根;当a=0时，该方程是一元一次方程，有1个根。故选D。
（三）话题3：方程根的情况
交流得出：由根的判别式Δ=1-4（-2-ρ2）=9+4ρ2>0，故方程有两个不相等的实数根。
出示试题：
（2020年江苏省南京市中考数学卷第5题）关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2根的情况，下列结论中正确的是（）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一正一负D. 无实数根
交流得出：本题大致有六种解法。（1）求根公式法。x1=-1+9+4ρ22>0，x2=-1-9+4ρ22<0，故选C。（2）根与系数关系法。x1x2=-2-ρ2<0，x1与x2异号，故选C。（3）构造函数法。令y=x2+x-2-ρ2，图像对称轴为直线x=-12，开口向上且与y轴交于负半轴，可得与x轴的交点位于原点两侧，因此方程两根异号，故选C。（4）构造函数法。令y1=（x-1）（x+2），y2=ρ2，y1图像开口向上且与x轴交于点（1，0）和（-2，0），y2图像是在x轴上方且平行于x轴的一条直线（或者就是x轴），可得它们有两个交点，分别在第一、第二象限（或者在x轴正、负半轴上），因此方程两根异号，故选C。（5）解不等式法。由ρ2≥0，得（x-1）（x+2）≥0，可得x-1≥0，x+2≥0或x-1≤0，x+2≤0，即x≥1或x≤-2，故选C。（6）特殊值法。令ρ=0，则（x-1）（x+2）=0，解得x1=1，x2=-2，故选C。
（四）話题4：方程的解法
交流得出：前面用求根公式已求得方程的根。
出示变式：
已知关于x的方程（x-m）（x+n）=ρ2的两根为2、-3，则方程12x-m12x+n=ρ2的两根为。
交流得出：设12x=t，可得方程（t-m）（t+n）=ρ2的两根为2、-3，因此12x=2、-3，即x=4、-6。这里运用了整体换元的方法。其实，各类方程的解法不尽相同，但是，它们有一个共同的数学基本思想——转化（化归），就是把未知转化为已知。
由此，让学生阅读课本（苏科版初中数学九年级上册）第31页的“各类方程的解法”。
拓展练习：
解方程x-1+x=7。
交流得出：本题有两种解法。（1）设x-1=t，则x=t2+1，原方程化为t2+t-6=0，解得t=2或-3（舍去），求得x=5。（2）移项可得x-1=7-x，两边平方化为x-1=x2-14x+49，解得x=5或10，经检验，10不是方程的根，而是增根。
（五）话题5：方程的实际意义
出示任务：
一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个重要数学模型，请选定一个合适的常数ρ的值，编拟一个用方程（x-1）（x+2）= ρ2解决的问题，并解答。
交流得出：选定ρ的值为2，可以编出多类问题。（1）面积问题：将正方形的一边长减少1，另一边长增加2，所得矩形的面积等于4，求该正方形的边长？（2）相似问题：在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A从（1，0）出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动，同时，点B从（2，0）出发以相同的速度沿x轴正方向运动，经过多长时间以线段AB为直径的圆恰好经过点P？（此题解法较多，设O为坐标原点，利用Rt△AOP∽Rt△POB，得到AO·BO=PO2，即可用到上述方程）等等。 （六）话题6：课堂学习小结
出示任务：
通过对关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2的深聊，谈谈你的收获与困惑吧。
交流后展示图2。
二、教学感悟
（一）精选试题、分解话题是首要任务
设计初中数学“一题一课”型复习课，应淡化一轮、二轮、三轮的限制，而以知识单元为主题，以核心素养为主旨，从茫茫题海中精选试题，并在深度解读试题的基础上，围绕教学主题（目标）进行拆分和取舍，以取得较为精准的教学话题（内容）。 一般来说，分解话题应注意以下三点：一是心中有“森林”，凸显数学知识的整体性;二是心中有“树木”，凸显重要知识的针对性;三是心中有“过程”，凸显难点知识的层次性。
例如，上述课例的主题指向由九年级上册的“一元二次方程”延伸到九年级下册的“二次函数与一元二次方程”，甚至延伸到高一的“一元二次不等式”，从而建构较为完整的“方程、函数、不等式”知识体系。为此，所选取的背景试题（2020年江苏省南京市中考数学卷第5题）可以通过变式发散，从一元二次方程模型出发，勾连这一知识体系中的诸多重要内容。而分解出的话题则充分体现了方程模型的研究过程与方法，以及方程与函数、不等式的关系。
（二）精准主线、串联话题是关键环节
有了具体的话题，接下来就要用一条主线把它们串起来。通常情况下，新授课可以知识联系为主线，而复习课应以思想方法为主线。 “一题一课”型复习课应充分挖掘知识发生、发展过程中的思想方法，把相对零散的话题串联起来。
例如，上述课例在“方程、函数、不等式”知识体系的主题下有一条主线：模型思想。话题探究围绕这条主线展开。话题1渗透正比例函数模型以及“极坐标”模型，激发学生对数学外部应用和内部知识的探究热情;话题2体现方程、函数、不等式模型的初步联合;话题3是本节课的核心，通过对背景试题的多解探究，促进对方程、函数、不等式模型的深度融合，让学生对一元二次方程的周边知识进行全面而系统的整合;话题4引导学生体会方程模型中的转化思想，进而达到“授之以渔”的境界;话题5是对方程模型的现实解释，由新授課的“从问题到方程”到复习课的“由方程到问题”，培养学生数学建模和提出问题的能力;话题6则是模型思想主线的明晰以及话题的延伸，让学生对本节课内容真正做到“点全、线联、面融”，并且形成“课已尽，意未尽”的意境。
（三）精当评价、延伸话题是价值追求
崔允漷教授认为，教师不仅要教学生学会读书（知识），而且要教学生学会做事（能力），更加要教学生学会做人（素养）。为了将能力、素养落地的“最后一公里”做细、做实，教师尤其要通过教学评价，延伸教学话题，提升教学内涵。
例如，上述课例的教学评价特别注意引导学生体会“模型美”，从而积极追求更高的教学价值。第一层境界是感受模型美：设计的所有话题（包括问题的答案与求解）均具有开放性，可通过分层评价体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念。第二层境界是感悟模型美：在每一个话题的交流中及时启发、归纳、强化模型思想。第三层境界是创造模型美：话题5的联想发散以及话题6的课堂小结，都是通过延伸话题引导学生由“学会”走向“会学”。
关键词：初中数学;“一题一课”;复习课;一元二次方程
在数学考试命题核心素养立意的背景下，“一题一课”型复习课受到了不少教师的青睐。顾名思义，“一题一课”型复习课就是以某道题目（最好是中、高考试题）为背景，聚焦某个主题并细分为几个话题展开教学的复习课。从本质上看，这样的复习教学也是一种利用“大概念”串联“多内容”的单元或主题教学，其因能彰显内容的整体性、联系性以及学习的深度，克服当下数学教学中普遍存在的知识碎片化、方法单一化以及认识表层化问题而备受关注。最近，笔者在一次教研活动中，开设了一节题为“关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的“一题一课”型复习课。教学流程及思考如下：
一、围绕话题展开教学的实践案例
（一）话题1：ρ表示什么？
交流得出：在初中物理中，单位体积某种物质的质量叫作这种物质的密度，通常用ρ表示。若用m表示质量，V表示体积，则密度的计算公式为ρ=mV。一般地，某种物质的密度是固定的，因此，质量和体积成正比例函数关系。在高中数学中，用方位角、距离描述物体的位置可以建立极坐标系。（出示图1）通常用 ρ表示距离，θ表示角度，那么有序数对（ρ，θ）就叫作点的极坐标，而ρ2=x2+y2和tanθ=yx表示的就是极坐标与平面直角
坐标的转换。但是，在本题中，ρ只是表示某个常数。
（二）话题2：方程是一元二次方程吗？
交流得出：化简得x2+x-2-ρ2=0，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它是一元二次方程。
出示变式：
直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数根的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
交流得出：由直线y=x+a不经过第二象限，得a≤0。当a<0时，该方程是一元二次方程，由根的判别式Δ=4-4a>0，知有2个不相等的实数根;当a=0时，该方程是一元一次方程，有1个根。故选D。
（三）话题3：方程根的情况
交流得出：由根的判别式Δ=1-4（-2-ρ2）=9+4ρ2>0，故方程有两个不相等的实数根。
出示试题：
（2020年江苏省南京市中考数学卷第5题）关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2根的情况，下列结论中正确的是（）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一正一负D. 无实数根
交流得出：本题大致有六种解法。（1）求根公式法。x1=-1+9+4ρ22>0，x2=-1-9+4ρ22<0，故选C。（2）根与系数关系法。x1x2=-2-ρ2<0，x1与x2异号，故选C。（3）构造函数法。令y=x2+x-2-ρ2，图像对称轴为直线x=-12，开口向上且与y轴交于负半轴，可得与x轴的交点位于原点两侧，因此方程两根异号，故选C。（4）构造函数法。令y1=（x-1）（x+2），y2=ρ2，y1图像开口向上且与x轴交于点（1，0）和（-2，0），y2图像是在x轴上方且平行于x轴的一条直线（或者就是x轴），可得它们有两个交点，分别在第一、第二象限（或者在x轴正、负半轴上），因此方程两根异号，故选C。（5）解不等式法。由ρ2≥0，得（x-1）（x+2）≥0，可得x-1≥0，x+2≥0或x-1≤0，x+2≤0，即x≥1或x≤-2，故选C。（6）特殊值法。令ρ=0，则（x-1）（x+2）=0，解得x1=1，x2=-2，故选C。
（四）話题4：方程的解法
交流得出：前面用求根公式已求得方程的根。
出示变式：
已知关于x的方程（x-m）（x+n）=ρ2的两根为2、-3，则方程12x-m12x+n=ρ2的两根为。
交流得出：设12x=t，可得方程（t-m）（t+n）=ρ2的两根为2、-3，因此12x=2、-3，即x=4、-6。这里运用了整体换元的方法。其实，各类方程的解法不尽相同，但是，它们有一个共同的数学基本思想——转化（化归），就是把未知转化为已知。
由此，让学生阅读课本（苏科版初中数学九年级上册）第31页的“各类方程的解法”。
拓展练习：
解方程x-1+x=7。
交流得出：本题有两种解法。（1）设x-1=t，则x=t2+1，原方程化为t2+t-6=0，解得t=2或-3（舍去），求得x=5。（2）移项可得x-1=7-x，两边平方化为x-1=x2-14x+49，解得x=5或10，经检验，10不是方程的根，而是增根。
（五）话题5：方程的实际意义
出示任务：
一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个重要数学模型，请选定一个合适的常数ρ的值，编拟一个用方程（x-1）（x+2）= ρ2解决的问题，并解答。
交流得出：选定ρ的值为2，可以编出多类问题。（1）面积问题：将正方形的一边长减少1，另一边长增加2，所得矩形的面积等于4，求该正方形的边长？（2）相似问题：在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A从（1，0）出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动，同时，点B从（2，0）出发以相同的速度沿x轴正方向运动，经过多长时间以线段AB为直径的圆恰好经过点P？（此题解法较多，设O为坐标原点，利用Rt△AOP∽Rt△POB，得到AO·BO=PO2，即可用到上述方程）等等。 （六）话题6：课堂学习小结
出示任务：
通过对关于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2的深聊，谈谈你的收获与困惑吧。
交流后展示图2。
二、教学感悟
（一）精选试题、分解话题是首要任务
设计初中数学“一题一课”型复习课，应淡化一轮、二轮、三轮的限制，而以知识单元为主题，以核心素养为主旨，从茫茫题海中精选试题，并在深度解读试题的基础上，围绕教学主题（目标）进行拆分和取舍，以取得较为精准的教学话题（内容）。 一般来说，分解话题应注意以下三点：一是心中有“森林”，凸显数学知识的整体性;二是心中有“树木”，凸显重要知识的针对性;三是心中有“过程”，凸显难点知识的层次性。
例如，上述课例的主题指向由九年级上册的“一元二次方程”延伸到九年级下册的“二次函数与一元二次方程”，甚至延伸到高一的“一元二次不等式”，从而建构较为完整的“方程、函数、不等式”知识体系。为此，所选取的背景试题（2020年江苏省南京市中考数学卷第5题）可以通过变式发散，从一元二次方程模型出发，勾连这一知识体系中的诸多重要内容。而分解出的话题则充分体现了方程模型的研究过程与方法，以及方程与函数、不等式的关系。
（二）精准主线、串联话题是关键环节
有了具体的话题，接下来就要用一条主线把它们串起来。通常情况下，新授课可以知识联系为主线，而复习课应以思想方法为主线。 “一题一课”型复习课应充分挖掘知识发生、发展过程中的思想方法，把相对零散的话题串联起来。
例如，上述课例在“方程、函数、不等式”知识体系的主题下有一条主线：模型思想。话题探究围绕这条主线展开。话题1渗透正比例函数模型以及“极坐标”模型，激发学生对数学外部应用和内部知识的探究热情;话题2体现方程、函数、不等式模型的初步联合;话题3是本节课的核心，通过对背景试题的多解探究，促进对方程、函数、不等式模型的深度融合，让学生对一元二次方程的周边知识进行全面而系统的整合;话题4引导学生体会方程模型中的转化思想，进而达到“授之以渔”的境界;话题5是对方程模型的现实解释，由新授課的“从问题到方程”到复习课的“由方程到问题”，培养学生数学建模和提出问题的能力;话题6则是模型思想主线的明晰以及话题的延伸，让学生对本节课内容真正做到“点全、线联、面融”，并且形成“课已尽，意未尽”的意境。
（三）精当评价、延伸话题是价值追求
崔允漷教授认为，教师不仅要教学生学会读书（知识），而且要教学生学会做事（能力），更加要教学生学会做人（素养）。为了将能力、素养落地的“最后一公里”做细、做实，教师尤其要通过教学评价，延伸教学话题，提升教学内涵。
例如，上述课例的教学评价特别注意引导学生体会“模型美”，从而积极追求更高的教学价值。第一层境界是感受模型美：设计的所有话题（包括问题的答案与求解）均具有开放性，可通过分层评价体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念。第二层境界是感悟模型美：在每一个话题的交流中及时启发、归纳、强化模型思想。第三层境界是创造模型美：话题5的联想发散以及话题6的课堂小结，都是通过延伸话题引导学生由“学会”走向“会学”。