论文部分内容阅读
【摘要】从一道期末试题的解答情况来看，学生的解答的不严谨之处较多，但严谨并未列入六大数学核心素养之一，本文分析了学生出错的原因，对严谨品质与数学核心素养之间的关系，数学核心素养与三维教学目标之间的关系做出了思考，就如何培养初一学生严谨的思维品质提供了具体的教学建议。
【关键词】严谨品质；数学；核心素养
在平时教学中，很多学生会出现答案正确、但因细节问题被扣分的现象，学生自己的反思是因马虎、粗心所致，以为下次仔细认真一点就行，实质结果却是“年年岁岁花相似”。 这种因为不严谨而导致的扣分现象很常见，以下是一名学生对期末考试试题的解答。
一、试题及解答
原题：某车间有工人20人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，甲种零件每个可获利24元，乙种零件每个可获利36元。若要求车间每天获利不低于2700元，问：每天至少派多少人加工乙种零件？
学生的解答：
二、扣分点及原因分析
1.设未知数时多写了“至少”两字，应为“设每天派x人加工乙种零件。”
（原因分析）语意理解不够严谨。“x”解出来后是一个范围，上题中“≥”所代表的文字语言就是“至少”的意思，如果在“设”中写了“至少”二字，把“x”代入后会出现“至少派至少13人”的重复现象。
2.列方程的算式中，“5·24”的手写容易误看作“5·24”，应该写成“5×24”；设未知数时应写为“加工甲零件的有（20-x）人”，即多项式后面有单位时需带括号。
（原因分析）书写表达不够严谨。
3.解得的答案“ ”没有完成约分化简。
（原因分析）计算不够严谨。
4.计算结果取整时的方法不对，应该写成“因为x为整数，所以x≥13”。
（原因分析）语意理解不够严谨。对于“至少多少人”的基本生活经验不足，理解错误。
综上所述，学生的解答主体算式与结果都是正确的，但是有多处不够严谨的细节，虽可能取得不太低的成绩，但数学素养尚需进一步培养。
除了上例中的这些细节之外，阅卷中还发现其它同学有以下错误：
（1）计算结果写成 或其它约分不彻底的形式；
（2）计算结果为14.5或其它数值；
（3）不写出计算结果的原值，解集直接写成“x≥13”；
（4）写出了计算结果的原值，但没有说明取整的原因，下一行直接将答案写成“x≥13”，或者不取整，直接在作答时写答案为“x≥13”；
（5）计算结果的原值正确，但不等式取最小值的结果错误。
由此可见，许多学生对知识的掌握并不扎实，仅仅停留在对知识浅层理解的层面，这种不够严谨的现象严重影响着学生的后续发展。那么严谨的品质是否属于必须着力培养的核心素养？又应当如何培养呢？
三、对严谨品质与数学核心素养关系的思考
严谨与否是平常人区分理科生与文科生的基本標准，可见严谨品质应当数学学习的一个核心烙印，那么严谨品质是否属于数学核心素养呢？
核心素养则是指学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终生发展和社会发展需要的必备品格与关键能力的总称。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。
对比两个概念，可发现数学核心素养的概念强调的是“关键能力”与“思维品质”，更看重的是“双基”层和“问题解决”层，该概念中缺乏“核心素养”概念中关于“必备品格”的描述，即对“情意素质”层次的要求。而严谨品质属于个人终生发展的必备品格，它应该是“核心素养”的一部分。又因为它是具有数学特征的思维品质，它体现了数学的特点，所以它也应该也属于数学核心素养的一部分。只是六大数学核心素养都偏向于关键能力，故严谨未列入其中，但它渗透在培养和形成数学核心素养的过程中，渗透在六大数学核心素养的每一方面。
例如，从上题学生的解答面的期末试题来看，首先通过数学抽象，舍去背景，保留关系，并用符号表达。然后建立了合适的模型（数学建模），应用不等式的知识来解决问题。在解不等式的过程中需要借助了数学运算素养。前例中除了数学运算方面的错误比较清晰之外，其它的错误也不能准确地归类于六大素养中的某一方面。毕竟学生正确地分析了题目，建立了正确的模型去解决问题。由此可见，虽然严谨的品质不属于六大数学核心素养中的单独某一方面，但每一方面素养的培养与形成都离不开严谨的品质。
在“双基”层、“问题解决”层及“情意素质”层三个层面中，“双基”层最为基础，“情意素质”层最为高级，“问题解决”层在其中发挥着承上启下的作用。三个层面遵循“向下层层包含，向上逐层归因”的规则，相互依托，又相互归属。
双基、问题解决、情意素质实际上就可以粗略地对应为知识与技能、过程与方法、情感态度价值观这三维目标。六大数学核心素养更多的是对应知识模块和问题解决的能力，即三维目标中的“知识目标”与“能力目标”；而严谨、缜密、简洁、规范等素养则更多的对应“情意素质必备品格”（或“思维品质”），即三维目标中的“情感态度价值观”。
四、初一学段如何培养学生严谨的思维品质
1.理解核心概念
初一学段是小学初中知识衔接与思维转型的重要时期，是学生由形象至抽象的重要时期，在起始阶段，理解初中数学的基本知识网络是学生“问题解决”的基础，是培养学生数学核心素养的前提，是对数学严谨性的直观展示。
除了对初中数学四大模块的知识脉络进行梳理外，对每一章节知识的整体把握、正确理解学习对象（核心概念）也非常关键。以对有理数运算的理解为例。
在有理数起始课中，对有理数有以下三个方面的描述： 一是有理数由符号和绝对值两部分构成.故运算时应先确定符号，后确定绝对值。事实上有理数的所有运算性质都是先确定符号，后进行数值（绝对值）的运算，数值运算实质就是小学的算术运算。
二是正数与负数是一组互为相反意义的量。互为相反意义则意味着可以抵消，故做加法运算时同号运算为同类累加，异号运算则可先抵消，抵消不了的部分即为计算结果。
三是正号可以省略。因此可将加减混合运算统一为代数和的形式。如，144-120应看作144与（-120）的和，原式是中间的“ ”被省略的结果。
后续的运算都有赖于上述理解。如，（5a-3b）-3（a-2b）的后一个括号，应运用分配律，将-3分别与a和-2b相乘，直接将原式化简为5a-3b-3a 6b。应用加减消元法解方程组时，两式相减，得到-5-（-1）= 3y-y，其中的-5、-1都理解为“负5”“负1”，而不是“减5”“减1”。函数y=2x-3中，根据k>0、b<0，可知图像过一、三、四象限.同样，式中的-3理解为“负3”，而不是“减3”。
由此可见，正确理解核心概念是形成正确知识网络的基础，是数学核心素养培养的前提，是学生严谨思维形成的基石。
2.学会准确表达
批改小学生的作业会发现，小学生的书写往往只需写出算式，不必对算式的由来做出解释；而初中生的作业则要求言必有据、讲清来龙去脉，这正是小学与初中最大的区别之一，准确的表达主要从两方面着手培养。
一是课堂的语言表达。严谨的表达需要教师和学生共同营造，它体现在教师准确的教学语言，体现在教师规范的板书，体现在教师清晰的思维分析；也体现在要求学生规范的课堂回答，要求学生程式化的书写格式，要求学生讲清思考的依据等方面，只重视思路分析而忽视规范板书的课堂是培养不出严谨的学生的。
二是课后的解题书写，无论是代数书写还是几何书写，首先都要求学生按清晰的程序来书写。有了规范的程序，做题的步骤才能有条不紊、清楚明白。例如，解一元一次方程按五個步骤书写：“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。”其次还要让学生清晰地明白每一步的依据是什么，形成“言必有据”的书写习惯。 现行教材对几何书写严谨性的要求是逐步提高的，这种螺旋上升的要求更适应学生的身心发展规律，但心理学上有一个定势效应，几何书写如果起始的严谨性要求较低，到了后期再来纠正，受到定势效应的影响，会事倍功半。故也有许多老师从一开始就要求学生规范表达，从培养严谨性的角度而言，这样更有利。当然也需要将严谨性与量力性相结合，在课堂教学与作业批改中注意学生的个体差异性。
3.培养数学习惯
从某种意义上讲，习惯就是素养。核心素养的培养就是要学科的积淀成为一种本能，并在生活中体现出来，呈现出来的表象就是良好的习惯。
有利于形成严谨品质的学习习惯包括：认真读题的习惯、规范回答的习惯、严格步骤的习惯、规范书写的习惯、认真检查的习惯、反思总结的习惯等。
这些习惯的养成首先需要教师营造严谨的教学环境，包括：课堂组织教学的严谨、课堂语言的精准、课堂板书的规范、课堂流程的调控、课堂思维的引导、作业的及时批改与订正等，教师要在课堂中充分信任学生，发挥学生的主观能动性，培养学生规范表达，注意数学思想方法的渗透.其次要求营造严谨的生活习惯，例如：草稿纸的分区使用、学习资料夹的准备、课室抽屉的整理、作业完成的计划性等。
习惯的培养最需要的就是坚持，朝令夕改是无法培养良好习惯的，其举动本身就是不严谨的表现，故严谨素养的培养也需要坚持不懈地培养良好的数学习惯。
4.锤炼数学思维
思维训练的主阵地在课堂，数学因其学科的特殊性，许多课堂内容都可以成为培养严谨数学思维的载体。
例如，初一学生对分类讨论的思想基础最为薄弱，但从课本第一章开始，字母a就需要考虑正数、负数、零这三种情况， |a|的化简等许多知识都可以作为训练分类讨论思想的载体。只要用好教材中的典型问题，就可以促使学生思考问题逐步趋于全面、缜密。
几何学习中的逻辑推理更是数学思维训练的发动机，也是严谨思维的训练场，运用开放性思维分析每一已知条件，运用聚合型思维组织思路，一放一收，就是严谨的逻辑推理的过程。
数学有三大特点：高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性。但无论是抽象、还是逻辑、或是应用，都离不开严谨的态度，理性思维的特点就是大胆假设、严谨求证。培养核心素养的关键在课堂的落实，课堂的落实离开不严谨的学习习惯，从习惯的培养做起，从细节的培养做起，就一定能培养出具有良好素养的学生。
由此可知，严谨品质属于核心素养中的组成部分，它的培养应该渗透在每一节课堂的每一方面，教师在课堂上说数学话（语言严谨）、写数学字（书写严谨），学生在课堂上缜密思考、精准表达、规范书写，都是培养严谨素养的表现，也是培养学生核心素养的表现。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见.
[2]教育部课程标准修订组.普通高中各学科核心素养一览表.
[3]广东省中山市教学研究室.中山市2016-2017学年下学期期末水平测试试卷 七年级数学.
[4]李静.数学课程标准（2011版）的关键词与初中数学教学[M].华东数学出版社，2015（8）.
[5]闫守轩，郭超华.抓住核心了吗：“ 核心素养热”的冷思考[J].课程教材教法， 2017（4）：100-105.
[6]刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J]. 数学通报，2017（5）：1-5.
【关键词】严谨品质；数学；核心素养
在平时教学中，很多学生会出现答案正确、但因细节问题被扣分的现象，学生自己的反思是因马虎、粗心所致，以为下次仔细认真一点就行，实质结果却是“年年岁岁花相似”。 这种因为不严谨而导致的扣分现象很常见，以下是一名学生对期末考试试题的解答。
一、试题及解答
原题：某车间有工人20人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，甲种零件每个可获利24元，乙种零件每个可获利36元。若要求车间每天获利不低于2700元，问：每天至少派多少人加工乙种零件？
学生的解答：
二、扣分点及原因分析
1.设未知数时多写了“至少”两字，应为“设每天派x人加工乙种零件。”
（原因分析）语意理解不够严谨。“x”解出来后是一个范围，上题中“≥”所代表的文字语言就是“至少”的意思，如果在“设”中写了“至少”二字，把“x”代入后会出现“至少派至少13人”的重复现象。
2.列方程的算式中，“5·24”的手写容易误看作“5·24”，应该写成“5×24”；设未知数时应写为“加工甲零件的有（20-x）人”，即多项式后面有单位时需带括号。
（原因分析）书写表达不够严谨。
3.解得的答案“ ”没有完成约分化简。
（原因分析）计算不够严谨。
4.计算结果取整时的方法不对，应该写成“因为x为整数，所以x≥13”。
（原因分析）语意理解不够严谨。对于“至少多少人”的基本生活经验不足，理解错误。
综上所述，学生的解答主体算式与结果都是正确的，但是有多处不够严谨的细节，虽可能取得不太低的成绩，但数学素养尚需进一步培养。
除了上例中的这些细节之外，阅卷中还发现其它同学有以下错误：
（1）计算结果写成 或其它约分不彻底的形式；
（2）计算结果为14.5或其它数值；
（3）不写出计算结果的原值，解集直接写成“x≥13”；
（4）写出了计算结果的原值，但没有说明取整的原因，下一行直接将答案写成“x≥13”，或者不取整，直接在作答时写答案为“x≥13”；
（5）计算结果的原值正确，但不等式取最小值的结果错误。
由此可见，许多学生对知识的掌握并不扎实，仅仅停留在对知识浅层理解的层面，这种不够严谨的现象严重影响着学生的后续发展。那么严谨的品质是否属于必须着力培养的核心素养？又应当如何培养呢？
三、对严谨品质与数学核心素养关系的思考
严谨与否是平常人区分理科生与文科生的基本標准，可见严谨品质应当数学学习的一个核心烙印，那么严谨品质是否属于数学核心素养呢？
核心素养则是指学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终生发展和社会发展需要的必备品格与关键能力的总称。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。
对比两个概念，可发现数学核心素养的概念强调的是“关键能力”与“思维品质”，更看重的是“双基”层和“问题解决”层，该概念中缺乏“核心素养”概念中关于“必备品格”的描述，即对“情意素质”层次的要求。而严谨品质属于个人终生发展的必备品格，它应该是“核心素养”的一部分。又因为它是具有数学特征的思维品质，它体现了数学的特点，所以它也应该也属于数学核心素养的一部分。只是六大数学核心素养都偏向于关键能力，故严谨未列入其中，但它渗透在培养和形成数学核心素养的过程中，渗透在六大数学核心素养的每一方面。
例如，从上题学生的解答面的期末试题来看，首先通过数学抽象，舍去背景，保留关系，并用符号表达。然后建立了合适的模型（数学建模），应用不等式的知识来解决问题。在解不等式的过程中需要借助了数学运算素养。前例中除了数学运算方面的错误比较清晰之外，其它的错误也不能准确地归类于六大素养中的某一方面。毕竟学生正确地分析了题目，建立了正确的模型去解决问题。由此可见，虽然严谨的品质不属于六大数学核心素养中的单独某一方面，但每一方面素养的培养与形成都离不开严谨的品质。
在“双基”层、“问题解决”层及“情意素质”层三个层面中，“双基”层最为基础，“情意素质”层最为高级，“问题解决”层在其中发挥着承上启下的作用。三个层面遵循“向下层层包含，向上逐层归因”的规则，相互依托，又相互归属。
双基、问题解决、情意素质实际上就可以粗略地对应为知识与技能、过程与方法、情感态度价值观这三维目标。六大数学核心素养更多的是对应知识模块和问题解决的能力，即三维目标中的“知识目标”与“能力目标”；而严谨、缜密、简洁、规范等素养则更多的对应“情意素质必备品格”（或“思维品质”），即三维目标中的“情感态度价值观”。
四、初一学段如何培养学生严谨的思维品质
1.理解核心概念
初一学段是小学初中知识衔接与思维转型的重要时期，是学生由形象至抽象的重要时期，在起始阶段，理解初中数学的基本知识网络是学生“问题解决”的基础，是培养学生数学核心素养的前提，是对数学严谨性的直观展示。
除了对初中数学四大模块的知识脉络进行梳理外，对每一章节知识的整体把握、正确理解学习对象（核心概念）也非常关键。以对有理数运算的理解为例。
在有理数起始课中，对有理数有以下三个方面的描述： 一是有理数由符号和绝对值两部分构成.故运算时应先确定符号，后确定绝对值。事实上有理数的所有运算性质都是先确定符号，后进行数值（绝对值）的运算，数值运算实质就是小学的算术运算。
二是正数与负数是一组互为相反意义的量。互为相反意义则意味着可以抵消，故做加法运算时同号运算为同类累加，异号运算则可先抵消，抵消不了的部分即为计算结果。
三是正号可以省略。因此可将加减混合运算统一为代数和的形式。如，144-120应看作144与（-120）的和，原式是中间的“ ”被省略的结果。
后续的运算都有赖于上述理解。如，（5a-3b）-3（a-2b）的后一个括号，应运用分配律，将-3分别与a和-2b相乘，直接将原式化简为5a-3b-3a 6b。应用加减消元法解方程组时，两式相减，得到-5-（-1）= 3y-y，其中的-5、-1都理解为“负5”“负1”，而不是“减5”“减1”。函数y=2x-3中，根据k>0、b<0，可知图像过一、三、四象限.同样，式中的-3理解为“负3”，而不是“减3”。
由此可见，正确理解核心概念是形成正确知识网络的基础，是数学核心素养培养的前提，是学生严谨思维形成的基石。
2.学会准确表达
批改小学生的作业会发现，小学生的书写往往只需写出算式，不必对算式的由来做出解释；而初中生的作业则要求言必有据、讲清来龙去脉，这正是小学与初中最大的区别之一，准确的表达主要从两方面着手培养。
一是课堂的语言表达。严谨的表达需要教师和学生共同营造，它体现在教师准确的教学语言，体现在教师规范的板书，体现在教师清晰的思维分析；也体现在要求学生规范的课堂回答，要求学生程式化的书写格式，要求学生讲清思考的依据等方面，只重视思路分析而忽视规范板书的课堂是培养不出严谨的学生的。
二是课后的解题书写，无论是代数书写还是几何书写，首先都要求学生按清晰的程序来书写。有了规范的程序，做题的步骤才能有条不紊、清楚明白。例如，解一元一次方程按五個步骤书写：“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。”其次还要让学生清晰地明白每一步的依据是什么，形成“言必有据”的书写习惯。 现行教材对几何书写严谨性的要求是逐步提高的，这种螺旋上升的要求更适应学生的身心发展规律，但心理学上有一个定势效应，几何书写如果起始的严谨性要求较低，到了后期再来纠正，受到定势效应的影响，会事倍功半。故也有许多老师从一开始就要求学生规范表达，从培养严谨性的角度而言，这样更有利。当然也需要将严谨性与量力性相结合，在课堂教学与作业批改中注意学生的个体差异性。
3.培养数学习惯
从某种意义上讲，习惯就是素养。核心素养的培养就是要学科的积淀成为一种本能，并在生活中体现出来，呈现出来的表象就是良好的习惯。
有利于形成严谨品质的学习习惯包括：认真读题的习惯、规范回答的习惯、严格步骤的习惯、规范书写的习惯、认真检查的习惯、反思总结的习惯等。
这些习惯的养成首先需要教师营造严谨的教学环境，包括：课堂组织教学的严谨、课堂语言的精准、课堂板书的规范、课堂流程的调控、课堂思维的引导、作业的及时批改与订正等，教师要在课堂中充分信任学生，发挥学生的主观能动性，培养学生规范表达，注意数学思想方法的渗透.其次要求营造严谨的生活习惯，例如：草稿纸的分区使用、学习资料夹的准备、课室抽屉的整理、作业完成的计划性等。
习惯的培养最需要的就是坚持，朝令夕改是无法培养良好习惯的，其举动本身就是不严谨的表现，故严谨素养的培养也需要坚持不懈地培养良好的数学习惯。
4.锤炼数学思维
思维训练的主阵地在课堂，数学因其学科的特殊性，许多课堂内容都可以成为培养严谨数学思维的载体。
例如，初一学生对分类讨论的思想基础最为薄弱，但从课本第一章开始，字母a就需要考虑正数、负数、零这三种情况， |a|的化简等许多知识都可以作为训练分类讨论思想的载体。只要用好教材中的典型问题，就可以促使学生思考问题逐步趋于全面、缜密。
几何学习中的逻辑推理更是数学思维训练的发动机，也是严谨思维的训练场，运用开放性思维分析每一已知条件，运用聚合型思维组织思路，一放一收，就是严谨的逻辑推理的过程。
数学有三大特点：高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性。但无论是抽象、还是逻辑、或是应用，都离不开严谨的态度，理性思维的特点就是大胆假设、严谨求证。培养核心素养的关键在课堂的落实，课堂的落实离开不严谨的学习习惯，从习惯的培养做起，从细节的培养做起，就一定能培养出具有良好素养的学生。
由此可知，严谨品质属于核心素养中的组成部分，它的培养应该渗透在每一节课堂的每一方面，教师在课堂上说数学话（语言严谨）、写数学字（书写严谨），学生在课堂上缜密思考、精准表达、规范书写，都是培养严谨素养的表现，也是培养学生核心素养的表现。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见.
[2]教育部课程标准修订组.普通高中各学科核心素养一览表.
[3]广东省中山市教学研究室.中山市2016-2017学年下学期期末水平测试试卷 七年级数学.
[4]李静.数学课程标准（2011版）的关键词与初中数学教学[M].华东数学出版社，2015（8）.
[5]闫守轩，郭超华.抓住核心了吗：“ 核心素养热”的冷思考[J].课程教材教法， 2017（4）：100-105.
[6]刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J]. 数学通报，2017（5）：1-5.