【摘要】已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用累加法、累积法、构造等差数列或等比数列法求通项。在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法。
　　【关键词】数列 递推关系 通项公式
　　
　　Get the general-term formula cleverly from the calculating-by-degrees formula
　　Yan Chunxiang
　　【Abstract】There are two ways which can be used to get the general formula in the instance that the calculating-by-degrees relation of the sequence has been offered. One is according to the character of the preceding several term to guess the expression of the sequence an, then prove it using mathematics induction and the other one is making use of the given calculating-by-degrees relation to get the general-term formula by the cumulative, structuring arithmetic sequence or geometric sequence. In teaching, I have summarized some way for solving the general-term formula of the calculating-by-degrees sequence aimed at the special rule that some sequences have.
　　【Keywords】Sequence Calculating-by-degrees relation General-term formula
　　
　　
　　已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用累加法、累积法、构造等差数列或等比数列法求通项。第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高；第二类方法有一定的规律性，需遵循其特有规律方可顺利求解。在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法。
　　1．累加法。形如an+1＝an+f(n)，其中f(n)为关于n的多项式或指数形式（an）或可裂项成差的分式形式——可移项后累加相消。
　　例1：已知数列 ， ， ，求该数列的通项公式。
　　解：∵
　　∴a2－a1=1，a3－a2=2，……，an－an-1=n-1
　　∴(a2－a1)+(a3－a2)+…+(an－an-1)=1+2+3+4+…+n-1
　　∴an=a1+1+2+3+4+…+n-1=1+1+2+3+4+…+n-1
　　=1+2+3+4+…+n=
　　又∵n=1时， 成立
　　∴
　　2．累积法。形如 ，其中f(n)= （p≠0，m≠0，b–c=km，k∈Z）或 =kn（k≠0）或 （k≠0，0　　例2：已知数列 ，a1＝1， ，求该数列的通项公式。
　　解：∵当 时，
　　∴
　　∴ ， ， ，…，
　　∴ ，
　　又∵n=1时， 成立，∴
　　在例1和例2中，利用递推关系所得到的公式只适用于 ，一定要验证首项是否满足，若首项也满足该关系，则所得关系即为通项公式，若不满足，则通项公式是分段函数的形式。
　　3．构造法。
　　3．1 构造等差数列：形如 ，则数列 是等差数列。
　　
　　例3：已知数列 ，a1＝1， ，求该数列的通项公式。
　　
　　解：∵
　　∴ ，∴
　　∴数列 是以1为首项， 为公差的等差数列。
　　∴ ，∴
　　3．2 构造等比数列：形如an=kan-1+b（ ，即递推公式是一次函数的形式。
　　例4：已知数列 ， ， ，求该数列的通项公式。
　　解：（方法一）∵①
　　∴②
　　①－②得
　　∴
　　∴ 是以 为公比， 为首项的等比数列。
　　又∵ ， ，∴
　　∴③
　　联立①③得
　　∴
　　（方法二） 可化为
　　 ，∴
　　又∵
　　∴ 是以 为公比， 为首项的等比数列。
　　∴ ，即 。